Ασκήσεις και απορίες πάνω στη Θεωρία Πιθανοτήτων

[bovid19]

Ας βάλω μια απλή:

Ρίχνουμε δύο ζάρια και θεωρούμε ως Χ τον μικρότερο αριθμό που προκύπτει μεταξύ των δύο. Να βρεθεί η σ.μ.π P(X=x) συναρτήσει του x.

 

[Guest 190013]

Ρίχνουμε δύο ζάρια και θεωρούμε ως Χ τον μικρότερο αριθμό που προκύπτει μεταξύ των δύο. Να βρεθεί η σ.μ.π P(X=x) συναρτήσει του x.

Εξαντλητικά δε το προσδιορίζεις; Υπάρχει πιο συνοπτική επίλυση;

 

[bovid19]

Ναι, δοκίμασε μέσω της συνάρτησης επιβίωσης.

 

[bovid19]

Έστω μία συνεχής τυχαία μεταβλητή . Να δειχθεί ότι

όπου
η συνάρτηση επιβίωσης και
η συνάρτηση κατανομής

 

[Guest 749981]

4 σημεία επιλέγονται τυχαία στην περιφέρεια ενός κύκλου. Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκονται όλα στο ίδιο ημικύκλιο;

 

[Cade]

4 σημεία επιλέγονται τυχαία στην περιφέρεια ενός κύκλου. Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκονται όλα στο ίδιο ημικύκλιο;

αν το σκέφτομαι σωστά πρέπει να βγαίνει 1/2.

 

[Samael]

4 σημεία επιλέγονται τυχαία στην περιφέρεια ενός κύκλου. Ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκονται όλα στο ίδιο ημικύκλιο;

Τέσσερις δοκιμές με επιτυχία και τις τέσσερις φορές και πιθανότητα επιτυχίας 0.5 σε κάθε υποπείραμα(καθώς έχουμε ίδια πιθανότητα να επιλέξουμε σημείο σε οποιοδήποτε απο τα δύο ημικύκλια), οπότε :

(1/2)^4 = 1/16 ή 6.25%

 

[Guest 749981]

Τέσσερις δοκιμές με επιτυχία και τις τέσσερις φορές και πιθανότητα επιτυχίας 0.5 σε κάθε υποπείραμα(καθώς έχουμε ίδια πιθανότητα να επιλέξουμε σημείο σε οποιοδήποτε απο τα δύο ημικύκλια), οπότε :

(1/2)^4 = 1/16 ή 6.25%

Δεν είναι 2 συγκεκριμένα τα ημικύκλια.

 

[Oof]

Τέσσερις δοκιμές με επιτυχία και τις τέσσερις φορές και πιθανότητα επιτυχίας 0.5 σε κάθε υποπείραμα(καθώς έχουμε ίδια πιθανότητα να επιλέξουμε σημείο σε οποιοδήποτε απο τα δύο ημικύκλια), οπότε :

(1/2)^4 = 1/16 ή 6.25%

Ακυρο

 

[Samael]

Δεν είναι 2 συγκεκριμένα τα ημικύκλια.

Ναι, είναι άπειρα, καθώς ο κύκλος έχει άπειρα σημεία οπότε μπορείς να επιλέξεις ένα απο αυτά και το αντιδιαμετρικό του και να σχηματίσεις δυο ημικύκλια.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 4 Σεπτεμβρίου 2022

Άκυρο

Έχεις δίκιο σε αυτό που έγραψες Oof.
Το πρόβλημα λέει να είναι όλα στο ίδιο ημικύκλιο οπότε δεν μας ενδιαφέρει απο ποιο απο τα δυο θα επιλεχθεί το πρώτο σημείο, αρκεί τα υπόλοιπα που θα ακολουθήσουν να ανήκουν επίσης στο ίδιο.

Εαν τώρα μας ενδιαφέρει ποια είναι η πιθανότητα να ανήκουν σε ένα συγκεκριμενό απο τα δύο ημικύκλια(δεχόμενοι πάντα οτι αυτά έχουν προκαθοριστεί), τότε η πιθανότητα είναι 6.25%. Διαφορετικά είναι η διπλασία 12.5% . Αλλά προφανώς το πρόβλημα δεν ρωτάει αυτό.

 

[Guest 586541]

Τέσσερις δοκιμές με επιτυχία και τις τέσσερις φορές και πιθανότητα επιτυχίας 0.5 σε κάθε υποπείραμα(καθώς έχουμε ίδια πιθανότητα να επιλέξουμε σημείο σε οποιοδήποτε απο τα δύο ημικύκλια), οπότε :

(1/2)^4 = 1/16 ή 6.25%

Εσύ πήρες από πριν κάποια ημικύκλια στον νου σου στα οποία θα έπρεπε να βρίσκονται τα σημεία. Όμως το πρώτο και δεύτερο σημείο σίγουρα ανήκουν στο ίδιο ημικύκλιο.

Αν δεν χάνω κάτι νομίζω ότι βγαίνει 1/2.

 

[Samael]

Εσύ πήρες από πριν κάποια ημικύκλια στον νου σου στα οποία θα έπρεπε να βρίσκονται τα σημεία. Όμως το πρώτο και δεύτερο σημείο σίγουρα ανήκουν στο ίδιο ημικύκλιο.

Αν δεν χάνω κάτι νομίζω ότι βγαίνει 1/2.

Δεν νομίζω οτι στέκει λογικά οτι τα δύο σημεία που θα ορίσουν τα όρια των ημικυκλίων συμμετέχουν στον αριθμό των τυχαία επιλεγμένων σημείων που θα ανήκουν στο ίδιο ημικύκλιο. Διότι τα άκρα του κάθε ημικυκλίου ανήκουν και στα δύο ημικύκλια ταυτόχρονα ή σε κανένα(ανάλογα πως θα το ορίσει κανείς).

 

[Guest 586541]

Δεν νομίζω οτι στέκει λογικά οτι τα δύο σημεία που θα ορίσουν τα όρια των ημικυκλίων συμμετέχουν στον αριθμό των τυχαία επιλεγμένων σημείων που θα ανήκουν στο ίδιο ημικύκλιο. Διότι τα άκρα του κάθε ημικυκλίου ανήκουν και στα δύο ημικύκλια ταυτόχρονα ή σε κανένα(ανάλογα πως θα το ορίσει κανείς).

Δεν είπα αυτό.

Εννούσα ότι όποιο και να είναι το δεύτερο σημείο σου υποχρεωτικά θα βρεθεί στο ίδιο ημικύκλιο με το πρώτο. Είτε αποτελούν και τα δύο άκρα του ημικυκλίου είτε όχι. Διαισθητικά γίνεται αντιληπτό.

 

[Samael]

Δεν είπα αυτό.

Εννούσα ότι όποιο και να είναι το δεύτερο σημείο σου υποχρεωτικά θα βρεθεί στο ίδιο ημικύκλιο με το πρώτο. Είτε αποτελούν και τα δύο άκρα του ημικυκλίου είτε όχι. Διαισθητικά γίνεται αντιληπτό.

Όπα, το δεύτερο τυχαία επιλεγμένο σημείο για ποιον λόγο να βρεθεί αναγκαστικά στο ίδιο ημικύκλιο με το πρώτο;

Τουλάχιστον εγώ όπως το σκέφτηκα κάποιος ορίζει δύο ημικύκλια απο τα άπειρα ζευγάρια που υπάρχουν, εκ των προτέρων και κάνει την ερώτηση μετά. Ας μας πει και ο @Andypro που έθεσε το πρόβλημα τι ισχύει.

 

[Oof]

Και με ποιο δικαίωμα ακριβώς ορίζεται στη πορεία το ημικύκλιο και όχι στο τέλος τυχαία? . Για να απαντηθεί το ερώτημα πρέπει να είναι καθορισμένα τα ημικύκλια από την αρχή ή αλλιώς ο τρόπος που καθορίζονται.

 

[Guest 586541]

Όπα, το δεύτερο τυχαία επιλεγμένο σημείο για ποιον λόγο να βρεθεί αναγκαστικά στο ίδιο ημικύκλιο με το πρώτο;

Τουλάχιστον εγώ όπως το σκέφτηκα κάποιος ορίζει δύο ημικύκλια απο τα άπειρα ζευγάρια που υπάρχουν, εκ των προτέρων και κάνει την ερώτηση μετά. Ας μας πει και ο @Andypro που έθεσε το πρόβλημα τι ισχύει.

Μα αγαπητέ πώς θα γίνει αλλιώς; Η μέγιστη απόσταση είναι όταν περνά από την διάμετρο και τότε σχηματιζούν 180 μοίρες που είναι ημικύκλιο. Τουλάχιστον με βάση πώς κατάλαβα εγώ την ερώτηση.

Τα ημικύκλια προφανώς και είναι άπειρα. Η ερώτηση τελείως σαφής δεν είναι, αλλά φαίνεται πως θες ένα εκ των άπειρων ημικυκλίων να τα περιέχει όλα. Δεν μας είπε ότι είναι fixed αυτά. Θα καθοριστούν από τις θέσεις των σημείων. Και στο κάτω-κάτω δεν θα την πόσταρε ο θεματοθέτης αν ήταν τόσο απλό το ερώτημα.

Αν τα πράγματα ήταν όπως τα έλεγες μάλλον θα έπρεπε να γράφει από ένα οποιοδήποτε ή τυχαίο ημικύκλιο.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 4 Σεπτεμβρίου 2022

Και με ποιο δικαίωμα ακριβώς ορίζεται στη πορεία το ημικύκλιο και όχι στο τέλος τυχαία? . Για να απαντηθεί το ερώτημα πρέπει να είναι καθορισμένα τα ημικύκλια από την αρχή ή αλλιώς ο τρόπος που καθορίζονται.

Από ό,τι φαίνεται καθορίζονται δυναμικά και δεν είναι στατικά...αλλιώς θα ήταν πανεύκολο το πρόβλημα. Φυσικά και η εκφώνηση δεν είναι 100% ξεκάθαρη.

 

[Guest 749981]

Παράδειγμα αποδεκτού σχήματος. Δεν είναι "προκαθορισμένα" τα ημικύκλια κάπως, π.χ. βόρειο, νότιο.
Επίσης, ναι, επιλέγοντας 2 σημεία σίγουρα υπάρχει ημικύκλιο ικανό να τα συμπεριλάβει. Φαίνεται κι από το σχήμα νομίζω.

 

[Oof]

Άμα τα σημεία ήταν 3 αντί για 4 ποια θα ήταν η πιθανότητα?

 

[Guest 749981]

Άμα τα σημεία ήταν 3 αντί για 4 ποια θα ήταν η πιθανότητα?

Spoiler

3/4

 

[Cade]

@Andypro μπορούμε να βγάλουμε και γενικό τύπο σωστά ;
ενδιαφέρον θα χε