Φυσική Γ Λυκείου - Ασκήσεις στις ταλαντώσεις

[Cade]

Καλησπέρα σας. Θα μπορούσατε να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση; Ήδη την έφτασα σε ένα σημείο αλλά δεν κατάφερα να λύσω τα Γ3, Γ4 ii.
Ευχαριστώ

Το πρόβλημα μου στο Γ3 είναι σχετικά με την ταχύτητα που θα έχει εκείνη τη στιγμή, νομίζω με μια αδετ βγαίνει το πλάτος

 

[Cade]

συγγνώμη παραθέτω ένα πιο αντιπροσωπευτικό σχήμα

 

[Samael]

Καλησπέρα σας. Θα μπορούσατε να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση; Ήδη την έφτασα σε ένα σημείο αλλά δεν κατάφερα να λύσω τα Γ3, Γ4 ii.
Ευχαριστώ

Το πρόβλημα μου στο Γ3 είναι σχετικά με την ταχύτητα που θα έχει εκείνη τη στιγμή, νομίζω με μια αδετ βγαίνει το πλάτος

Η γενική σχέση που δίνει την θέση ενός σώματος που κάνει ταλάντωση είναι :
x(t) = Asin(ωt+φ)

Και της ταχύτητας :
u(t) = ωΑcos(ωt+φ)

Επομένως έχεις να βρεις δύο πράγματα. Την αρχική φάση φ και το πλάτος Α της ταλάντωσης του νέου συστήματος.

Γνωρίζεις οτι τοποθετείς το νέο σώμα με μηδενική ταχύτητα, την στιγμή που ο δίσκος έχει φτάσει στο κατώτατο σημείο και έχει επίσης μηδενική ταχύτητα. Επομένως την στιγμή που τοποθετείς το σώμα πάνω στο δίσκο,το σύστημα βρίσκεται σε ακραία θέση της τροχιάς ταλάντωσης του καθώς έχει μηδενική ταχύτητα.

Το ερώτημα λοιπόν είναι πόσο απέχει η θέση που βρίσκεται εκείνη την στιγμή το σύστημα, απο την νέα θέση ισορροπίας του συστήματος. Για να το σκεφτούμε.

Ο δίσκος αρχικά έχει θέση ισορροπίας -0.075m(μετρώντας ως προς την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου). Έχει και πλάτος Α = 0.2m , οπότε στην κάτω ακραία θέση του,θα βρίσκεται σε απόσταση :

x = -0.075m - 0.2m = -0.275m

Η νέα θέση ισορροπίας βρίσκεται σε θέση x' = -0.1m, όπως έχεις βρει.
Άρα η απόσταση των δύο θα είναι ίση με το νέο πλάτος ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο-δίσκος-σώμα :
d = A' = |x-x'| = |-0.275m + 0.1m| = 0.175m

Πάει αυτό. Πάμε στην φάση τώρα.Την χρονική στιγμή t = 0, έχεις x'(0) = -A , άρα :
A'sin(ω*0+φ) = -A' =>
sin(φ) = -1 =>
φ = 3π/2

Έχεις βρει και το το f = 5/π Hz, οπότε ω = 2πf = 2π*(5/π) rad/s = 10 rad/s.
Οπότε :

u'(t) = ωΑ'cos(ωt+φ) =>
u'(t) = 1.75cos(10t+3π/2) m/s

Για το Γii) σκέψου το εξής :
Ξέρεις την θέση που γίνεται ο αποχωρισμός. Είναι η θέση ισορροπίας του συστήματος ελατήριο-δίσκος-μάζα(και όχι όπως εκ παραδρομής λογικά έγραψες, η θέση φυσικού μήκους). Οπότε η ταχύτητα του συστήματος εκείνη στην στιγμή θα είναι :

u = umax = 1.75 m/s.
Ξέρεις οτι η θέση ισορροπίας του συστήματος ελατηρίου-δίσκου είναι : x = -0.075m
Ξέρεις και οτι η θέση που έγινε ο αποχωρισμός είναι x' = -0.1m

Άρα βρίσκεσαι σε απόσταση απο την νέα θέση ισορροπίας(που στην ουσία είναι η αρχική) :
Δχ = |x-x'| = 0.025m


Ξέρεις επίσης οτι D = K , οπότε :
0.5KA'² = 0.5M(umax)² + 0.5K(Δχ)² =>

Λύνεις ως προς A'... Διότι, ενώ μπορεί η θέση ισορροπίας να είναι ίδια με την αρχή, ένα μέρος της κινητικής ενέργειας του αρχικού συστήματος ελατήριο-μάζα, μοιράστηκε και στο σώμα μάζας m που έφυγε προς τα πάνω. Άρα το πλάτος σου δεν θα είναι ίδιο με την πολύ αρχική κατάσταση του συστήματος ελατήριο-δίσκος που είχαμε πριν βάλουμε καν το σώμα πάνω στον δίσκο.

Ξέρεις και οτι θα είναι :
ω = sqrt(K/M) = sqrt(400/3) = 20sqrt(3)/3 rad/s

Οπότε :
|umax'| = |ωA'|=...

Does it make sense to you ?

 

[Cade]

Η γενική σχέση που δίνει την θέση ενός σώματος που κάνει ταλάντωση είναι :
x(t) = Asin(ωt+φ)

Και της ταχύτητας :
u(t) = ωΑcos(ωt+φ)

Επομένως έχεις να βρεις δύο πράγματα. Την αρχική φάση φ και το πλάτος Α της ταλάντωσης του νέου συστήματος.

Γνωρίζεις οτι τοποθετείς το νέο σώμα με μηδενική ταχύτητα, την στιγμή που ο δίσκος έχει φτάσει στο κατώτατο σημείο και έχει επίσης μηδενική ταχύτητα. Επομένως την στιγμή που τοποθετείς το σώμα πάνω στο δίσκο,το σύστημα βρίσκεται σε ακραία θέση της τροχιάς ταλάντωσης του καθώς έχει μηδενική ταχύτητα.

Το ερώτημα λοιπόν είναι πόσο απέχει η θέση που βρίσκεται εκείνη την στιγμή το σύστημα, απο την νέα θέση ισορροπίας του συστήματος. Για να το σκεφτούμε.

Ο δίσκος αρχικά έχει θέση ισορροπίας -0.075m(μετρώντας ως προς την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου). Έχει και πλάτος Α = 0.2m , οπότε στην κάτω ακραία θέση του,θα βρίσκεται σε απόσταση :

x = -0.075m - 0.2m = -0.275m

Η νέα θέση ισορροπίας βρίσκεται σε θέση x' = -0.1m, όπως έχεις βρει.
Άρα η απόσταση των δύο θα είναι ίση με το νέο πλάτος ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο-δίσκος-σώμα :
d = A' = |x-x'| = |-0.275m + 0.1m| = 0.175m

Πάει αυτό. Πάμε στην φάση τώρα.Την χρονική στιγμή t = 0, έχεις x'(0) = -A , άρα :
A'sin(ω*0+φ) = -A' =>
sin(φ) = -1 =>
φ = 3π/2

Έχεις βρει και το το f = 5/π Hz, οπότε ω = 2πf = 2π*(5/π) rad/s = 10 rad/s.
Οπότε :

u'(t) = ωΑ'cos(ωt+φ) =>
u'(t) = 1.75cos(10t+3π/2) m/s

Για το Γii) σκέψου το εξής :
Ξέρεις την θέση που γίνεται ο αποχωρισμός. Είναι η θέση ισορροπίας του συστήματος ελατήριο-δίσκος-μάζα(και όχι όπως εκ παραδρομής λογικά έγραψες, η θέση φυσικού μήκους). Οπότε η ταχύτητα του συστήματος εκείνη στην στιγμή θα είναι :

u = umax = 1.75 m/s.
Ξέρεις οτι η θέση ισορροπίας του συστήματος ελατηρίου-δίσκου είναι : x = -0.075m
Ξέρεις και οτι η θέση που έγινε ο αποχωρισμός είναι x' = -0.1m

Άρα βρίσκεσαι σε απόσταση απο την νέα θέση ισορροπίας(που στην ουσία είναι η αρχική) :
Δχ = |x-x'| = 0.025m


Ξέρεις επίσης οτι D = K , οπότε :
0.5KA'² = 0.5M(umax)² + 0.5K(Δχ)² =>

Λύνεις ως προς A'... Διότι, ενώ μπορεί η θέση ισορροπίας να είναι ίδια με την αρχή, ένα μέρος της κινητικής ενέργειας του αρχικού συστήματος ελατήριο-μάζα, μοιράστηκε και στο σώμα μάζας m που έφυγε προς τα πάνω. Άρα το πλάτος σου δεν θα είναι ίδιο με την πολύ αρχική κατάσταση του συστήματος ελατήριο-δίσκος που είχαμε πριν βάλουμε καν το σώμα πάνω στον δίσκο.

Ξέρεις και οτι θα είναι :
ω = sqrt(K/M) = sqrt(400/3) = 20sqrt(3)/3 rad/s

Οπότε :
|umax'| = |ωA'|=...

Does it make sense to you ?

Σε ευχαριστώ πολύ κατάλαβα. Όμως γιατί θα αποχωριστεί στη θέση ισορροπίας το σώμα ; Το χ δεν το μετράμε από τη θέση ισορροπίας 2;

 

[Samael]

Σε ευχαριστώ πολύ κατάλαβα. Όμως γιατί θα αποχωριστεί στη θέση ισορροπίας το σώμα ; Το χ δεν το μετράμε από τη θέση ισορροπίας 2;

Σωστά τα λες , από την θέση ισορροπίας 2 το μέτραμε και σε αυτή θα γίνει η αποχώρηση. Αυτή την είχαμε βρει -0.1m κάτω από την θέση φυσικού μήκους. Ενώ την θέση της πρώτης θέσης ισορροπίας στα -0.075m.

Ως προς την θέση ισορροπίας 2 είναι x = 0m την στιγμή της αποχωρησης. Ωστόσο μετράς τα πάντα ως προς την θέση φυσικού μήκους διότι αποτελεί αναλλοίωτο σημείο αναφοράς καθόλη την διάρκεια των φαινομένων. Όχι επειδή είναι υποχρεωτικό, αλλά επειδή μας βολεύει.

Μπορείς να το σκεφτείς και διαισθητικά.
Έχεις ένα σώμα πάνω σε ένα άλλο και μαζί συμπιέζουν το ελατήριο. Το ελατήριο αρχίζει και αποσυμπιεζεται. Ο δίσκος δέχεται δύναμη από το ελατήριο και επιταχύνεται. Το σώμα δέχεται δύναμη αντίδρασης από τον δίσκο και επιταχύνεται επίσης. Τα δύο σώματα θα έχουν ίδια ταχύτητα και ίδια επιτάχυνση. Μέχρι την στιγμή που το σύστημα διέρχεται από την θέση ισορροπίας 2 όπου η συνισταμένη των δυνάμεων είναι 0 για το σύστημα. Εκείνη την στιγμή, σταματάει η επιτάχυνση διότι μόλις το σύστημα περάσει έστω και απειροελάχιστα πάνω από την θέση ισορροπίας 2, ο δίσκος θα δέχεται δύναμη από το ελατήριο προς τα κάτω και το βάρος του φυσικά, οπότε αρχίζει να επιβραδύνεται. Αντίθετα το σώμα, δεν συνδέεται με τίποτα άρα η συνισταμένη των δυνάμεων του εκείνη την στιγμή θα είναι ίση με το βάρος του.

Φυσικά όπως καταλαβαίνεις, η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίδια για όλα τα σώματα. Οπότε αυτό που θα δέχεται και την επίδραση της δύναμης του ελατήριο που θα το τραβάει προς τα κάτω εννοείται πως θα δεχθεί μεγαλύτερη επιβραδυνση και θα χάσει ταχύτητα πολύ πιο γρήγορα σε σχέση με το άλλο σώμα. Με άλλα λόγια ο δίσκος σταματάει πλέον να σπρώχνει το σώμα, και αρχίζει να μειώνει την ταχύτητα του με μεγαλύτερο ρυθμο από ότι το κάνει το σώμα, διότι αυτό δεν συνδέεται πια με το ελατήριο. Αναπόφευκτα έχεις αποχωρισμό καθώς οι ταχύτητες των σωμάτων δεν θα είναι ίδιες αμέσως μετά την θέση ισορροπίας 2 .


Σου είναι κάπως πιο ξεκάθαρο τώρα ;