Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 2010-12-25T21:59:06+0200

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής με $f(x)=x+\int_{0}^{x}\int_{0}^{u}f(t)dtdu$
i)Να βρεθεί ο τύπος της f
ii)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η $f^{-1}$
iii)Να εξετάσετε αν η $f^{-1}$ είναι άρτια ή περιττή
iv)Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $I=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$

Χρόνια πολλά!

Dias · 2010-12-26T13:09:43+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
iv)Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$I=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$
Χρόνια πολλά!

(Θα κάνω μόνο το (iv), τα άλλα τα αφήνω για τον φίλο μου. Επίσης Χρόνια Πολ²ά)

dragonver · 2010-12-27T15:38:31+0200

Ρε παιδιά να ρωτήσω κάτι γιατί τα έχω ξεχάσει... Το όριο όταν το x πάει στο άπειρο του sinx/x υπολογίζεται με κριτήριο παρεμβολής; Δηλαδή το
-1/x<=sinx/x<=1/x και μετά τα γνωστα;; Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Chris1993 · 2010-12-27T15:43:43+0200

Ναι γιατι eχουμe μηδeνική eπι-φραγμeνη

red span · 2010-12-27T18:24:03+0200

Αρχική Δημοσίευση από dragonver:
Ρε παιδιά να ρωτήσω κάτι γιατί τα έχω ξεχάσει... Το όριο όταν το x πάει στο άπειρο του sinx/x υπολογίζεται με κριτήριο παρεμβολής; Δηλαδή το
-1/x<=sinx/x<=1/x και μετά τα γνωστα;; Ευχαριστώ εκ των προτέρων

ναι μπορεις και να θεσεις χ=1/υ καθος χ-->+00 το υ-->0 και να παρεις απολυτα ουσιαστικα το ιδιο πραγμα ειναι!

NickTheGreek3 · 2011-01-16T19:33:53+0200

Με τις επαναληπτικες ασκησεις κολησα στα 2 τελευταια υποερωτηματα αυτης της ασκησης:

Έστω η συνάρτηση $f(x)={e}^{x}+x-1$
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. (γελειο - το αποδειξα ευκολα)
β) Να βρείτε το λ ώστε $\mathbf{{e}^{\lambda -1}+\lambda =0}$
γ) Να λύσετε την ανίσωση $\mathbf{x+ lnx -1>0}$

Φαινοταν πολυ απλη, αλλα δεν ηξερα πως να την λυσω. Bοηθηστε καλοι μου ανθρωποι!

vavlas · 2011-01-16T20:23:17+0200

Αρχική Δημοσίευση από NickTheGreek3:
Με τις επαναληπτικες ασκησεις κολησα στα 2 τελευταια υποερωτηματα αυτης της ασκησης:

Έστω η συνάρτηση $f(x)={e}^{x}+x-1$
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. (γελειο - το αποδειξα ευκολα)
β) Να βρείτε το λ ώστε $\mathbf{{e}^{\lambda -1}+\lambda =0}$
γ) Να λύσετε την ανίσωση $\mathbf{x+ lnx -1>0}$

Φαινοταν πολυ απλη, αλλα δεν ηξερα πως να την λυσω. Bοηθηστε καλοι μου ανθρωποι!

β)
f(λ+1)=0
f(λ+1)=f(0) (γν.μονοτ. άρα και 1-1)=>λ+1=0(=)λ=-1
γ)
f(lnx)>0
f(lnx)>f(0)=>(αύξουσα)lnx>0(=)χ>1

NickTheGreek3 · 2011-01-16T21:38:41+0200

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
β)
f(λ+1)=0
f(λ+1)=f(0) (γν.μονοτ. άρα και 1-1)=>λ+1=0(=)λ=-1
γ)
f(lnx)>0
f(lnx)>f(0)=>(αύξουσα)lnx>0(=)χ>1

Καλα, ουτε που μου πηγε εκει το μυαλο! Αυτοφασκελωνομαι μετα απο αυτο...

ημαρτον!
Και ναι, ειναι λ+1, απλα η φωτοτυπια που μας εδωσαν δεν ειχε εκτυπωθει καλα και φαινοταν σαν -.

vavlas · 2011-01-16T21:57:11+0200

Αρχική Δημοσίευση από NickTheGreek3:
Καλα, ουτε που μου πηγε εκει το μυαλο! Αυτοφασκελωνομαι μετα απο αυτο... ημαρτον!
Και ναι, ειναι λ+1, απλα η φωτοτυπια που μας εδωσαν δεν ειχε εκτυπωθει καλα και φαινοταν σαν -.

