Γρίφοι Μαθηματικών

Eruyomo · 25 Μαρτίου 2008 στις 02:14

Ερώτηση (την είχε κάνει και καθηγητής σε διάλεξη πολυτεχνείου) :

Ποιοι είναι πιο πολλοί,
Οι ακέραιοι αριθμοί, ή οι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ 0 και 1; (αιτιολόγηση παρακαλώ)

mostel · 25 Μαρτίου 2008 στις 02:38

Κάθε αριθμός πραγματικός α, μπορεί να οριστεί από έναν κιβωτισμό

Στέλιος

Anarki · 25 Μαρτίου 2008 στις 02:47

Μαρούλια έφτασαν τριανταπέντε ναύτες με κόκκινα βρακιά ατενίζουν.
Όσο νόημα βγάζεις απο την παραπάνω πρόταση, τόσο νόημα βγάζω απο αυτό που είπες. Τί σημαίνει για εμάς τους αδαείς;

Eruyomo · 25 Μαρτίου 2008 στις 02:53

Ε;
Κάπου σας έχασα και τους δύο.
Τι είναι ο κιβωτισμός και τι συμπερασμα βγάζεις;

Anarki · 25 Μαρτίου 2008 στις 02:54

Αρχική Δημοσίευση από Eruyomo Kashmir:
Ε;

Αυτό ακριβώς το μήνυμα ήθελα να περάσω

.

mostel · 25 Μαρτίου 2008 στις 03:10

Καταρχήν, μια τέτοια ερώτηση, σηκώνει άπειρη κουβέντα και αν θέλουμε να την ορίσουμε καλώς, θα πρέπει να φτιάξουμε ένα φόρουμ μόνο γι' αυτό το σκοπό

Γιατί πρώτον:

Πρέπει να ορίσεις αυστηρά τι είναι ακέραιος, τι είναι πραγματικός και θα μπλέξουμε σε βαθειά λιμέρια της συνολοθεωρίας.

Καταρχήν, θα ορίσω το επαγωγικό σύνολο:

Ένα σύνολο πραγματικών καλείται επαγωγικό αν έχει τις εξής δύο ιδιότητες:

α) Ο αριθμός 1 συμπεριλαμβάνεται σε αυτό
β) Για κάθε x στο σύνολο, ο αριθμός χ+1 ανήκει σε αυτό.

Τώρα, κάθε πραγματικός καλείται ακέραιος αν ανήκει σε κάθε επαγωγικό σύνολο.

Έστω P ένα σύνολο όλων των θετικών ακεραίων. Το P έχει από μόνο του την ιδιότητα να 'ναι επαγωγικό επειδή περιέχει το 1 και το x+1. Από τη στιγμή που το P ανήκει σε κάθε επαγωγικό σύνολο, είναι το μικρότερο επαγωγικό σύνολο. (Χρήσιμο για τη τεχνική της επαγωγής)

Έστω τώρα δύο ακέραιοι , $[m,m+1]$ . Έστω n ένας φυσικός (μεγαλύτερος του 2). Χωρίζουμε το διάστημα $[m,m+1]$ σε $n$ ίσα μέρη. Δηλαδή:

$m, m+\frac{1}{n},m+\frac{2}{n},\ldots,m+\frac{n-1}{n}, n+1$ .

Ας καλέσουμε $x_{1}$ εκείνον από τους αριθμούς $0,1,2,\ldots, n-1,$ για τον οποίο:

$m+\frac{x_1}{n}\leq a<m+\frac{x_1+1}{n}$ και ας καλέσουμε $a_1=m+\frac{x_1}{n}, b_1=m+\frac{x_1+1}{n}$ .

Χωρίζουμε πάλι το διάστημα $[m+\frac{x_1}{n}, m+\frac{x_1+1}{n}]$ σε $n$ ίσα μέρη και ας καλέσουμε $x_2$ εκεινόν από τους αριθμούς $0,1,2,\ldots, n-1$ για τον οποίο:

$m+\frac{x_1}{n}+\frac{x_2}{n^2}<a<m+\frac{x_1}{n}+\frac{x_2+1}{n^2}$

Ονομάζουμε κυκλικά $a_2=m+\frac{x_1}{n}+\frac{x_2}{n^2} , b_2=m+\frac{x_1}{n}+\frac{x_2+1}{n^2}$

Πάλι το ίδιο επ' άπειρον. Είναι δηλαδή φανερό ότι ο κιβωτισμός $[I_n]$ όπου $[I_k]=[a_k,b_k]\forall k\in N$ , ορίζει τον πραγματικό αριθμό α.

Η τιμή:

$a_k=m+\frac{x_1}{n}+\ldots+\frac{x_k+1}{n^k}$

Είναι η κατ' έλλειψη τιμή του α με προσέγγιση τάξης κ

Αντίστοιχα η $b_k$ η κατ' υπερβολή με την ίδια προσέγγιση.

Για $n = 10$ έχουμε το δεκαδικό μέρος.

Προφανώς μπορούμε να πάρουμε άπειρους τέτοιους α, στο κλειστό $[m,m+1]$ .

Στέλιος

PS:

Όταν λέμε για κιβωτισμό ορίζουμε την ακολουθία που κάθε της διάστημα περιέχει όλα τα επόμενά του και αν τα μήκη των διαστημάτων της αποτελούν μηδενική ακολουθία. Δηλαδή πρέπει να ισχύει:

α) Τα διαστήματα $I_1,I_2,\ldots, I_n$ να 'ναι κλειστά
β) Πρέπει να ισχύει $I_1\geq I_2\geq\ldots\geq I_n$
γ) $lim_{n\rightarrow\infty}|I_n|=lim_{n\rightarrow \infty }(b_n-a_n)=0$

Eruyomo · 25 Μαρτίου 2008 στις 11:54

Γιατί πρώτον:

Πρέπει να ορίσεις αυστηρά τι είναι ακέραιος, τι είναι πραγματικός και θα μπλέξουμε σε βαθειά λιμέρια της συνολοθεωρίας.

Οι ακέραιοι είναι οι αριθμοί που ανήκουν στο σύνολο Ζ. Επίσης ο πραγματικός ορίζεται αυστηρά, απλά σκέψου το πως ορίζεται ο πραγματικός (hint: Πως αναπαρίσταται, απο τη στιγμή που μιλάμε για το [0,1] ,ή για το [a,a+1] αν θες, και δεν έχει σημασία αν θα είναι κλειστό ή ανοιχτό ) και πως ο ακέραιος.

Προφανώς μπορούμε να πάρουμε άπειρους τέτοιους α, στο κλειστό $[m,m+1]$ .

Αυτό είναι ένα σωστό συμπέρασμα, αλλα δεν απάντησε στο ερώτημα. Δεν χρειάζεται να μπλέξεις τόσο πολύ με θεωρία συνόλων, βγαίνει και με την θεωρία που ξέρετε απο την Α λυκείου. Σκέψου απλα!

Krou · 25 Μαρτίου 2008 στις 13:07

εγω ειμαι λιγο ασχετη απο κατι τετοια, αλλα απειροι δεν ειναι και οι αρι8μοι μεταξυ 0 1 αλλα και οι ακεραιοι;

Eruyomo · 25 Μαρτίου 2008 στις 13:55

Αρχική Δημοσίευση από Krou:
εγω ειμαι λιγο ασχετη απο κατι τετοια, αλλα απειροι δεν ειναι και οι αρι8μοι μεταξυ 0 1 αλλα και οι ακεραιοι;

Σωστά, αλλα το ερωτημα είναι:

"Ποιοί είναι πιο πολλοι;"
Δεν χρειάζεται ιδιαίτερη θεωρία για να βγεί. Και με απλή αριθμητική βγαίνει!

mostel · 25 Μαρτίου 2008 στις 15:47

Γιατί δεν απάντησε στο ερώτημα;

Οι ακέραιοι είναι πεπερασμένοι (2)

Ενώ οι πραγματικοί άπειροι.

Wlog, υπέθεσε ότι έχουμε 3. Ο δεύτερος (aka middle) οφείλει να 'ναι ο μέσος όρος των δύο. Άτοπο. Αφού είναι ρητός.

Έχω και μια άλλη απόδειξη με δομές Dedekind, αλλά θα 'ναι too much να τις βάλω εδώ.

Ps:

Αν απαντιέται με γνώσεις Α' λυκείου, τότε θα 'ναι μπακάλικο!

Krou · 25 Μαρτίου 2008 στις 16:17

Αρχική Δημοσίευση από Eruyomo Kashmir:
Σωστά, αλλα το ερωτημα είναι:

"Ποιοί είναι πιο πολλοι;"
Δεν χρειάζεται ιδιαίτερη θεωρία για να βγεί. Και με απλή αριθμητική βγαίνει!

χμ μεταξυ 0 και 1 μου φαινεται ειναι λιγοτεροι γιατι υπαρχουν αυτα τα ορια που φραζουν το συνολο... τωρα για αποδειξη δεν ξερω, ουτε καν θυμαμαι τι καναμε στην Α' Λυκειου!

να γραψεις την απαντηση καποια στιγμη ομως!

AnaCroN · 25 Μαρτίου 2008 στις 17:58

Λέει μεταξύ 0 και 1. Μεταξύ του 0 και του 1 δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός.
Υπάρχει το 0.5 που είναι πραγματικός. Άρα περισσότεροι οι πραγματικοί
:hmm:

Γιώργος · 25 Μαρτίου 2008 στις 18:00

Αρχική Δημοσίευση από Eruyomo Kashmir:
Ποιοι είναι πιο πολλοί,
Οι ακέραιοι αριθμοί, ή οι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ 0 και 1; (αιτιολόγηση παρακαλώ)

Δεν με ενδιαφέρει.

Ps: Το ίδιο

Krou · 25 Μαρτίου 2008 στις 18:05

Αρχική Δημοσίευση από AnaCroN:
Λέει μεταξύ 0 και 1. Μεταξύ του 0 και του 1 δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός.
Υπάρχει το 0.5 που είναι πραγματικός. Άρα περισσότεροι οι πραγματικοί

εγω καταλαβα οτι εννοει γενικως ακεραιοι αριθμοι, οχι ακεραιοι μεταξυ 0 και 1... μπερδευτηκα τωρα

Anarki · 25 Μαρτίου 2008 στις 22:52

Εννοεί όλους τους ακέραιους, οχι μόνο στο διάστημα 0 και 1. Τους πραγματικούς περιορίζει στο [0,1].

Eruyomo · 25 Μαρτίου 2008 στις 22:53

Όχι παιδιά.

Υπάρχει μια σύνγχυση.

Έστω δυο σύνολα

1. Το σύνολο Ζ
δεύτερον
Το σύνολο [0.1]

Ποιο έχει περισσότερα στοιχεία;

Υ.Γ. Δεν είναι το ίδιο
Υ.Γ2. Η μπακαλίστικη απόδειξη είναι αναπόφευκτη, αλλα παραμένει απόδειξη.
Ακούω λοιπόν

(O mostel μου είπε την απάντηση, αλλα θέλω να δω αν κάποιος μπορεί να το δείξει με μαθηματικά λυκείου)

Eruyomo · 26 Μαρτίου 2008 στις 11:10

Και άλλο ένα:

Έστω συνάρτηση $f : R \rightarrow R$ τέτοια ώστε:

$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx.<br />$

ν.δ.ο:

$E(\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx ) = \int_{-\infty}^{+\infty} E(x)\,dx.$

Krou · 26 Μαρτίου 2008 στις 14:55

Δεν κανουμε τετοια πραγματa

Αντώνης · 26 Μαρτίου 2008 στις 17:36

motsel
Πόσο πολύ έχεις ασχοληθεί με μαθηαμτικά ;

mostel · 27 Μαρτίου 2008 στις 16:14

Είσαι σίγουρος Μάνο ότι είναι καλώς ορισμένο το πρόβλημα;

Btw... Στην ουσία έχουμε ένα άπειρο ορθογώνιο (οπότε το χωρίο απειρίζεται ενίοτε)

Γρίφοι Μαθηματικών

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος