Άσκηση στη λογαριθμική συνάρτηση

[Guest 831328]

καλημερα θα μπορουσατε να με βοηθησετε στα δυο τελευταία ερωτήματα αυτης της ασκησης

 

[Σωτηρία]

καλημερα θα μπορουσατε να με βοηθησετε στα δυο τελευταία ερωτήματα αυτης της ασκησης

Για το v πρεπει να αποδειξεις στην ουσια οτι f(x)>=f(0)
αρα αντικατασταση
ln(e^2x + 1) - x >= ln2 (x= lne^x και υο πας απο την αλλη)
ln(e^2x +1 ) >= ln2 + lne^x
ln (e^2x +1) >= ln2e^x (1-1)
e^2x -2e^x +1>= 0
(e^x -1) ² >= 0
που ισχυει παντα αρα οντως υο παρρουσιαζει ελαχιστο στο χ0=0.
Τωρα για το v το κοιταξα αλλα δεν βγηκε καπου. Μπορεί να το δω πιο μετα αν δεν το κανει κανεις αλλος γιατι εχω μαθημα τωρα!! Ωραια ασκησουλα παντως, συνδυαστικη

 

[Guest 831328]

Το vi το έχω λύσει αλλά δεν ξέρω κατά πόσο είναι σωστή η λύση που βρήκα

 

[Σωτηρία]

Το vi το έχω λύσει αλλά δεν ξέρω κατά πόσο είναι σωστή η λύση που βρήκα

για το v αυτο που κανεις ειναι αρχικα να πεις οτι το f(log 1/99) = f(log99) αγου το πρωτο γραφεται f(-log99) και ειναι αρτια η f αρα οντως ειναι ισες.
το πας απο την αλλη παιρνεις κοινο παραγοντα πραξεις αντικατασταση και μπλα μπλα και καταληγεις σε κατι τέτοιο
f (log99) (logy/(logy+1)) >0
f(log99) = ln(e^log99 + e^-log99) το οποιο ειναι παντα θετικο αρα μπορεις να διαιρεσεις.
εκαι μετα κατα τα γνωστα, κανείς ομωνυμα, ανεβαζεις το παρανομαστη και εγω κατεληξα οτι logy<-1 <=> y<10^-1
ή logy>0 <=> y>1.
Δεν ειμαι και σίγουρη ότι ειναι σωστη αλλα ελπιζω να ειμαι κοντα! Οποιος μπορει, ας το δει να εχουμε ποικιλια αποψεων!!

 

[Guest 831328]

Ευχαριστώ

 

[Σωτηρία]

Ευχαριστώ

απλα οταν γραψεις το διάστημα μη ξεχασεις το περιορισμο στο logy, το οποιο πρεπει να ειναι θετικο. Αρα καταλήγεις τελικα y ε (0, 0,1) U (1, +oo).

 

[Samael]

Ευχαριστώ

Σου επιτρέπεται να χρησιμοποιήσεις το γεγονός οτι : e^x >= x+1 ;

 

[Guest 831328]

Σου επιτρέπεται να χρησιμοποιήσεις το γεγονός οτι : e^x >= x+1 ;

Πιθανότατα όχι αφού βλέπω πρώτη φορά αυτή την ανίσωση δεν νομίζω ότι υπάρχει στο βιβλίο. Μου επιτρέπεται μόνο αν το αποδείξω πρώτα

 

[Samael]

Πιθανότατα όχι αφού βλέπω πρώτη φορά αυτή την ανίσωση δεν νομίζω ότι υπάρχει στο βιβλίο. Μου επιτρέπεται μόνο αν το αποδείξω πρώτα

Τότε, άστο καλύτερα. Ενδεχομένως και αυτή η προσέγγιση να σου έκανε για το v :

Για x >= 0 :
f(x) = ln(e^(2x) + 1) - x >= ln(2) - x =>
f(x) >= ln(2)-x (1)

Επειδή η f είναι άρτια, για -x <= 0 :
f(-x) >= ln(2)+x =>
f(x) >= ln(2) +x (2)

Εαν προσθέσουμε τις (1) και (2) :
2f(x) >= 2ln(2) =>
f(x) >= ln(2)

Για το v πρεπει να αποδειξεις στην ουσια οτι f(x)>=f(0)
αρα αντικατασταση
ln(e^2x + 1) - x >= ln2 (x= lne^x και υο πας απο την αλλη)
ln(e^2x +1 ) >= ln2 + lne^x
ln (e^2x +1) >= ln2e^x (1-1)
e^2x -2e^x +1>= 0
(e^x -1) ² >= 0
που ισχυει παντα αρα οντως υο παρρουσιαζει ελαχιστο στο χ0=0.
Τωρα για το v το κοιταξα αλλα δεν βγηκε καπου. Μπορεί να το δω πιο μετα αν δεν το κανει κανεις αλλος γιατι εχω μαθημα τωρα!! Ωραια ασκησουλα παντως, συνδυαστικη

Η τελευταία πρόταση όντως ισχύει πάντα. Ωστόσο δεν αρκεί μόνο αυτό για να είναι πλήρης η απόδειξη. Το πρόβλημα είναι οτι δεν αντιστρέφεται το βήμα στην τελευταία πρόταση( συνεπαγωγή προς τα πίσω), και απο την στιγμή που ξεκινάς με το ζητούμενο :

ln(e^2x + 1) - x >= ln2 <=> f(x) >= ln2

Τα βήματα πρέπει αναγκαστικά να αντιστραφούν για να έχουμε μια valid απόδειξη. Αλλά αυτό δεν μπορεί να γίνει.