Είναι από τα θέματα του Μπάρλα.

red span · 2011-01-17T12:33:13+0200

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Είναι από τα θέματα του Μπάρλα.

Χρειαζεται να το λες αυτο καθε φορα? :/:

vavlas · 2011-01-17T12:48:48+0200

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Χρειαζεται να το λες αυτο καθε φορα?

Γιατί να μην το πω;
Πειράζει να ξέρει το παιδί,απο που είναι οι ασκήσεις που λύνει;

NickTheGreek3 · 2011-01-17T14:22:42+0200

Αρχική Δημοσίευση από vavlas:
Γιατί να μην το πω;
Πειράζει να ξέρει το παιδί,απο που είναι οι ασκήσεις που λύνει;

Το ηξερα οτι ηταν απο τον Μπαρλα. Μας βγαλαν φωτοτυπιες ασκησεις απο κει στο φροντιστηριο.

vassilis498 · 2011-01-17T14:29:48+0200

(να λύσετε την εξίσωση)

έχετε καμιά ιδέα;
ήταν από φυλλάδιο με ασκήσεις στο ΘΜΤ αλλά και όποιαδήποτε άλλη λύση ευπρόσδεχτη

vavlas · 2011-01-17T14:42:56+0200

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
(να λύσετε την εξίσωση)

έχετε καμιά ιδέα;
ήταν από φυλλάδιο με ασκήσεις στο ΘΜΤ αλλά και όποιαδήποτε άλλη λύση ευπρόσδεχτη

Εύκολα αποδυκνείεις ότι είναι γνησίως μονότονη,και έχει προφανή ρίζα το 0.

vassilis498 · 2011-01-17T14:46:21+0200

αυτό είναι το θέμα, δεν ξέρω πως να βρω μονοτονία έτσι όπως είναι, και αν δεις έχει και δεύτερη ρίζα το χ=1, άρα μονότονη δεν είναι μάλλον.

Dias · 2011-01-17T15:06:59+0200

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
(να λύσετε την εξίσωση)

@ red span : Την έχει και ο φίλος σου ο Μπάρλας για λύση

.
.

vassilis498 · 2011-01-17T15:34:41+0200

ωραίος
ευχαριστώ

rebel · 2011-01-17T21:00:34+0200

Δείξτε ότι $ab\leq e^a+b(lnb-1)$ για κάθε $a\geq 0$ και για κάθε $b\geq 1$ .Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει μεταξύ των α και b ώστε να ισχύει η ισότητα;

Dias · 2011-01-18T00:25:51+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Δείξτε ότι $ab\leq e^a+b(lnb-1)$ για κάθε $a\geq 0$ και για κάθε $b\geq 1$ .Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει μεταξύ των α και b ώστε να ισχύει η ισότητα;

Νομίζω...
(για τεχνικούς λόγους έκανα e^a = eˣ , δηλ. χ=a)
f(a) = eˣ + b(lnb-1) -ab , f'(a) = eˣ - b , f''(a) = eˣ
f'(a) = 0 => eˣ = b => a = lnb , f''(lnb) = b > 0 =>
για a = lnb ελάχιστο f(lnb) = 0 =>
f(a) ≥ f(lnb) = 0 για κάθε α≥0 => αυτό που θέλαμε (το = για a = lnb)
:/:

Πώς τα πήγα?

rebel · 2011-01-18T01:39:54+0200

Σωστό φαίνεται, ουσιαστικά σταθεροποιείς ένα $b_0\geq 1$ και δείχνεις ότι η συνάρτηση $f(a)=e^a+b_0(lnb_0-1)-ab_0$ παρουσιάζει ελάχιστο για $a=lnb_0$ το 0, οπότε αφού το $b_0$ είναι τυχαίο, τελικά η ανισότητα ισχύει για κάθε ζεύγος $(a,b)$ .

Η λύση που είχα στο μυαλό μου είναι να διαιρέσεις την αρχική σχέση με το b και να θέσεις $x=\frac{e^a}{b}$ οπότε αρκεί να δείξεις ότι $lnx-x+1\leq 0$ που ισχύει

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος