ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

Κορώνα

Νεοφερμένος

Η Κορώνα αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 19 ετών . Έχει γράψει 45 μηνύματα.
Στην περίπτωση που καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;
 

The Mountain

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο The Mountain αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής . Έχει γράψει 946 μηνύματα.
Τίποτα γιατί δεν έχει λύση. Σκέψου τι τιμές παίρνουν οι cos(x) και sin(x) και που τις παίρνουν για να το διαπιστώσεις. Αν δεν το χεις ξαναρωτάς.
 

γιαννης_00

Διάσημο μέλος

Ο γιαννης_00 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 20 ετών . Έχει γράψει 2,222 μηνύματα.
Στην περίπτωση που καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

Αν σωστα εχεις καταληξει εκει δεν υπαρχει λυση με το χ να ανήκει στο R οπως σωστα αναφερει ο the mountain .

Λυση υπαρχει στο πεδιο των μιγαδικων αλλα αυτο διδασκεται σε καποιες σχολες στο πανεπιστημιο.

Στην περίπτωση που καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

Κορωνα βλεποντας παλι την απαντηση που σου εδωσα ειναι μεν προφανης και σωστη αλλα μαθηματικως δεν στεκει.
Η αποδεκτη μαθηματικα αποδειξη θα ηταν να στηριχθούμε σε κατι μαθηματικως αποδεκτο πχ το πεδιο τιμων του
ημχ ή του συνχ το οποιο ειναι μεταξυ -1 εως 1. Αν σου ειναι σημαντικη αυτη η ασκηση πες να το προσπαθησω.
Εμεις στην φυσικη χρησιμοποιουμε συχνα τετοια βολικα προφανη συμπερασματα αλλα εκει οι μαθηματικοι θυμωνουν.
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Τυχερό (Έβρος). Έχει γράψει 2,283 μηνύματα.
Στην περίπτωση που καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;
Η εξισωση εχει λυση αν λυνεται το συστημα ημχ=1 και συνχ=1 διοτι ημχ<=1 και συνχ<=1 ημχ=1 λυνεται για χ=2κπ+π/2 και συν(2κπ+π/2)=συνπ/2=0 αρα το συστημα ειναι αδυνατο.αρα η εξισωση ειναι αδυνατη
 
Τελευταία επεξεργασία:

Κορώνα

Νεοφερμένος

Η Κορώνα αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 19 ετών . Έχει γράψει 45 μηνύματα.
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις όλους απλά έχει τύχει να λύνω γενικές ασκήσεις και να φτάνω σε αυτή την εξίσωση ενώ όλα είναι σωστά
 

γιαννης_00

Διάσημο μέλος

Ο γιαννης_00 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 20 ετών . Έχει γράψει 2,222 μηνύματα.
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις όλους απλά έχει τύχει να λύνω γενικές ασκήσεις και να φτάνω σε αυτή την εξίσωση ενώ όλα είναι σωστά

Α καταλαβα... οχι η ασκηση αυτη δεν μπορει να ειναι υποψηφιο θεμα . Δεν ξερω ποσο κουραστικες για να φτασεις εκει αλλα αν σου γραψω την συνεχεια θα δεις οτι ειναι κουραστικο ,δυσκολο και ανουσιο θεμα.
 

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 25 ετών , Μεταπτυχιακός φοιτητής σε MSc in Cognitive Systems, OUC και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,864 μηνύματα.
Α καταλαβα... οχι η ασκηση αυτη δεν μπορει να ειναι υποψηφιο θεμα . Δεν ξερω ποσο κουραστικες για να φτασεις εκει αλλα αν σου γραψω την συνεχεια θα δεις οτι ειναι κουραστικο ,δυσκολο και ανουσιο θεμα.

Καθόλου δύσκολο θέμα δεν είναι, είναι η αλήθεια. Αρχικά, δεδομένου ότι
\sin x,\cos x\leq1
έπεται άμεσα ότι για να ισχύει η παραπάνω πρέπει να έχουμε
\sin x,\cos x\leq1
. Ωστόσο:

\sin x,\cos x\leq1


Όμως:

\sin x,\cos x\leq1


Άρα δεν έχουμε λύση.
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Τυχερό (Έβρος). Έχει γράψει 2,283 μηνύματα.
Καθόλου δύσκολο θέμα δεν είναι, είναι η αλήθεια. Αρχικά, δεδομένου ότι
\sin x,\cos x\leq1
έπεται άμεσα ότι για να ισχύει η παραπάνω πρέπει να έχουμε
\sin x,\cos x\leq1
. Ωστόσο:

\sin x,\cos x\leq1


Όμως:

\sin x,\cos x\leq1


Άρα δεν έχουμε λύση.
και ετσι οπως το κανω εγω το ιδιο ειναι,αλλα και αυτο καλη λυση ειναι
 

DimV

Νεοφερμένος

Ο DimV αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 25 μηνύματα.
Fun fact: Μια παράσταση της μορφής αημχ + βσυνχ πιάνει μέγιστη τιμή την sqrt(α^2 + β^2). Η συγκεκριμένη πιάνει την sqrt2. Η 3ημχ + 4συνχ για παράδειγμα πιάνει μέγιστη τιμή την 5.
 

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 25 ετών , Μεταπτυχιακός φοιτητής σε MSc in Cognitive Systems, OUC και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,864 μηνύματα.
Fun fact: Μια παράσταση της μορφής αημχ + βσυνχ πιάνει μέγιστη τιμή την sqrt(α^2 + β^2). Η συγκεκριμένη πιάνει την sqrt2. Η 3ημχ + 4συνχ για παράδειγμα πιάνει μέγιστη τιμή την 5.

Ναι, κι αυτό υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να το δεις - π.χ. με παραγώγιση και 2-3 κιλά πράξεις ή με απευθείας απόδειξη της παραπάνω ανισότητας - ή πιο απλά, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz για u=(a,b) και v=(sinx,cosx):

a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}
,

με το = να επιτυγχάνεται αν και μόνο αν τα u,v είναι γραμμικώς εξαρτημένα, δηλαδή όταν:

a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Τυχερό (Έβρος). Έχει γράψει 2,283 μηνύματα.
Απο περιεργεια φ(χ)=sinx+cosx φ'(χ)=cosx-sinx φ'(χ)=0 συνεπαγεται χ=κπ+π/4 φ''(χ)=-sinx-cosx=
-(sinx+cosx) .Αν κ αρτιος φ''(κπ+π/4)=-ριζα2<0 αρα εχει μεγιστο το ριζα2/2+ριζα2/2=ριζα2.
Αν κ περιττος φ''(κπ+π/4)=-(-ριζα2)=ριζα2>0 αρα εχει ελαχιστο το -ριζα2.
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

αυτο δεν ξερω σε επιπεδο γ λυκειου αν υπαρχει θεωρια ή αποδειξη.αποδεικνυεται ως εξης.φ''(χ0)=lim(f'(x)-f'(x0)/x-x0) αν το οριο αυτο ειναι θετικο κοντα στο χ0 σημαινει το κλασμα θετικο.Για τα χ δεξιοτερα του χ0 f'(x)>f'(x0) για τα αριστεροτερα f'(x)<f'(x0) ομως f'(x0)=0 αρα σε μια περιοχη αριστερα του χ0 γν.φθινουσα,δεξιοτερα γν.αυξουσα αρα τοπικο ελαχιστο.
Επαναλαμβανω δεν ξερω αν αυτο ειναι θεωρια ή οχι απλα το αναφερω για να μην μπερδευτει καποιος πως πηρα στην παραπανω ασκηση αυτο το συμπερασμα

Eπισης για τους πανεπιστημιακους αποδεικνυεται και μεσω πολυωνυμου taylor δευτερης ταξης
 
Τελευταία επεξεργασία:

asdfqwerty

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο asdfqwerty αυτή τη στιγμή είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ (Αθήνα) . Έχει γράψει 368 μηνύματα.
Ναι, κι αυτό υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να το δεις - π.χ. με παραγώγιση και 2-3 κιλά πράξεις ή με απευθείας απόδειξη της παραπάνω ανισότητας - ή πιο απλά, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz για u=(a,b) και v=(sinx,cosx):

a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}
,

με το = να επιτυγχάνεται αν και μόνο αν τα u,v είναι γραμμικώς εξαρτημένα, δηλαδή όταν:

a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}

Απο περιεργεια φ(χ)=sinx+cosx φ'(χ)=cosx-sinx φ'(χ)=0 συνεπαγεται χ=κπ+π/4 φ''(χ)=-sinx-cosx=
-(sinx+cosx) .Αν κ αρτιος φ''(κπ+π/4)=-ριζα2<0 αρα εχει μεγιστο το ριζα2/2+ριζα2/2=ριζα2.
Αν κ περιττος φ''(κπ+π/4)=-(-ριζα2)=ριζα2>0 αρα εχει ελαχιστο το -ριζα2.
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

αυτο δεν ξερω σε επιπεδο γ λυκειου αν υπαρχει θεωρια ή αποδειξη.αποδεικνυεται ως εξης.φ''(χ0)=lim(f'(x)-f'(x0)/x-x0) αν το οριο αυτο ειναι θετικο κοντα στο χ0 σημαινει το κλασμα θετικο.Για τα χ δεξιοτερα του χ0 f'(x)>f'(x0) για τα αριστεροτερα f'(x)<f'(x0) ομως f'(x0)=0 αρα σε μια περιοχη αριστερα του χ0 γν.φθινουσα,δεξιοτερα γν.αυξουσα αρα τοπικο ελαχιστο.
Επαναλαμβανω δεν ξερω αν αυτο ειναι θεωρια ή οχι απλα το αναφερω για να μην μπερδευτει καποιος πως πηρα στην παραπανω ασκηση αυτο το συμπερασμα
μπορεις να μελετησεις την συγκεριμενη συναρτηση στο [0,2π] αφου ειναι περιοδικη με περιοδο με 2π
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Τυχερό (Έβρος). Έχει γράψει 2,283 μηνύματα.
μπορεις να μελετησεις την συγκεριμενη συναρτηση στο [0,2π] αφου ειναι περιοδικη με περιοδο με 2π
σωστος γτ θα εχει την ιδια συμπεριφορα παντου αν την μελετησεις σε αυτο το διαστημα οντας περιοδικη.βεβαια πρωτα θα πρεπει να αποδειξεις οτι ειναι περιοδικη με περιοδο 2π γτ μπορει καποιος να σου πει δεν ξερω δειχτο.
 

asdfqwerty

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο asdfqwerty αυτή τη στιγμή είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ (Αθήνα) . Έχει γράψει 368 μηνύματα.
σωστος γτ θα εχει την ιδια συμπεριφορα παντου αν την μελετησεις σε αυτο το διαστημα οντας περιοδικη.βεβαια πρωτα θα πρεπει να αποδειξεις οτι ειναι περιοδικη με περιοδο 2π γτ μπορει καποιος να σου πει δεν ξερω δειχτο
ε απλο ειναι να βγει αλλα ενταξει σε ενα επισημο κειμενο θα ηθελε αποδειξη αλλα δεν υπαρχει περιπτωση να τυχει σε εξετασεις-πανελληνιες κατι τετοιο
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Τυχερό (Έβρος). Έχει γράψει 2,283 μηνύματα.
H αποδειξη ειναι.Η περιοδος ειναι 2π διοτι φ(χ+2π)=φ(χ-2π)=φ(χ) και χ+2π,χ-2π ανηκου στο πεδιο ορισμου.Καλο ειναι ολα τα παιδια να ειναι λιγο ψιλιασμενα και να μαθαινουν σε βαθος τα παντα διοτι σε πανελλαδικες εστι θα χτυπησουνε μεγαλο βαθμο,αλλα οχι μονο σε πανελλαδικες και γενικοτερα.Το βαθος και η ευρυτητα σκεψης σε παει μπροστα
 

DimV

Νεοφερμένος

Ο DimV αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 25 μηνύματα.
Ένας άλλος τρόπος να το δεις είναι να γράψεις το ημχ + συνχ ως ριζα2*ημ(χ + π/4) με βάση την ταυτοτητα ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ. Έτσι προκύπτει και η περιοδικότητα αλλά και μια πολύ πιο βολική μορφή για την επίλυση εξισώσεων
 

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 25 ετών , Μεταπτυχιακός φοιτητής σε MSc in Cognitive Systems, OUC και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,864 μηνύματα.
Απο περιεργεια φ(χ)=sinx+cosx φ'(χ)=cosx-sinx φ'(χ)=0 συνεπαγεται χ=κπ+π/4 φ''(χ)=-sinx-cosx=
-(sinx+cosx) .Αν κ αρτιος φ''(κπ+π/4)=-ριζα2<0 αρα εχει μεγιστο το ριζα2/2+ριζα2/2=ριζα2.
Αν κ περιττος φ''(κπ+π/4)=-(-ριζα2)=ριζα2>0 αρα εχει ελαχιστο το -ριζα2.
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

αυτο δεν ξερω σε επιπεδο γ λυκειου αν υπαρχει θεωρια ή αποδειξη.αποδεικνυεται ως εξης.φ''(χ0)=lim(f'(x)-f'(x0)/x-x0) αν το οριο αυτο ειναι θετικο κοντα στο χ0 σημαινει το κλασμα θετικο.Για τα χ δεξιοτερα του χ0 f'(x)>f'(x0) για τα αριστεροτερα f'(x)<f'(x0) ομως f'(x0)=0 αρα σε μια περιοχη αριστερα του χ0 γν.φθινουσα,δεξιοτερα γν.αυξουσα αρα τοπικο ελαχιστο.
Επαναλαμβανω δεν ξερω αν αυτο ειναι θεωρια ή οχι απλα το αναφερω για να μην μπερδευτει καποιος πως πηρα στην παραπανω ασκηση αυτο το συμπερασμα

Για το όριο είναι εντός το συμπέρασμα της τοπικής συμπεριφοράς - ότι η συνάρτηση έχει τοπικά το ίδιο πρόσημο με το όριό της εκεί.
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Τυχερό (Έβρος). Έχει γράψει 2,283 μηνύματα.

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 25 ετών , Μεταπτυχιακός φοιτητής σε MSc in Cognitive Systems, OUC και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,864 μηνύματα.

Samael

Συντονιστής

Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών Δυτικής Αττικής (Αιγάλεω) και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 5,073 μηνύματα.
Ναι, κι αυτό υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να το δεις - π.χ. με παραγώγιση και 2-3 κιλά πράξεις ή με απευθείας απόδειξη της παραπάνω ανισότητας - ή πιο απλά, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz για u=(a,b) και v=(sinx,cosx):

a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}
,

με το = να επιτυγχάνεται αν και μόνο αν τα u,v είναι γραμμικώς εξαρτημένα, δηλαδή όταν:

a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}

Η καλύτερη απόδειξη για εμένα πιστεύω είναι του Βασίλη γιατί 1ον) είναι η απλούστερη, 2ον)Μαθηματικώς μιλώντας είναι η πιο αναλυτική , και 3ον)χρησιμοποιεί την ανισότητα Cauchy-Schwarz, βλέποντας ως διανύσματα τα χ1= <α,b> & χ2= <sinx,cosx>.

Η απόδειξη μπορεί να γίνει και με χρήση μιγαδικών, αν εκφραστούν τα sinx και cosx ως μιγαδικά εκθετικά. Συγκεκριμένα καταλήγουμε σε μια έκφραση της μορφής :

αsinx+bcosx = cos(x-θ)√(α²+b²) <= √(α²+b²) ,εφόσον cos(χ-θ)<=1

Όπου θ =
{atan(α/β) ,εαν α>0 & β>0
π-atan(-α/β) , εαν α>0 & β<0
-atan(-α/β), εαν α<0 & β>0
-π+atan(α/β) , εαν α<0 & α<0 }

Όπως και πριν εαν x = 2κπ+θ, για κ=0,1,2,...τότε ισχύει η ισότητα.
Για παράδειγμα εαν κ = 0, α>0 ^ b>0 =>
χ= θ =atan(α/β) =>
x-θ = 0 => cos(χ-θ) = 1 =>
αsinx+bcosx = √(α²+b²)

Η απλούστερη λύση όλων και μάλλον αυτό που θα αρκούσε σε μια εξέταση, αλλά η λιγότερο ας πούμε "εντυπωσιακή" είναι να σκεφτεί κανείς στο αρχικό πρόβλημα :

sinx+cosx = 2 , οτι το cosx προπορεύεται του sinx κατά π/2 . Κάνοντας το γράφημα των δυο συναρτήσεων λοιπόν για το διάστημα [0,2π] (ως περιοδικές συναρτήσεις) είναι φανερό οτι δεν παίρνουν ποτέ στο ίδιο σημείο την τιμή 1,σε όλο το R .

Διασκεδαστικό πρόβλημα θα έλεγα, από την άποψη οτι ώθησε σε αποδείξεις της γενίκευσης του.
 
Τελευταία επεξεργασία:

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Top