[16/06/2021] Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Samael]

το δ4 ηταν τυποποιημενο φιλε γτ ειναι κλασσικη εφαρμογη του φερματ.εκει ακριβως φαινεται το χαλι της εκπαιδευσης μας.οι καλοι μαθητες αυτο το ερωτημα το βγαλανε στο κομματι της παραγωγισιμοτητας.μπορει να ξεχασαν την αλλη περιπτωση ομως με το κομματι παραγωγισιμη το βγαλανε σε 1 sec γτ εχουν κανει παρομοια ολη τη χρονια.δηλαδη σου λεγε ελαχιστο σε σημειο ε ειναι φερματ.
στο δ3 δεν ηταν κατι παρομοιο σε βοηθηματα ηθελε να πιασεις το κολπο οτι δεν εχουν κοινη ριζα στους αρνητικους και να παρεις τους ln οπου μετα ναι σε πηγαινε μονο του με βαση το δ2.αλλα αν δεν σου κοβε το μυαλο να παρεις το ln χαιρετα μου τον πλατανο μετα.

Προσπαθώ να σκεφτώ όμως γιατί τους δυσκόλεψε τους περισσότερους. Δηλαδή εμένα ήταν η πρώτη και εντελώς αυθόρμητη αντίδραση να διακρίνω οτι δεν υπάρχει ρίζα στους αρνητικούς και να πάρω το ln δεξιά και αριστερά. Η μόνη δυσκολία απο εκεί και πέρα ίσως ήταν στην εφαπτομένη, αλλά αξιοποιώντας τα προηγούμενα ερωτήματα και το οτι έχουν κοινό σημείο, βγήκε επίσης smooth και αυτό.

 

[eukleidhs1821]

Προσπαθώ να σκεφτώ όμως γιατί τους δυσκόλεψε τους περισσότερους. Δηλαδή εμένα ήταν η πρώτη και εντελώς αυθόρμητη αντίδραση να διακρίνω οτι δεν υπάρχει ρίζα στους αρνητικούς και να πάρω το ln δεξιά και αριστερά. Η μόνη δυσκολία απο εκεί και πέρα ίσως ήταν στην εφαπτομένη, αλλά αξιοποιώντας τα προηγούμενα ερωτήματα και το οτι έχουν κοινό σημείο, βγήκε επίσης smooth και αυτό.

οχι η εφαπτομενη εφοσον ειχες εντοπισει οτι εχουν κοινη ριζα στο χ0 επρεπε να κανεις αιτηση μετα για να μην βγει.εβγαινε με 1500 τροπους οτι εχουν ιδια παραγωγο στο χ0 αρκει να επαιρνες χαμπαρι οτι f(x0)=g(x0) που εμφανιζοταν μεσα στις παραγωγους που λογικα καποιος θα το παιρνε οταν ειχε φτασει εκει.το δυσκολο ηταν η κοινη ριζα.μην το λες οτι ηταν τοσο προφανες.πολλες φορες το ευκολο ειναι το δυσκολο.οι περισσοτεροι θα πηγανε τυφλοσουρτι με θεωρηση συναρτησης h(x)=f(x)-g(x) και δεν σου βγαινε με την καμια.

 

[Samael]

οχι η εφαπτομενη εφοσον ειχες εντοπισει οτι εχουν κοινη ριζα στο χ0 επρεπε να κανεις αιτηση μετα για να μην βγει.εβγαινε με 1500 τροπους οτι εχουν ιδια παραγωγο στο χ0 αρκει να επαιρνες χαμπαρι οτι f(x0)=g(x0) που εμφανιζοταν μεσα στις παραγωγους που λογικα καποιος θα το παιρνε οταν ειχε φτασει εκει.το δυσκολο ηταν η κοινη ριζα.μην το λες οτι ηταν τοσο προφανες.πολλες φορες το ευκολο ειναι το δυσκολο.οι περισσοτεροι θα πηγανε τυφλοσουρτι με θεωρηση συναρτησης h(x)=f(x)-g(x) και δεν σου βγαινε με την καμια.

Καλά ναι, εγώ τα έχω δει και τόσες φορές, σίγουρα δεν κρίνω έναν μαθητή που τα είδε πρώτη φορά στην ζωή του. Είναι αυτό που λεω όμως καμιά φορά...μην κάνουμε κατευθείαν επίθεση στο πρόβλημα. Ας το επεξεργαστούμε λίγο στο μυαλό μας. Δεν πειράζει να χάσουμε 5-10 λεπτά. Μπορούν να αποδειχθούν σωτήρια απο το να ξεκινήσουμε να θέτουμε κατευθείαν και να παλεύουμε εκεί με πράξεις.

 

[eukleidhs1821]

Καλά ναι, εγώ τα έχω δει και τόσες φορές, σίγουρα δεν κρίνω έναν μαθητή που τα είδε πρώτη φορά στην ζωή του. Είναι αυτό που λεω όμως καμιά φορά...μην κάνουμε κατευθείαν επίθεση στο πρόβλημα. Ας το επεξεργαστούμε λίγο στο μυαλό μας. Δεν πειράζει να χάσουμε 5-10 λεπτά. Μπορούν να αποδειχθούν σωτήρια απο το να ξεκινήσουμε να θέτουμε κατευθείαν και να παλεύουμε εκεί με πράξεις.

αν καποιος ειναι λιγο πονηρος καταλαβαινε οτι πρεπει να παρει τους ln με βαση το δ2 ερωτημα διοτι σκεψου στις 2 συναρτησεις δεν εμφανιζοταν καθολου ln αλλα μορφες που σε προδιαθετουν για ln ενω στο δ2 ειχε μονο ln.ειναι και λιγο πονηραδα τα μαθηματικα πολλες φορες

 

[igeorgeoikonomo]

Πάντως, οι καθηγητές στο σχολείο μου είπαν πως η οδηγία λέει ότι 2 μόρια πιάνει η 2η περίπτωση στο δ4 και όχι 3. Μάλιστα, η καθηγήτρια της τάξης μου φέτος έκοβε μόνο 1 στα 7 !! Οπότε, μια χαρά τα γραπτά της

 

[Samael]

αν καποιος ειναι λιγο πονηρος καταλαβαινε οτι πρεπει να παρει τους ln με βαση το δ2 ερωτημα διοτι σκεψου στις 2 συναρτησεις δεν εμφανιζοταν καθολου ln αλλα μορφες που σε προδιαθετουν για ln ενω στο δ2 ειχε μονο ln.ειναι και λιγο πονηραδα τα μαθηματικα πολλες φορες

Βρε πονηράδα είναι σίγουρα μερικές φορές δεν διαφωνώ. Αλλά εδώ πρέπει λίγο να υπάρχει υπομονή και παρατήρηση. Γιατί η πονηράδα χρειάζεται σκέψη. Εαν ο άλλος δεν σκέφτεται αλλά ενεργοποιεί στο μυαλό του πρωτόκολλα αντιμετώπισης κρίσεων(όπου κρίση η άσκηση), είναι λογικό να την πατήσει.

 

[eukleidhs1821]

Βρε πονηράδα είναι σίγουρα μερικές φορές δεν διαφωνώ. Αλλά εδώ πρέπει λίγο να υπάρχει υπομονή και παρατήρηση. Γιατί η πονηράδα χρειάζεται σκέψη. Εαν ο άλλος δεν σκέφτεται αλλά ενεργοποιεί στο μυαλό του πρωτόκολλα αντιμετώπισης κρίσεων(όπου κρίση η άσκηση), είναι λογικό να την πατήσει.

ετσι ειναι δυστυχως.αυτο βεβαια ξεκινα απο την απιστευτη πιεση για το αποτελεσμα.αν δεν υπηρχε τοση πιεση ισως αυτα τα πρωτοκολλα χαλαρωναν λιγο

 

[Samael]

απο το σχολικο βιβλιο αναλυσης στις δεσμες, νομιζω η ιδεα ειναι κοινη απλως εδω εχει νοημα το δεδομενο της συνεχειας σε σχεση με των πανελληνιων

Για τούτο τι λύση προτείνουν;
Εγώ σκέφτηκα την εξής :

Η f είναι συνεχής στο [α,β].Απο το θεώρημα μέγιστης & ελάχιστης τιμής λοιπόν υπάρχουν x1 και χ2 τέτοια ώστε : f(x2) = Μ , και f(χ1) = m , με m <= f(x) <= M , για κάθε x Ε [α,β].

Εαν ήταν x1 = α και χ2 = β, τότε η f θα είχε μέγιστη και ελάχιστη τιμή την f(α) = f(β) = λ . Αυτό θα σήμαινε όμως, ότι η f θα ήταν σταθερή. Η απόδειξη αυτού έιναι απλή. Έστω πως επιλέγαμε ένα τυχαίο σημείο ξ στο (α,β) . Εαν είναι f(ξ) < λ = m , καταλήγουμε σε άτοπο , καθώς το m είναι η ελάχιστη τιμή της f. Εαν είναι f(ξ) > λ = Μ , τότε καταλήγουμε πάλι σε άτοπο , καθώς το M είναι η μέγιστη τιμή της f . Άρα είναι f(χ) = λ για κάθε χ Ε (α,β). Δηλαδή εαν x1 = α και χ2 = β , η f(x) = λ για κάθε x E (α,β) .

Εαν η f είναι σταθερή, δηλαδή για κάθε x Ε (α,β) ισχύει οτι :
f(x) = f(α) = f(β) = λ, τότε η f είναι παραγωγίσιμη(απο θεωρία) και έχει f'(x) = 0. Οπότε όλα τα σημεία του διαστήματος (α,β) είναι κρίσιμα σημεία της. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο στο (α,β).

Εαν το x1 != α ή x2 != β , τότε το x1 ή x2 θα άνηκε στο (α,β). Θα ήταν δηλαδή εσωτερικό σημείο στο οποίο θα παρουσιαζόταν μέγιστο ή ελάχιστο. Εαν η f δεν ήταν παραγωγίσιμη εκεί, τότε θα ήταν κρίσιμο σημείο. Εαν η f ήταν παραγωγίσιμη εκεί, δεδομένου οτι παρουσιάζει ακρότατο, τότε από το θεώρημα του Fermat, θα ήταν f'(χ1) = 0 ή f'(χ2) = 0 , οπότε πάλι θα είχαμε κρίσιμο σημείο.

Σε κάθε περίπτωση, υπάρχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο για την f στο (α,β) .

 

[eukleidhs1821]

Για τούτο τι λύση προτείνουν;
Εγώ σκέφτηκα την εξής :

Η f είναι συνεχής στο [α,β].Απο το θεώρημα μέγιστης & ελάχιστης τιμής λοιπόν υπάρχουν x1 και χ2 τέτοια ώστε : f(x2) = Μ , και f(χ1) = m , με m <= f(x) <= M , για κάθε x Ε [α,β].

Εαν ήταν x1 = α και χ2 = β, τότε η f θα είχε μέγιστη και ελάχιστη τιμή την f(α) = f(β) = λ . Αυτό θα σήμαινε όμως, ότι η f θα ήταν σταθερή. Η απόδειξη αυτού έιναι απλή. Έστω πως επιλέγαμε ένα τυχαίο σημείο ξ στο (α,β) . Εαν είναι f(ξ) < λ = m , καταλήγουμε σε άτοπο , καθώς το m είναι η ελάχιστη τιμή της f. Εαν είναι f(ξ) > λ = Μ , τότε καταλήγουμε πάλι σε άτοπο , καθώς το M είναι η μέγιστη τιμή της f . Άρα είναι f(χ) = λ για κάθε χ Ε (α,β). Δηλαδή εαν x1 = α και χ2 = β , η f(x) = λ για κάθε x E (α,β) .

Εαν η f είναι σταθερή, δηλαδή για κάθε x Ε (α,β) ισχύει οτι :
f(x) = f(α) = f(β) = λ, τότε η f είναι παραγωγίσιμη(απο θεωρία) και έχει f'(x) = 0. Οπότε όλα τα σημεία του διαστήματος (α,β) είναι κρίσιμα σημεία της. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο στο (α,β).

Εαν το x1 != α ή x2 != β , τότε το x1 ή x2 θα άνηκε στο (α,β). Θα ήταν δηλαδή εσωτερικό σημείο στο οποίο θα παρουσιαζόταν μέγιστο ή ελάχιστο. Εαν η f δεν ήταν παραγωγίσιμη εκεί, τότε θα ήταν κρίσιμο σημείο. Εαν η f ήταν παραγωγίσιμη εκεί, δεδομένου οτι παρουσιάζει ακρότατο, τότε από το θεώρημα του Fermat, θα ήταν f'(χ1) = 0 ή f'(χ2) = 0 , οπότε πάλι θα είχαμε κρίσιμο σημείο.

Σε κάθε περίπτωση, υπάρχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο για την f στο (α,β) .

οχι ρε ειναι τελειως απλο.
αν η φ ειναι παραγωγισιμη στο (α,β) κανεις ρολ αρα υπαρχει τουλαχιστον χο στο (α,β) f'(x0)=0 αρα τουλαχιστον ενα κρισιμο σημειο
αν η φ δεν ειναι παραγωγισιμη στο (α,β) εξ ορισμου υπαρχει τουλαχιστον χ0 στο (α,β) που ειναι κρισιμο

 

[Samael]

οχι ρε ειναι τελειως απλο.
αν η φ ειναι παραγωγισιμη στο (α,β) κανεις ρολ αρα υπαρχει τουλαχιστον χο στο (α,β) f'(x0)=0 αρα τουλαχιστον ενα κρισιμο σημειο
αν η φ δεν ειναι παραγωγισιμη στο (α,β) εξ ορισμου υπαρχει τουλαχιστον χ0 στο (α,β) που ειναι κρισιμο

Είναι και αυτή μια πολύ καλή εναλλακτική.