[16/5/2011] Μαθηματικά Κατεύθυνσης

alexandros451991 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:01

Αρχική Δημοσίευση από Jimmy1:
Ναι αλλά μπορείς επίσης να αντικαταστήσεις μέσα στο μέτρο το w θα δίωηεις κάτι z στην αρχή... και στη συνέχεια θα αντικσταστήσεις από το Β2 το 1/z-3i με Zσυζυγείς -3i... και θα βγει | - zσυζυγείς|= |z|

Και έτσι....

yozerehs · 16 Μαΐου 2011 στις 11:01

Βατά θεωρώ ότι ήταν τα θέματα για κάποιον που ήξερε σε γενικές γραμμές Μαθηματικά...
Πάντως, περίπου 4 υπολογίζω να έχω γράψει εγώ.

mousikos123 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:02

!Εμενα περα απο τους μιγαδικους π δεν τους θυμαμαι καθολου απο προπερσυ π εδινα τα αλλα μου φανηκανε μια χαρα σαν θεματα..σε αντιθεση με τα γενικης..Καλη επιτυχια στα παιδια!!

alexandros451991 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:03

παιδιά τα θέματα είναι αρκετά δύσκολα πιστεύω. Δηλαδή το 3 το πρώτο ερώτημα ε δεν το λες και γελοίο. Θα πρέπει να είσαι πολύ άνετος σε τέτοιου είδους ασκήσεις.

lowbaper92 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:03

Κάπως πιο αναλυτικά οι μιγαδικοί

B1)
$\left|z-3i \right|+\left|\bar{z} +3i\right|=2\Leftrightarrow \left|z-3i \right|+\bar{\left|z-3i \right|}=2\Leftrightarrow 2\left|z-3i \righz|=2\Leftrightarrow\left|z-3i \right| =1$
Άρα είναι κύκλος με κέντρο το (0,3) και ακτίνα ρ=1
Η παύλα του συζηγή, μετά την πρώτη ισοδυναμία αναφέρεται σε όλο το μέτρο. Δεν ξέρω πως γίνεται μεγαλύτερη στο λατεξ.

B2)
Με αντικατάσταση z=x+yi και μερικές πράξεις στην προς απόδειξη σχέση καταλήγουμε ότι
${x}^{2}+{y}^{2}-6y+8=0$
το οποίο παριστάνει το γεωμετρικό τόπο του z που δείξαμε στο Β1. Άρα η σχέση ισχύει.

B3)
$\bar{w}=\bar{z}+3i+\frac{1}{\bar{z}+3i}=\bar{z}+3i+z-3i=2Re\left(z \right)\in R$
Και αφού ο συζυγής είναι πραγματικός, άρα και ο w θα είναι πραγματικός.

Από το γεωμετρικό τόπο του z (με σχήμα είναι ολοφάνερο) ισχύει ότι
$-1\leq Re\left(z \right)\leq 1\Leftrightarrow -2\leq 2Re\left(z \right)\leq 2\Leftrightarrow -2\leq w\leq 2$

Β4)
$\left|z-w \right|=\left|z-z+3i-\frac{1}{z-3i} \right|=\left|3i-\bar{z}-3i \right|=\left|-\bar{z} \right|=\left|z \right|$

Άποψή μου: Σίγουρα πιο δύσκολο απ'το περσινό 2ο θέμα. Δεν έχω κοιτάξει τα υπόλοιπα θέματα ακόμη.

alexandros451991 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:04

Στο Δ3 το όριο βγαίνει -οο??

fockos · 16 Μαΐου 2011 στις 11:08

Δεν μπορώ να εκφέρω γνώμη γιατι δεν θυμάμαι τίποτα από κατεύθυνσης. Συνεπως δεν μπορω να τα λύσω.

Κοιτάζοντας όμως τις λύσεις κάποιων συμφουρητων και έχωντας ως δεδομένο οτι τα μαθηματικα γενικής φάνηκαν δύσκολα σε αρκετα παιδιά προβλέπω οτι εδώ θα πέσει πολύ περισσότερο κλάμα. Αν ειναι κλασσικές ασκήσεις που τις ξέρουν όλοι δεν ξέρω αλλά αυτό που βλέπω ειναι ότι θέλουν σκέψη.

Επίσης θυμάμαι πέρσυ κοιτάζοντας τις λύσεις των αντίστοιχων θεμάτων τα θέματα μου φάνηκαν πολύ πιο εύκολα σε σκέψη.

dragonver · 16 Μαΐου 2011 στις 11:19

Αρχική Δημοσίευση από alexandros451991:
Στο Δ3 το όριο βγαίνει -οο??

Μετά από αρκετή προσπάθεια και εγώ το βρήκα μείον άπειρο...

alexandros451991 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:20

Αρχική Δημοσίευση από dragonver:
Μετά από αρκετή προσπάθεια και εγώ το βρήκα μείον άπειρο...

όχι ρε γιατί αρκετή προσπάθεια?? Σε λιγότερο απο μία γραμμή μου βγαίνει. Το τελευταιο ερώτημα με το εμβαδον είναι παλούκι νομίζω...

Jimmy1 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:23

Αφού τα μαθηματικά είναι τσιμπημένα μάλλον η φυσική θα είναι πιο βατή από πέρυσι...αλλά ποτε δεν ξέρεις...

dragonver · 16 Μαΐου 2011 στις 11:25

To ερώτημα Δ όντως δεν μπορώ να σκεφτώ τίποτα... Κάποιες είχε πει πριν για σειρές taylor αφού έχουμε e^(t^2) τώρα ένας μαθητής λυκείου πώς μπορεί να το λύσει ένας Θεός ξέρει... :confused:

alexandros451991 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:26

Αρχική Δημοσίευση από Jimmy1:
Αφού τα μαθηματικά είναι τσιμπημένα μάλλον η φυσική θα είναι πιο βατή από πέρυσι...αλλά ποτε δεν ξέρεις...

Λογικά πάντα. Εντάξει τσιμπημένα κρίνω εγώ ότι είναι. Αλλά έχω να ασχοληθώ μαζί τους πολύ καιρό, 2 χρονια με σήμερα. Ένας υποψήφιος που είναι προετοιμασμένος προφανώς και θα του φαίνονται πιο εύκολα απο μένα.

Jimmy1 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:27

Αρχική Δημοσίευση από alexandros451991:
Λογικά πάντα. Εντάξει τσιμπημένα κρίνω εγώ ότι είναι. Αλλά έχω να ασχοληθώ μαζί τους πολύ καιρό, 2 χρονια με σήμερα. Ένας υποψήφιος που είναι προετοιμασμένος προφανώς και θα του φαίνονται πιο εύκολα απο μένα.

Αυτό εννοείται...

alexandros451991 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:27

Αρχική Δημοσίευση από dragonver:
To ερώτημα Δ όντως δεν μπορώ να σκεφτώ τίποτα... Κάποιες είχε πει πριν για σειρές taylor αφού έχουμε e^(t^2) τώρα ένας μαθητής λυκείου πώς μπορεί να το λύσει ένας Θεός ξέρει...

Είναι ακαταλαβίστικο. Γιατί σου την δίνει σε ολοκλήρωμα.... Σαν να βλέπω ήδη μια πτώση στις βάσεις χωρίς να το παίζω καλχαντας...

dragonver · 16 Μαΐου 2011 στις 11:30

Δυστυχώς φοβάμαι ότι έγινε αυτό που λέγανε για τη δυσκολία των θεμάτων και το απολυτήριο, για την μείωση των θέσεων και τις καταργήσεις των μετεγγραφών... Σαν τα μούτρα τους τα κάνανε...

alexandros451991 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:32

Είναι δύσκολα παιδιά... Δεν ξέρω τι να πω.. Ας περιμένουμε να βγουνε και τα παιδιά και να ακούσουμε εντυπώσεις. Πάντως το άριστα 95-100, το παίρνει και ο άριστα προετοιμασμένος θεωρώ αρκετά δύσκολα...

lowbaper92 · 16 Μαΐου 2011 στις 11:49

Λύση (σχεδόν) στο Θέμα Γ

Γ1)
${e}^{x}f'\left(x \right)+{e}^{x}f''\left(x \right)-{e}^{x}=f'\left(x \right)+xf''\left(x \right)\Leftrightarrow \left({e}^{x}f'\left(x \right)-{e}^{x} \right)'=\left(xf'\left(x \right) \right)'\Leftrightarrow {e}^{x}f'\left(x \right)={e}^{x}+xf'\left(x \right)+{c}_{1}$
Για x=0 προκύπτει c=-1. Άρα
${e}^{x}f'\left(x \right)={e}^{x}+xf'\left(x \right)-1\Leftrightarrow f'\left(x \right)\left({e}^{x}-x \right)={e}^{x}-1$

Ισχύει για κάθε x στο R ότι ${e}^{x}\geq x+1\Leftrightarrow {e}^{x}-x\geq 1>0\Leftrightarrow {e}^{x}-x>0$
Άρα μπορούμε να διαιρέσουμε.

$f'\left(x \right)=\frac{\left({e}^{x} -x\right)'}{{e}^{x}-x}\Leftrightarrow f\left(x \right)=ln\left({e}^{x} -x\right)+{c}_{2}$
όπου το c προκύπτει 0.

Γ2)
Φθίνουσα στο (-οο,0], αύξουσα στο [0,+οο) άρα ελάχιστο στο 0, το f(0)=0

Γ3)
Κάπου τό'χασα και δεν προλαβαίνω να το δω αυτή τη στιγμή. :redface:

Γ4)
Έστω $g\left(x \right)=ln\left({e}^{x}-x \right)-\sigma \upsilon \nu x=f\left(x \right)-\sigma \upsilon \nu x,\; x\in \left[0,\frac{\pi }{2} \right]$
$g\left(0 \right)=-1<0$
$g\left(\frac{\pi }{2} \right)=f\left(\frac{\pi }{2} \right)>0$
γιατί ισχύει απ'το ακρότατο ότι $f\left(x \right)\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0

Από Bolzano προκύπτει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,π/2)

$g'\left(x \right)=f'\left(x \right)+\eta \mu x,\; \forall x\in \left[0,\frac{\pi }{2} \right]$
Όμως στο (0,+οο) απ'τον πίνακα μονοτονίας έχουμε δείξει ότι f'(x)>0 και επίσης στο πρώτο τεταρτημόριο το ημίτονο είναι θετικό άρα η g' είναι θετική ως άθροισμα θετικών συναρτήσεων. Άρα είναι γνησίως αύξουσα και 1-1. Επομένως η λύση είναι μοναδική.

Άποψή μου: Η διαφορική του πρώτου ερωτήματος ήταν πολύ ωραίο ερώτημα αλλά δεν είναι παίξε γέλασε. Θέλει εξοικίωση με τις διαφορικές.Τα υπόλοιπα ερωτήματα (ακόμα κι αυτό που δε μου βγαίνει

) μου φαίνονται κλασικά.

Έφυγα, για σχολή. Καλή συνέχεια !

Fani93 · 16 Μαΐου 2011 στις 12:06

παιδια το οριο στο 4ο θεμα τι σας βγηκε?
εγω το εβγαλα μειον απειρο.. :hmm:

Άλλο Φρούτο · 16 Μαΐου 2011 στις 12:09

Καλά ε,πολύ εύκολα θέματα.

alexandros451991 · 16 Μαΐου 2011 στις 12:09

Αρχική Δημοσίευση από Fani93:
παιδια το οριο στο 4ο θεμα τι σας βγηκε?
εγω το εβγαλα μειον απειρο..

και εγώ έτσι το έβγαλα και νομιζω πως είναι και σωστό. Πως τα πήγες γενικοτερα???

Αρχική Δημοσίευση από Άλλο Φρούτο:
Καλά ε,πολύ εύκολα θέματα.

Το τελευταίο ερώτημα απο το τέταρτο πως το έλυσες??

[16/5/2011] Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Πώς θεωρείτε ότι τα πήγατε; Κλειστή δημοσκόπηση 4 Ιουνίου 2011.

Άριστα

Πολύ καλά

Καλά

Μέτρια

Άσχημα

Χάλια

Δεν είμαι υποψήφιος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πώς θεωρείτε ότι τα πήγατε;
Κλειστή δημοσκόπηση 4 Ιουνίου 2011.