Τα περσινά δεν ήταν τόσο χάλια. Εκτός από τον ρυθμό μεταβολής και το Δ4 (όχι τόσο), όλα τα υπόλοιπα θα έλεγα ήταν βατά. Και οι επαναληπτικές ήταν κομπλέ πάνω κάτω όπως είπε ο pyotr. Εγώ ακόμα έχω εφιάλτες από τις επαναληπτικές του '23...
Για το Δ4 θα μπορούσες επίσης να πεις πως εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα, υπάρχει η αντίστροφη.
Άρα για x >= 0 :
h(x) = [f-1(x)-g-1(x)]² =>
h'(x) = 2[f-1(x)-g-1(x)][f-1(x)-g-1(x)]'
Ζητάμε :
h' = 0
Ο πρώτος παράγοντας δεν μηδενίζεται παρά μόνο στα x0 και 1 καθώς η f έχει ακριβώς δύο σημεία τομής με την ε, τα οποία και δεν μας ενδιαφέρουν γιατί εκεί οι συναρτήσεις έχουν ίδιες τετμημένες. Άρα πρέπει να ελέγξουμε πότε μηδενίζεται ο δεύτερος παράγοντας :
[ln(x) - x/e]' = 0 =>
1/x - 1/e = 0 =>
x = e
Απορρίπτεται γιατί είναι το σημείο A = (1,e) στο οποίο η τέμνουσα ε και η f έχουν ίδια τετμημένη αφού είναι σημείο τομής τους.
Ελέγχουμε επίσης τι γίνεται στο x = 1 επειδή αποτελεί άκρο διαστήματος :
h(1) = [ln(1) - 1/e]² = 1/e²
Τώρα ελέγχουμε τον κλάδο x < 0.
Ισχύει :
h'(x) = 2[f-1(x) - g-1(x)][f-1(x) - g-1(x)]'
Ομοίως δεν μας ενδιαφέρει ο πρώτος παράγοντας να μηδενίζεται γιατί τότε θα έχουμε ίδιες τετμημένες. Οπότε ζητάμε :
[f-1(x) - g-1(x)]' = 0 =>
[-ln(2-x) - x/e]' = 0 =>
-1/(2-χ) + 1/e = 0 =>
1/(2-χ) = 1/e =>
2-x = e =>
x = 2 - e
Οπότε :
h(e+2) = [ln(2-(2-e)) - (e-2)/2]²
h(e+2) = 4/e²
Άρα η μέγιστη απόσταση θα είναι : 2/e
Εύχομαι καλή επιτυχία παίδες.
