Η 10. Το α με έχει μπερδέψει.
Όπως είπαμε και χθες, η φάση δίνεται απο την σχέση :
φ = ωt - 2πx/λ
ή
φ = 2πt/Τ - 2πx/λ
Υπό την προυπόθεση φυσικά πως δεν υπάρχει αρχική φάση φο, και ο,τι το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά στον άξονα x. Οπότε για κάθε δεδομένη χρονική στιγμή t = to, η φάση μεταβάλλεται απο σημείο σε σημείο πάνω στον άξονα x που διαδίδεται το κύμα :
φ = 2πto/T - 2πx/λ
Επομένως είναι συνάρτηση της θέσης : φ = φ(χ).
Εαν απο την άλλη εστιάσουμε σε ένα συγκεκριμένο σημείο x = xo πάνω στον άξονα των x, παρατηρούμε πως η φάση του μεταβάλλεται καθώς ο χρόνος κυλάει και άρα η φάση ενός συγκεκριμένου σημείο είναι συνάρτηση του χρόνου :
φ = φ(t) = 2πt/T - 2πxο/λ
Δώσε ιδιαίτερη σημασία στο γεγονός πως εαν θέλαμε να είμαστε απόλυτα αυστηροί στους συμβολισμούς μας, θα έπρεπε να πούμε στην πρώτη περίπτωση να γράφαμε :
φ(χ)|t=to
Για να δηλώσουμε πως αυτή είναι η συνάρτηση της φάσης ως προς τον χώρο για την χρονική στιγμή to.
Ομοίως για την δεύτερη περίπτωση θα έπρεπε να γράψουμε :
φ(t)|x=xo
Για να δηλώσουμε πως αναφερόμαστε στην συνάρτηση της φάσης του σημείου xo ως προς τον χρόνο.
Το α σου ζητάει λοιπόν να απεικονίσεις την φάση του σημείου x=0 ως προς τον χρόνο : φ(t)|x=0
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της φάσης για ένα αρμονικό εγκάρσιο κύμα θα έχεις :
φ = 2πt/Τ - 2π*0/λ
φ = 2πt/T ή
φ = ωt
Άρα, την χρονική στιγμή t = 0s θεωρείς ο,τι το κύμα μόλις έχει φτάσει στο σημείο x = 0 , οπότε στο διάγραμμα φάσης χρόνου, βάζεις 0 rad για t = 0s. Και για t > 0 , σχεδιάζεις μια ευθεία με κλίση ω.
Έχοντας την εξίσωση της φάσης, αντικαθιστάς στην εξίσωση της απομάκρυνσης :
y = Aημ(ωt - 2πx/λ)
y = Aημ(φ)
y = Αημ(ωt)
Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα το οποίο μας λέει πως το σημείο χ = 0 στην ουσία εκτελεί ταλάντωση.
Αυτό δεν πρέπει να σε ξαφνιάζει όμως καθώς όλα τα σημεία στα οποία έχει φτάσει το κύμα εκτελούν ταλάντωση. Αυτό είναι μια γενικότερη αλήθεια που ισχύει πάντα στα κύματα.
Παρακάτω θα βρεις και τα διαγράμματα :
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Αυτά παρακάτω δεν χρειάζονται,τα διαβάζεις για καλύτερη κατανόηση και μόνο, η άσκηση τελειώνει στην ουσία παραπάνω.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Το ενδιαφέρον είναι πως τα διαφορετικά σημεία πάνω στον άξονα x κάνουν και αυτά ταλάντωση, αλλά με διαφορετική αρχική φάση σε σχέση με το σημείο x = 0. Αυτή η αρχική φάση εξαρτάται απο την ποσότητα 2πx/λ , η οποία εξαρτάται απο την θέση των σημείων πάνω στον άξονα.
Απο αυτό το γεγονός προκύπτει και το σημαντικό συμπέρασμα πως η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων Δφ, θα δίνεται απο την σχέση :
Δφ = 2πx2/λ - 2πx1/λ =>
Δφ = 2π(x2-x1)/λ =>
Δφ = 2πΔχ/λ
Αυτό είναι σημαντικό, πρέπει να το κρατήσεις γερά στο νου σου για μελλοντικές ασκήσεις αλλά και επειδή λέει πολύ σημαντικά πράγματα για τα κύματα. Λόγου χάρη, απο αυτή την ιδιότητα προκύπτει άμεσα αυτό που συζητήσαμε και χθες πως ανά λ/4 θα έχεις κοιλάδα->μηδενισμό ή όρος-> μηδενισμό.
Διότι για σημεία που απέχουν Δχ = λ/4 θα ισχύει :
Δφ = [2π(λ/4)]/λ = π/2
Η απομάκρνυση του σημείου x1 θα είναι :
y1 = Aημ(ωt+ φ1) , όπου φ1 = 2πx1/λ
Ενώ η απομάκρυνση του x2 θα είναι :
y2 = Aημ(ωt + φ1 + Δφ) =>
y2 = Αημ(ωt + φ1 + π/2) =>
y2 = Ασυν(ωt + φ1)
Να λοιπόν πως αιτιολογείται η κατάσταση. Η απομάκρυνση του σημείου x1 εξαρτάται απο το ημίτονο του ωt + φ1 ενώ η απομάκρυνση του x2 εξαρτάται απο το συνημίτονο του ωt + φ1. Το ημίτονο λαμβάνει την μέγιστη/ελάχιστη τιμή του όταν το συνημίτονο μηδενίζεται, και αντίστροφα , το συνημίτονο λαμβάνει την μέγιστη/ελάχιστη τιμή του όταν το ημίτονο μηδενίζεται. Αυτό σημαίνει πραγματικά το να υπάρχει διαφορά φάσης π/2(που ισοδυναμεί σε φυσική απόσταση λ/4 μεταξύ των σημείων).
Εαν είχαμε φυσική απόσταση λ/2 μεταξύ των σημείων, δηλαδή Δχ = |x2-x1| = λ/2 , η διαφορά φάσης θα ήταν π. Αυτό θα σήμαινε πως εαν στο y1 είχαμε όρος κάποια χρονική στιγμή, στο y2 θα είχαμε κοιλάδα την ίδια χρονική στιγμή. Και αντίστροφα αν στο y1 είχαμε κοιλάδα κάποια χρονική στιγμή στο y2 θα είχαμε όρος την ίδια χρονική στιγμή, ενώ εαν κάποια χρονική στιγμή παρατηρούσαμε είτε το y1 και ήταν μηδέν, αυτόματα θα ξέραμε ο,τι και το y2 θα ήταν μηδέν, και αντίστροφα. Εαν παρατηρούσαμε το y2 και βλέπαμε ο,τι ήταν μηδέν, τότε θα ξέραμε ο,τι και το y1 θα ήταν μηδέν.
Τέλος τα σημεία με φυσική απόσταση Δχ = λ, θα είχαν διαφορά φάσης μηδέν. Με λίγα λόγια θα ίσχυε : y1 = y2.
Στις ασκήσεις αυτά μπορούν να σου γλυτώσουν χρόνο και κόπο ορισμένες φορές. Είναι καλό να αρχίσεις να εξασκείς σιγά σιγά το νου γνωρίζοντας τα για να αρχίσεις να κάνεις build intuition για ορισμένα φαινόμενα. Που για μένα τουλάχιστον αυτή είναι και η ουσία για να γράψεις καλά. Το να σου δώσουν μια εξίσωση και να βάλεις νούμερα δεν έχει αξία, είναι υπολογισμός. Δηλαδή εαν σου έλεγα για δύο σημεία που απέχουν απόσταση 3λ/8 , το να βρεις την διαφορά φάσης και τις εξισώσεις θα ήταν καθαρά μαθηματικό/υπολογιστικό πρόβλημα χωρίς ιδιαίτερη αξία για την φυσική αντίληψη του προβλήματος.
Στα γράφω αναλυτικά γιατί θέλω να συνηθίσεις να βγάζεις μόνη σου on the fly ο,τι τυχόν μπορεί να χρειαστείς χωρίς να πιέζεσαι να αποστηθίζεις πράγματα.
