Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

rebel · 2011-11-26T19:03:04+0200

Έχεις λάθος στις πράξεις εκεί που κάνεις απαλοιφή παρονομαστών. Πρέπει ισοδύναμα να καταλήξεις στην ανισότητα $4x^3+15x^2+4x \leq 2$ που δείχνεται εύκολα με βάση το πρώτο ερώτημα. Αλλιώς
$1-2ab \geq \frac{1}{2}$ και $\frac{1}{a^2b^2} \geq 16$ οπότε $1-2ab +\frac{1-2ab}{a^2b^2} \geq \frac{1}{2} +\frac{1}{2}16=\frac{17}{2}$

Guest 018946 · 2011-11-26T19:11:49+0200

Οκ το αλλαζω .

δινω μια ευκολη παραγοντοποιηση : http

Πηγη μου το συμπαθεστατο mathematica .

rebel · 2011-11-27T01:31:03+0200

Guest 018946 · 2011-11-27T11:06:30+0200

Εγω εχω βρει λυση με θετω την βαζω σε σπόιλερ για οποιον θελει να την προσπαθησει

θέτω $a=x^2+4x$ Τοτε η σχεση μου γινεται $(a+1)(a+7)+9 \Leftrightarrow a^2+7a+a+7+9 \Leftrightarrow a^2+8a+16 \Leftrightarrow (a+4)^2$ αντικαθιστω και εχω
$( x^2+4x+4)^2 \Leftrightarrow [(x+2)^2]^2 \Leftrightarrow (x+2)^4$

βαζω και ενα ευκολακι στα ριζικα μιας και αρκετοι εχουμε μπει στο κεφαλαιακι να υπολογισετε το :

στην συνεχεια θα μπουν και πιο δυσκολα στα ριζικα αλλα ξεκιναω με κατι ευκολο.

rebel · 2011-11-27T19:39:24+0200

Αν είναι ευκολάκι μάλλον υπάρχει κάτι απλούστερο που δεν βλέπω :redface:

$\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^2=8+2\sqrt{\left(4-\sqrt{15}\right)\left(4+\sqrt{15}\right)}=10 \Rightarrow \\ \sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{4+\sqrt{15}}=\sqrt{10}\quad (1)$
Επίσης
$2\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{10}}\sqrt{30-10\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{10}}\sqrt{25-2\cdot 5\cdot \sqrt{5}+5}=\frac{2}{\sqrt{10}}\sqrt{\left(5-\sqrt{5}\right)^2}=\frac{2\left(5-\sqrt{5}\right)}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}-\sqrt{2}\quad(2)$

Από (1) και (2) η αρχική παράσταση είναι τελικά ίση με $\sqrt{2}$

Guest 018946 · 2011-11-27T21:20:53+0200

θα μπορουσαμε να μπασουμε το δυαρι μεσα στην ριζα για το δευτερο μιλωντας παντα και να εφαρμοσω τον τυπο με την μετατροπη σε δυο ριζες και εβγαινε σχετικα γρηγορα.

κωστα οτι βρεις απο απολυτα ριζικα τριγωνικη κτλπ βαζε .Αυτη την εβδομαδα ειμαι ψιλοχαλαρος

rebel · 2011-11-27T22:25:13+0200

Μετατροπή σε δύο ρίζες; Ο μόνος τύπος που έχω υπ' όψιν μου ειναι ο εξής.

$\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}-\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$

Αυτόν εννοείς;

Guest 018946 · 2011-11-27T22:31:30+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μετατροπή σε δύο ρίζες; Ο μόνος τύπος που έχω υπ' όψιν μου ειναι ο εξής.

$\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}-\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$

Αυτόν εννοείς;

αυτο λεω δοκιμασε να μπασεις το δυαρι μεσα στην ριζα και θα δεις οτι βγαινει ευκολα .

rebel · 2011-11-28T14:16:43+0200

Αρχική Δημοσίευση από Aris1412:
Nα αποδειξετε οτι :
ii)αν για τους πραγματικους αριθμους a,b και c ισχυουν οι σχεσεις: $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d} \,\,(*)$
τοτε b² + c² ≤ a² + d²

Ισχύει
$(a^2+d^2)(b^2+c^2) \geq (ac+bd)^2 \Rightarrow (a^2+d^2)(b^2+c^2) \stackrel{(*)}{\geq} (b^2+c^2)^2 \Rightarrow \\ a^2+d^2 \geq b^2+c^2$

Μία παρόμοια με την προηγούμενη. Να απλοποιηθεί η παράσταση
$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Απάντηση: $\sqrt{2}$

Guest 018946 · 2011-11-28T17:33:33+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Ισχύει
Μία παρόμοια με την προηγούμενη. Να απλοποιηθεί η παράσταση
$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

μου ξεσκισε το μυαλο . θα την προσπαθησω και αλλο και αν δεν θα σου πω να με δωσεις λυση.Προφανως εχει κατι απλο το οποιο τωρα δεν μπορω να το δω.

vimaproto · 2011-11-30T17:43:15+0200

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
μου ξεσκισε το μυαλο . θα την προσπαθησω και αλλο και αν δεν θα σου πω να με δωσεις λυση.Προφανως εχει κατι απλο το οποιο τωρα δεν μπορω να το δω.

Γνωρίζεις συζυγείς παραστάσεις?

Guest 018946 · 2011-11-30T18:25:57+0200

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Γνωρίζεις συζυγείς παραστάσεις?

ξερω απλα πρεπει να βρω λιγο χρονο να δουλεψω την ασκηση.

Αγγελική!!! · 2011-12-06T14:19:03+0200

Όταν θυμηθώ και τα πιο δύσκολα θα τα βάλω..Για την ώρα πάρτε αυτές τις ασκήσεις..
1)Εάν $\mid x\mid \leq 1$ και $\mid y \mid \leq 1$ , να δείξετε ότι $-1\leq \frac{x+y}{1+xy}\leq 1$
2)Εάν $\alpha ,\beta \neq 0$ και ${\alpha }^{2}< 16{\beta }^{2}$ , να δείξετε ότι $\mid\frac{\alpha }{\beta } \mid -\mid \frac{\beta }{\alpha }\mid <\frac{15}{4}$
3)Nα αποδείξετε ότι
i) $2({\alpha }^{2}+{\beta }^{2})\geq {(\mid \alpha \mid +\mid \beta \mid )}^{2}$
ii) $\frac{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}{\mid\alpha \mid +\mid \beta \mid }+\frac{{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}}{\mid\beta \mid+ \mid \gamma \mid }+\frac{{\alpha }^{2}+{\gamma }^{2}}{\mid \alpha \mid +\mid \gamma \mid }=\mid \alpha \mid +\mid \beta \mid+ \mid \gamma \mid$

Guest 018946 · 2011-12-06T15:34:00+0200

δίνω λύση για την δεύτερη γιατί δεν μου βγαίνει το ένα φράγμα λοιπον:
2) $|a| < 4|b| \Leftrightarrow \frac{|a|}{|b|} < 4 \textbox{and} \frac{1}{4} < \frac{|b|}{|a|}$ ανοιγω τα απολυτα και εχω :
Μετα προσθετω κατα μελη :
$\frac{|a|}{|b|}- \frac{|b|}{|a|} < \frac{15}{4}$

και το δευτερο ερωτημα της 3ης : απο το πρωτο εχω $\frac{(a^2+b^2)}{|a|+|b|}$ εμεις ομως κραταμε μονο την περιπτωση της ισοτητας
αρα εχω $\frac{(a^2+b^2)}{|a|+|b|} = \frac{|a|+|b|}{2}$ αντικαθιστω στην αποδεικτεα και εχω
$\frac{2|a|+2|b|+2|c|}{2}=|a|+|b|+|c| \Leftrightarrow |a|+|b|+|c|=|a|+|b|+|c| \Leftrightarrow \mathbb{Q.E.D.}$

chrislg · 2011-12-07T15:27:09+0200

αν ισχύει $a<x<b$ για $a,x,b\in IR$ τότε σε ποιο διάστημα ανήκει το $\left|x \right|$

Rempeskes · 2011-12-07T15:41:32+0200

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
\Leftrightarrow \mathbb{Q.E.D.}

η διπλή συνεπαγωγή είναι λάθος.

chrislg · 2011-12-07T15:56:02+0200

σωστός ...

arsentkd · 2011-12-07T22:05:35+0200

Γεια σας παιδιά

...είμαι καινούργια εδώ...

θέλω να αγοράσω ένα βιβλίο με ανισότητες για διαγωνισμούς και είμαι ανάμεσα σε δύο...το αλγεβρικές ανισότητες και το κλασικές και νέες ανισώτητες, του ίδιου συγγραφέα...
ποιό προτείνετε?παρόμοια είναι αλλα τι να πω...

Εψαχνα στη google και τυχαία βρήκα αυτην την όμορφη συζήτηση που εχετε ανοίξει με ασκήσεις πανω στις ανισότητες και ετσι πιστεύω είναι ευκαιρία να πω την απορία μου

αν θέλετε παραπάνω ασκήσεις στα μαθηματικά και πρωτότυπες μάλιστα ρίξτε και μια ματιά εδώ .... https://www.mathematica.gr/
(σίγουρα θα το ξέρετε πολλοί

)

rebel · 2011-12-07T22:46:11+0200

Γεια και σε σένα. Δεν το έχω το βιβλίο αλλά ίσως αυτή η συζήτηση να σε διαφωτίσει. Αν κάποιος έχει κάποιο από αυτά ας πει την άποψή του. Επίσης μέρος του "αλγεβρικές ανισότητες" εδώ.

chrislg · 2011-12-08T22:44:50+0200

Αρχική Δημοσίευση από chrislg:
αν ισχύει $a<x<b$ για $a,x,b\in IR$ τότε σε ποιο διάστημα ανήκει το $\left|x \right|$

κάποιος ;; ... είναι εύκολη ...

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος