ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

Κορώνα · 05-10-20

Στην περίπτωση που καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

The Mountain · 05-10-20

Τίποτα γιατί δεν έχει λύση. Σκέψου τι τιμές παίρνουν οι cos(x) και sin(x) και που τις παίρνουν για να το διαπιστώσεις. Αν δεν το χεις ξαναρωτάς.

ιωαννηs · 05-10-20

Αρχική Δημοσίευση από Κορώνα:
Στην περίπτωση που καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

Αν σωστα εχεις καταληξει εκει δεν υπαρχει λυση με το χ να ανήκει στο R οπως σωστα αναφερει ο the mountain .

Λυση υπαρχει στο πεδιο των μιγαδικων αλλα αυτο διδασκεται σε καποιες σχολες στο πανεπιστημιο.

Αρχική Δημοσίευση από Κορώνα:
Στην περίπτωση που καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

Κορωνα βλεποντας παλι την απαντηση που σου εδωσα ειναι μεν προφανης και σωστη αλλα μαθηματικως δεν στεκει.
Η αποδεκτη μαθηματικα αποδειξη θα ηταν να στηριχθούμε σε κατι μαθηματικως αποδεκτο πχ το πεδιο τιμων του
ημχ ή του συνχ το οποιο ειναι μεταξυ -1 εως 1. Αν σου ειναι σημαντικη αυτη η ασκηση πες να το προσπαθησω.
Εμεις στην φυσικη χρησιμοποιουμε συχνα τετοια βολικα προφανη συμπερασματα αλλα εκει οι μαθηματικοι θυμωνουν.

eukleidhs1821 · 5 Οκτωβρίου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Κορώνα:
Στην περίπτωση που καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

Η εξισωση εχει λυση αν λυνεται το συστημα ημχ=1 και συνχ=1 διοτι ημχ<=1 και συνχ<=1 ημχ=1 λυνεται για χ=2κπ+π/2 και συν(2κπ+π/2)=συνπ/2=0 αρα το συστημα ειναι αδυνατο.αρα η εξισωση ειναι αδυνατη

Κορώνα · 05-10-20

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις όλους απλά έχει τύχει να λύνω γενικές ασκήσεις και να φτάνω σε αυτή την εξίσωση ενώ όλα είναι σωστά

ιωαννηs · 05-10-20

Αρχική Δημοσίευση από Κορώνα:
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις όλους απλά έχει τύχει να λύνω γενικές ασκήσεις και να φτάνω σε αυτή την εξίσωση ενώ όλα είναι σωστά

Α καταλαβα... οχι η ασκηση αυτη δεν μπορει να ειναι υποψηφιο θεμα . Δεν ξερω ποσο κουραστικες για να φτασεις εκει αλλα αν σου γραψω την συνεχεια θα δεις οτι ειναι κουραστικο ,δυσκολο και ανουσιο θεμα.

Μάρκος Βασίλης · 05-10-20

Αρχική Δημοσίευση από γιαννης_00:
Α καταλαβα... οχι η ασκηση αυτη δεν μπορει να ειναι υποψηφιο θεμα . Δεν ξερω ποσο κουραστικες για να φτασεις εκει αλλα αν σου γραψω την συνεχεια θα δεις οτι ειναι κουραστικο ,δυσκολο και ανουσιο θεμα.

Καθόλου δύσκολο θέμα δεν είναι, είναι η αλήθεια. Αρχικά, δεδομένου ότι

$\sin x,\cos x\leq1$

έπεται άμεσα ότι για να ισχύει η παραπάνω πρέπει να έχουμε

$\sin x,\cos x\leq1$

. Ωστόσο:

$\sin x,\cos x\leq1$

Όμως:

$\sin x,\cos x\leq1$

Άρα δεν έχουμε λύση.

eukleidhs1821 · 06-10-20

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Καθόλου δύσκολο θέμα δεν είναι, είναι η αλήθεια. Αρχικά, δεδομένου ότι
$\sin x,\cos x\leq1$
έπεται άμεσα ότι για να ισχύει η παραπάνω πρέπει να έχουμε
$\sin x,\cos x\leq1$
. Ωστόσο:

$\sin x,\cos x\leq1$

Όμως:

$\sin x,\cos x\leq1$

Άρα δεν έχουμε λύση.

και ετσι οπως το κανω εγω το ιδιο ειναι,αλλα και αυτο καλη λυση ειναι

DimV · 06-10-20

Fun fact: Μια παράσταση της μορφής αημχ + βσυνχ πιάνει μέγιστη τιμή την sqrt(α^2 + β^2). Η συγκεκριμένη πιάνει την sqrt2. Η 3ημχ + 4συνχ για παράδειγμα πιάνει μέγιστη τιμή την 5.

Μάρκος Βασίλης · 06-10-20

Αρχική Δημοσίευση από DimV:
Fun fact: Μια παράσταση της μορφής αημχ + βσυνχ πιάνει μέγιστη τιμή την sqrt(α^2 + β^2). Η συγκεκριμένη πιάνει την sqrt2. Η 3ημχ + 4συνχ για παράδειγμα πιάνει μέγιστη τιμή την 5.

Ναι, κι αυτό υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να το δεις - π.χ. με παραγώγιση και 2-3 κιλά πράξεις ή με απευθείας απόδειξη της παραπάνω ανισότητας - ή πιο απλά, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz για u=(a,b) και v=(sinx,cosx):

$a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}$

,

με το = να επιτυγχάνεται αν και μόνο αν τα u,v είναι γραμμικώς εξαρτημένα, δηλαδή όταν:

$a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}$

eukleidhs1821 · 6 Οκτωβρίου 2020

Απο περιεργεια φ(χ)=sinx+cosx φ'(χ)=cosx-sinx φ'(χ)=0 συνεπαγεται χ=κπ+π/4 φ''(χ)=-sinx-cosx=
-(sinx+cosx) .Αν κ αρτιος φ''(κπ+π/4)=-ριζα2<0 αρα εχει μεγιστο το ριζα2/2+ριζα2/2=ριζα2.
Αν κ περιττος φ''(κπ+π/4)=-(-ριζα2)=ριζα2>0 αρα εχει ελαχιστο το -ριζα2.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 6 Οκτωβρίου 2020

αυτο δεν ξερω σε επιπεδο γ λυκειου αν υπαρχει θεωρια ή αποδειξη.αποδεικνυεται ως εξης.φ''(χ0)=lim(f'(x)-f'(x0)/x-x0) αν το οριο αυτο ειναι θετικο κοντα στο χ0 σημαινει το κλασμα θετικο.Για τα χ δεξιοτερα του χ0 f'(x)>f'(x0) για τα αριστεροτερα f'(x)<f'(x0) ομως f'(x0)=0 αρα σε μια περιοχη αριστερα του χ0 γν.φθινουσα,δεξιοτερα γν.αυξουσα αρα τοπικο ελαχιστο.
Επαναλαμβανω δεν ξερω αν αυτο ειναι θεωρια ή οχι απλα το αναφερω για να μην μπερδευτει καποιος πως πηρα στην παραπανω ασκηση αυτο το συμπερασμα

Eπισης για τους πανεπιστημιακους αποδεικνυεται και μεσω πολυωνυμου taylor δευτερης ταξης

asdfqwerty · 6 Οκτωβρίου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Ναι, κι αυτό υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να το δεις - π.χ. με παραγώγιση και 2-3 κιλά πράξεις ή με απευθείας απόδειξη της παραπάνω ανισότητας - ή πιο απλά, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz για u=(a,b) και v=(sinx,cosx):

$a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}$
,

με το = να επιτυγχάνεται αν και μόνο αν τα u,v είναι γραμμικώς εξαρτημένα, δηλαδή όταν:

$a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}$

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
Απο περιεργεια φ(χ)=sinx+cosx φ'(χ)=cosx-sinx φ'(χ)=0 συνεπαγεται χ=κπ+π/4 φ''(χ)=-sinx-cosx=
-(sinx+cosx) .Αν κ αρτιος φ''(κπ+π/4)=-ριζα2<0 αρα εχει μεγιστο το ριζα2/2+ριζα2/2=ριζα2.
Αν κ περιττος φ''(κπ+π/4)=-(-ριζα2)=ριζα2>0 αρα εχει ελαχιστο το -ριζα2.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 6 Οκτωβρίου 2020

αυτο δεν ξερω σε επιπεδο γ λυκειου αν υπαρχει θεωρια ή αποδειξη.αποδεικνυεται ως εξης.φ''(χ0)=lim(f'(x)-f'(x0)/x-x0) αν το οριο αυτο ειναι θετικο κοντα στο χ0 σημαινει το κλασμα θετικο.Για τα χ δεξιοτερα του χ0 f'(x)>f'(x0) για τα αριστεροτερα f'(x)<f'(x0) ομως f'(x0)=0 αρα σε μια περιοχη αριστερα του χ0 γν.φθινουσα,δεξιοτερα γν.αυξουσα αρα τοπικο ελαχιστο.
Επαναλαμβανω δεν ξερω αν αυτο ειναι θεωρια ή οχι απλα το αναφερω για να μην μπερδευτει καποιος πως πηρα στην παραπανω ασκηση αυτο το συμπερασμα

μπορεις να μελετησεις την συγκεριμενη συναρτηση στο [0,2π] αφου ειναι περιοδικη με περιοδο με 2π

eukleidhs1821 · 06-10-20

Αρχική Δημοσίευση από asdfqwerty:
μπορεις να μελετησεις την συγκεριμενη συναρτηση στο [0,2π] αφου ειναι περιοδικη με περιοδο με 2π

σωστος γτ θα εχει την ιδια συμπεριφορα παντου αν την μελετησεις σε αυτο το διαστημα οντας περιοδικη.βεβαια πρωτα θα πρεπει να αποδειξεις οτι ειναι περιοδικη με περιοδο 2π γτ μπορει καποιος να σου πει δεν ξερω δειχτο.

asdfqwerty · 06-10-20

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
σωστος γτ θα εχει την ιδια συμπεριφορα παντου αν την μελετησεις σε αυτο το διαστημα οντας περιοδικη.βεβαια πρωτα θα πρεπει να αποδειξεις οτι ειναι περιοδικη με περιοδο 2π γτ μπορει καποιος να σου πει δεν ξερω δειχτο

ε απλο ειναι να βγει αλλα ενταξει σε ενα επισημο κειμενο θα ηθελε αποδειξη αλλα δεν υπαρχει περιπτωση να τυχει σε εξετασεις-πανελληνιες κατι τετοιο

eukleidhs1821 · 06-10-20

H αποδειξη ειναι.Η περιοδος ειναι 2π διοτι φ(χ+2π)=φ(χ-2π)=φ(χ) και χ+2π,χ-2π ανηκου στο πεδιο ορισμου.Καλο ειναι ολα τα παιδια να ειναι λιγο ψιλιασμενα και να μαθαινουν σε βαθος τα παντα διοτι σε πανελλαδικες εστι θα χτυπησουνε μεγαλο βαθμο,αλλα οχι μονο σε πανελλαδικες και γενικοτερα.Το βαθος και η ευρυτητα σκεψης σε παει μπροστα

DimV · 06-10-20

Ένας άλλος τρόπος να το δεις είναι να γράψεις το ημχ + συνχ ως ριζα2*ημ(χ + π/4) με βάση την ταυτοτητα ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ. Έτσι προκύπτει και η περιοδικότητα αλλά και μια πολύ πιο βολική μορφή για την επίλυση εξισώσεων

Μάρκος Βασίλης · 6 Οκτωβρίου 2020

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
Απο περιεργεια φ(χ)=sinx+cosx φ'(χ)=cosx-sinx φ'(χ)=0 συνεπαγεται χ=κπ+π/4 φ''(χ)=-sinx-cosx=
-(sinx+cosx) .Αν κ αρτιος φ''(κπ+π/4)=-ριζα2<0 αρα εχει μεγιστο το ριζα2/2+ριζα2/2=ριζα2.
Αν κ περιττος φ''(κπ+π/4)=-(-ριζα2)=ριζα2>0 αρα εχει ελαχιστο το -ριζα2.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 6 Οκτωβρίου 2020

αυτο δεν ξερω σε επιπεδο γ λυκειου αν υπαρχει θεωρια ή αποδειξη.αποδεικνυεται ως εξης.φ''(χ0)=lim(f'(x)-f'(x0)/x-x0) αν το οριο αυτο ειναι θετικο κοντα στο χ0 σημαινει το κλασμα θετικο.Για τα χ δεξιοτερα του χ0 f'(x)>f'(x0) για τα αριστεροτερα f'(x)<f'(x0) ομως f'(x0)=0 αρα σε μια περιοχη αριστερα του χ0 γν.φθινουσα,δεξιοτερα γν.αυξουσα αρα τοπικο ελαχιστο.
Επαναλαμβανω δεν ξερω αν αυτο ειναι θεωρια ή οχι απλα το αναφερω για να μην μπερδευτει καποιος πως πηρα στην παραπανω ασκηση αυτο το συμπερασμα

Για το όριο είναι εντός το συμπέρασμα της τοπικής συμπεριφοράς - ότι η συνάρτηση έχει τοπικά το ίδιο πρόσημο με το όριό της εκεί.

eukleidhs1821 · 06-10-20

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Για το όριο είναι εντός το συμπέρασμα της τοπικής συμπεριφοράς - ότι η συνάρτηση έχει τοπικά το ίδιο πρόσημο με το όριό της εκεί.

ωραια.το κριτηριο της δευτερης παραγωγου δεν ξερω αν ειναι.

Μάρκος Βασίλης · 06-10-20

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
ωραια.το κριτηριο της δευτερης παραγωγου δεν ξερω αν ειναι.

Εκτός, γενικά, αλλά εντός βιβλίου - γενικής παιδείας.

Samael · 6 Οκτωβρίου 2020

Αρχική Δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης:
Ναι, κι αυτό υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να το δεις - π.χ. με παραγώγιση και 2-3 κιλά πράξεις ή με απευθείας απόδειξη της παραπάνω ανισότητας - ή πιο απλά, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz για u=(a,b) και v=(sinx,cosx):

$a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}$
,

με το = να επιτυγχάνεται αν και μόνο αν τα u,v είναι γραμμικώς εξαρτημένα, δηλαδή όταν:

$a\sin x+b\cos x\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{\sin^2x+\cos^2x}=\sqrt{a^2+b^2}$

Η καλύτερη απόδειξη για εμένα πιστεύω είναι του Βασίλη γιατί 1ον) είναι η απλούστερη, 2ον)Μαθηματικώς μιλώντας είναι η πιο αναλυτική , και 3ον)χρησιμοποιεί την ανισότητα Cauchy-Schwarz, βλέποντας ως διανύσματα τα χ1= <α,b> & χ2= <sinx,cosx>.

Η απόδειξη μπορεί να γίνει και με χρήση μιγαδικών, αν εκφραστούν τα sinx και cosx ως μιγαδικά εκθετικά. Συγκεκριμένα καταλήγουμε σε μια έκφραση της μορφής :

αsinx+bcosx = cos(x-θ)√(α²+b²) <= √(α²+b²) ,εφόσον cos(χ-θ)<=1

Όπου θ =
{atan(α/β) ,εαν α>0 & β>0
π-atan(-α/β) , εαν α>0 & β<0
-atan(-α/β), εαν α<0 & β>0
-π+atan(α/β) , εαν α<0 & α<0 }

Όπως και πριν εαν x = 2κπ+θ, για κ=0,1,2,...τότε ισχύει η ισότητα.
Για παράδειγμα εαν κ = 0, α>0 ^ b>0 =>
χ= θ =atan(α/β) =>
x-θ = 0 => cos(χ-θ) = 1 =>
αsinx+bcosx = √(α²+b²)

Η απλούστερη λύση όλων και μάλλον αυτό που θα αρκούσε σε μια εξέταση, αλλά η λιγότερο ας πούμε "εντυπωσιακή" είναι να σκεφτεί κανείς στο αρχικό πρόβλημα :

sinx+cosx = 2 , οτι το cosx προπορεύεται του sinx κατά π/2 . Κάνοντας το γράφημα των δυο συναρτήσεων λοιπόν για το διάστημα [0,2π] (ως περιοδικές συναρτήσεις) είναι φανερό οτι δεν παίρνουν ποτέ στο ίδιο σημείο την τιμή 1,σε όλο το R .

Διασκεδαστικό πρόβλημα θα έλεγα, από την άποψη οτι ώθησε σε αποδείξεις της γενίκευσης του.

ημχ+συνχ=2 τι μπορούμε να κάνουμε για να την λύσουμε;

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος