Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 22-04-10

Δες λιγο τι σου γραφω παραπανω και τωρα για αυτο το ερωτημα , Ο τροπος στην ουσια "Αντικατασταση "οπου f(x)=lnx ειναι λαθος γιατι πρεπει να δειξεις οτι ειναι η μοναδικη λυση της !

Υποδειξη: Δειξε οτι η $h(x)={e}^{x}+x$ ειναι 1-1

kostaspotter · 22 Απριλίου 2010

Ερώτημα Γ

Ξέροντας πλέον πως f(x)=lnx το χρησιμοποιώ και η g(x) γίνεται έτσι: g(x) = lnx * ln(e/x)
Από την περσινή άλγεβρα ξέρουμε πως ln(e/x) = lne - lnx, οπότε το χρησιμοποιώ: g(x) = lnx * [lne - lnx]
Ξέρουμε πως lne = 1: g(x) = lnx * [1 - lnx]
Ας παραγωγίσουμε τώρα την g: g'(x) = [lnx - (lnx)^2] ' = 1/x - 2lnx * (lnx) ' = 1/x - 2lnx * 1/x = (1 -2lnx)/x
Το πρόσημο της παραγώγου εξαρτάται από τον αριθμητή αφού ο παρονομαστής είναι το χ. Αφού δουλέυουμε στο (0,+οο) το χ θετικό άρα ας εξετάσουμε τον αριθμητή!
Ορίζω τον αριθμητή ως μία συνάρτηση: h(x) = 1 - 2lnx
Ας παραγωγίσουμε την h: h'(x) = 0 - 2*1/x = -2/x <0 αφού δουλεύουμε στο (0,+οο) όπου το χ θετικό!
Άρα η h είναι φθίνουσα στο (0,+οο)
Παρατηρώ πως η h έχει προφανης ρίζα το e^(1/2) [Τ_Ρ(e)] που θα είναι μοναδική αφού η h είναι φθίνουσα!Επομένως αυτή είναι και η μοναδική ρίζα της g'
Άρα στο (0,e^(1/2)) η g' είναι θετική και στο (e^(1/2),+οο) αρνητική!
Από πάνω συνεπάγεται πως η g είναι αύξουσα στο (0,e^(1/2)) και φθίνουσα στο (e^(1/2),+οο)!
Άρα έχουμε μέγιστο και μάλιστα ολικό στο σημείο K(e^(1/2), g(e^(1/2))!
g(e^(1/2)= 1/2*(1-1/2)= 1/4
Αρα Κ(e^(1/2),1/4) Ολικο μέσγιστο

kostaspotter · 22-04-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Υποδειξη: Δειξε οτι η $h(x)={e}^{x}+x$ ειναι 1-1

Είναι αφού h'(x) = e^x >0 επομένως h(x) αύξουσα στο R και συνεπώς στο (0,+οο)...Άρα h(x) 1-1
Αλλά που θέλεις να καταλήξεις;Ακόμα δν κατάλαβα

coheNakatos · 22-04-10

h(f(x))=h(lnx) ... Παρατηρησε το λιγο πανω στην σχεση

kostaspotter · 22-04-10

Το Γ ερώτημα κάνει Μπααααμ!!!!!!!!

Δεν θα κάτσω να το αναλύσω γτ κουράστηκα...

2 Φορές ΘΜΤ...μία φορά στο [α,β] και άλλη μία στο [β,γ]
Μετά πρέπει να βρούμε μονοτονία 1ης παραγώγου της f και η f ''(x) βγαίνει αρνητική άρα f ' φθίνουσα και βγήκε η άσκηση

kostaspotter · 22-04-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
h(f(x))=h(lnx) ... Παρατηρησε το λιγο πανω στην σχεση

Χμμ ναι το κτλβα!Ευχαριστώ πάρα πολύ για την βοήθεια ρε μαν!!!

Είσαι τέλειος!

Μακάρι να βάλουν ένα τέτοι θέμα στις πανελλήνιες γτ φέτος φοβάμαι πως θα βάλουν κανα παλούκι και δεν θα γράψουμε... :'(

EDIT: Πρέπει να φύγω γτ έχω φροντιστήριο...άμα δημοσιεύσετε κιαλλες ασκήσεις καλό θα μας κάνει!!
Ευχαριστώ πολύ

coheNakatos · 22-04-10

Βαζω και εγω μια .(Μετριας δυσκολιας)

Εστω f με f(x)>0 και f(x)+ln(f(x))=x
α)Νδο f γν.αυξουσα
β)Αν επιπλεον f παραγωγισιμη στο R
i)Να εκφρασετε την f' συναρτησει της f
ii)Νδο f κυρτη
iii)Νδο $\int_{0}^{1}f(x)dx=-\frac{({f}^{2}(0)+2f(0)-3)}{2}$

lowbaper92 · 22-04-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Βαζω και εγω μια .(Μετριας δυσκολιας)

Εστω f με f(x)>0 και f(x)+ln(f(x))=x
α)Νδο f γν.αυξουσα
β)Αν επιπλεον f παραγωγισιμη στο R
i)Να εκφρασετε την f' συναρτησει της f
ii)Νδο f κυρτη
iii)Νδο $\int_{0}^{1}f(x)dx=-\frac{({f}^{2}(0)+2f(0)-3)}{2}$

Για το (α) δεν μπορεσα με όρισμο ή κάτι τέτοιο. Αν και δεν δίνει παραγωγισιμότητα, το 2ο μέλος είναι παραγωγίσιμο άρα και το 1ο. Μόνο έτσι το σκέφτηκα.
β)
i)
$f'\left(x \right)=\frac{f\left(x \right)}{f\left(x \right)+1} >0$
ii)
$f''\left(x \right)=\frac{f'\left(x \right)}{{\left(f\left(x \right)+1\right)}^{2}}>0$
iii)
Θεωρώ τη συνάρτηση $g\left(x \right)=lnx+x$ με $g'\left(x \right)=\frac{1}{x}+1>0$ για κάθε χ>0 άρα η g γνησίως αύξουσα και 1-1.
Για χ=1 στην αρχική $f\left(1 \right)+lnf\left(1 \right)=1\Leftrightarrow g\left(f\left(1 \right) \right)=g\left(1 \right)\Leftrightarrow f\left(1 \right)=1$
Έχουμε απο το βι ότι
$f\left(x \right)=f'\left(x \right)\left(f\left(x \right)+1 \right)\Rightarrow \int_{0}^{1}f\left(x \right)dx=\int_{0}^{1}f'\left(x \right)\left(f\left(x \right) +1\right)dx\Leftrightarrow {\left[f\left(x \right) \left(f\left(x \right) +1\right)\right]}^{1}{}_{0}-\int_{0}^{1}f\left(x \right)f'\left(x \right)dx={f}^{2}\left(1 \right)+f\left(1 \right)-{f}^{2}\left(0 \right)-f\left(0 \right)-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left({f}^{2}\left(x \right) \right)'dx=........=-\frac{{f}^{2}\left(0 \right)+2f\left(0 \right)-3}{2}$

ΥΓ1. Για την άσκηση που ανέβασα θεωρώ ότι αν εμπαινε στις πανελληνιες θα χάνονταν μόρια στο 2ο ερώτημα καθως οι περισσότεροι απλά θα επαληθεύαν τον τύπο στη σχέση.
ΥΓ2. Θα επανέλθω όταν βρω χρόνο με μια πιο δυνατή

coheNakatos · 22-04-10

Για το α πας με τον κλασσικο ορισμο ,δειχνει την διαφορα των δεδομενων (Παραγωγισιμοτητα-παραγωγος θετικη και Ορισμος οταν δεν δινεται παραγωγισιμοτητα)

lowbaper92 · 22-04-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Για το α πας με τον κλασσικο ορισμο ,δειχνει την διαφορα των δεδομενων (Παραγωγισιμοτητα-παραγωγος θετικη και Ορισμος οταν δεν δινεται παραγωγισιμοτητα)

Σίγουρα ζητάει μονοτονία? Ή απλα οτι ειναι 1-1?

coheNakatos · 22-04-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Σίγουρα ζητάει μονοτονία? Ή απλα οτι ειναι 1-1?

Γν. αυξουσα

που κολλας ?

lowbaper92 · 23-04-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Γν. αυξουσα

που κολλας ?

Δεν το βγάζω με ορισμό. Αν θες γραψε απάντηση. Σκεφτηκα μια (λίγο πιο περιπετιώδης) λύση. Αυτή έχει αντιστροφη την ${f}^{-1}\left(x \right)=x+lnx$ , η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Άρα και η f γνησίως αύξουσα.

coheNakatos · 23-04-10

f(x1)>f(x2)(1)
ln(f(x1))>ln(f(x2))(2)

(1)+(2) εχουμε ln(f(x1))+f(x1)>ln(f(x2))+f(x2) αρα x1>x2

noobos · 23-04-10

Δεν θα έπρεπε να ξεκινήσεις από χ1<χ2 και να καταλήξεις f(x1)<f(x2); Εσύ Βαγγέλη έκανες το αντίστροφο που δεν λέει τίποτα για την μονοτονία, ή κάνω λάθος;

kostaspotter · 23-04-10

Υπάρχουν περιπτώσεις που η Cf είναι αύξουσα και η Cf-1 βγαίνει φθίνουσα...Δεν πάει πάντα Cf αύξουσα άρα και Cf-1 αύξουσα ή το ακριβως αντίθετο...:S

coheNakatos · 23-04-10

Αρχική Δημοσίευση από noobos:
Δεν θα έπρεπε να ξεκινήσεις από χ1<χ2 και να καταλήξεις f(x1)<f(x2); Εσύ Βαγγέλη έκανες το αντίστροφο που δεν λέει τίποτα για την μονοτονία, ή κάνω λάθος;

δουλευει και αντιστροφα ο ορισμος

Spyros2309 · 23-04-10

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
Υπάρχουν περιπτώσεις που η Cf είναι αύξουσα και η Cf-1 βγαίνει φθίνουσα...Δεν πάει πάντα Cf αύξουσα άρα και Cf-1 αύξουσα ή το ακριβως αντίθετο...:S

Πάντα ισχύει ότι αν $f$ τότε και $f^{-1}$ γνησίως αύξουσα.
Όπως ισχύει βέβαια και αν $f^{-1}$ γνησίως αύξουσα τότε και $f$ γνησίως αύξουσα.
Απλά αυτό δε το διδασκόμαστε φέτος(3η λυκείου).
Δεν ισχύει όμως πάντα ότι αν $f$ γνησίως φθήνουσα τότε και $f^{-1}$ γνησίως φθήνουσα. Υπάρχουν εξαιρέσεις.

kostaspotter · 24-04-10

Αρχική Δημοσίευση από Spyros2309:
Πάντα ισχύει ότι αν $f$ τότε και $f^{-1}$ γνησίως αύξουσα.
Όπως ισχύει βέβαια και αν $f^{-1}$ γνησίως αύξουσα τότε και $f$ γνησίως αύξουσα.
Απλά αυτό δε το διδασκόμαστε φέτος(3η λυκείου).
Δεν ισχύει όμως πάντα ότι αν $f$ γνησίως φθήνουσα τότε και $f^{-1}$ γνησίως φθήνουσα. Υπάρχουν εξαιρέσεις.

:S...Δλδ το έχουμε διδαχτεί πιο παλία;;; :O
Και εγώ που ήμουν;;; :'(

Τέσπα εγώ έκανα εκείνη τη δημοσίευση με την f Και την f-1 γτ πριν περιπου μια βδομάδα έλυσα μια άσκηση η οπόια ήθελε εμβαδό της cf-1 και ήξερα μόνο τον τύπο της f άρα έπρεπε ωα βρω το αντίστοιχο εμβαδό της f!!!Αλλά με δυσκόλεψε γτ η μια ήταν αύξουσα και η άλλη τλκα φθίνουσα...Και είχα μπερδευτεί αρκετά...:S

lowbaper92 · 24-04-10

Αρχική Δημοσίευση από kostaspotter:
:S...Δλδ το έχουμε διδαχτεί πιο παλία;;; :O
Και εγώ που ήμουν;;;
Τέσπα εγώ έκανα εκείνη τη δημοσίευση με την f Και την f-1 γτ πριν περιπου μια βδομάδα έλυσα μια άσκηση η οπόια ήθελε εμβαδό της cf-1 και ήξερα μόνο τον τύπο της f άρα έπρεπε ωα βρω το αντίστοιχο εμβαδό της f!!!Αλλά με δυσκόλεψε γτ η μια ήταν αύξουσα και η άλλη τλκα φθίνουσα...Και είχα μπερδευτεί αρκετά...:S

Δεν το έχουμε διδαχτει ακόμα. Τουλάχιστον δεν το θυμάμαι εγώ.

Αρχική Δημοσίευση από Spyros2309:
Δεν ισχύει όμως πάντα ότι αν $f$ γνησίως φθήνουσα τότε και $f^{-1}$ γνησίως φθήνουσα. Υπάρχουν εξαιρέσεις.

Μπορείς να δώσεις ένα παραδειγμα?? Γιατί εγώ νόμιζα ότι η f έχει την ίδια μονοτονία με την αντίστροφη.
Εξάλλου αν υποθέσουμε ότι δεν ισχύει αυτό, δηλαδή ότι f γνησίως φθίνουσα και $f^{-1}$ γνησίως αύξουσα τότε θα υπάρχουν χ1,χ2 τέτοια ώστε
${x}_{1}<{x}_{2}\Leftrightarrow f\left({x}_{1} \right)>f\left({x}_{2} \right)\Leftrightarrow {f}^{-1}\left(f\left({x}_{1} \right) \right)>{f}^{-1}\left(f \left({x}_{2} \right)\right)\Leftrightarrow {x}_{1}>{x}_{2}$ (άτοπο)

Spyros2309 · 25-04-10

Καλημέρα

Ναι, δε το διδασκόμαστε στο σχολείο...
Το είχα διαβάσει στη wikipedia(ή κάπου αλλού, δε θυμάμαι) όταν κάναμε φέτος αντίστροφες

lowbaper92 έχεις ένα δίκιο, αλλά δε μπορώ να σκεφτώ ούτε να ψάξω αυτή την ώρα..
Αλλά όταν μια f είναι φθήνουσα τότε η f-1 μπορεί να μην είναι γνησίως μονότονη

Συγκεκριμένα:
«Η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνάρτηση, μια και δεν υπακούει απαραίτητα στο αξίωμα μονοτιμίας: ένα στοιχείο b μπορεί να είναι τιμή δύο διαφορετικών ορισμάτων a και a' της f.»
Αλλά και πάλι δεν απαντάω σωστά

Θα το ψάξω αύριο, τώρα νυστάζω

Καληνύχτα.. Καλημέρα.. Κάτι τέλος πάντων

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος