Για να το ξεκαθαρίσεις όμως, θα σου πω λίγα βασικά. Μια πρόταση είναι μια δήλωση που παίρνει μια τιμή αληθείας. Δηλαδή Αληθές ή ψευδές. Για παράδειγμα το 1>0 είναι μια αληθής πρόταση. Το 3 = 8 είναι μια ψευδής πρόταση. Το χ > 1 δεν είναι πρόταση, γιατί είναι αληθές για κάποιες τιμές του x ενώ για άλλες όχι. Μέχρι να αντικαταστήσεις κάποια,δεν μπορείς να αποφανθείς για την τιμή της αλήθεια της. Μπορεί να μετατραπεί βέβαια σε μια πρόταση, με χρήση των universal(για κάθε) & existential(υπάρχει) quantifiers και χρήση κατηγορήματος(P(x) πρόταση). Αλλά ας μην ξεφεύγουμε...
Ας συμβολίσουμε μια πρόταση p , και μια άλλη q. Καθεμία απο αυτές τις προτάσεις μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Για παράδειγμα θεωρούμε την πρόταση p : "1>0" .Σε αυτή την περίπτωση λέμε οτι η p είναι αληθής ή απλά λέμε "έστω p " , που σημαίνει " η πρόταση p είναι αληθής" .
Συμβολίζουμε την λογική άρνηση της πρότασης p με έναν τόνο ,ως p' . Τι είναι το p' όμως ; Το p' είναι η πρόταση : 1<= 0 η άρνηση δηλαδή της αρχικής πρότασης. Προφανώς η πρόταση p και η p' έχουν ΠΑΝΤΑ αντίθετες τιμές αληθείας*. Εαν βρούμε δηλαδή την p ως αληθή, τότε η p' είναι ψευδής. Διαφορετικά εαν βρούμε την p' ως αληθή, τότε η p είναι ψευδής.
Τώρα που ξέρεις κάποια βασικά,ας αίρουμε την μηχανιστική και ξερή λέξη "συνεπάγεται". Ας θεωρήσουμε δυο λογικές προτάσεις p και q . Και θεωρούμε την πρόταση p => q . Αυτό είναι μια καινούρια πρόταση με λογικές μεταβλητές τις προτάσεις p και q όμως. Πολύ απλό το γιατί...γιατί και αυτή η πρόταση χαρακτηρίζεται απο μια τιμή αλήθειας. Πάρε ένα παράδειγμα :
Εαν δεν βρέχει => θα πάω στο πάρκο.
πρόταση p : δεν βρέχει
πρόταση p' : βρέχει (θυμήσου,λογική άρνηση)
πρόταση q : θα πάω στο πάρκο.
πρόταση q' : δεν θα πάω στο πάρκο.
Ας πάρουμε την περίπτωση όπου
Έστω οτι η p είναι αληθής.Τότε πράγματι δεν βρέχει.
Έστω οτι είναι και η q αληθής,δηλαδή : Πήγα στο πάρκο.
Τότε όλα μια χαρά. Η πρόταση "εαν δεν βρέξει => θα πάω στο παρκο" είναι αληθής.
Εαν όμως η p είναι αληθής, δηλαδή εαν δεν βρέχει, αλλά εγώ δεν πάω στο πάρκο, δηλαδή η q' είναι αληθής (προσοχή η λογική άρνηση της q όχι η q)... σε αυτή την περίπτωση η πρόταση :
"εαν δεν βρέξει => θα πάω στο πάρκο " , είναι ψευδής. Γιατί η "συμφωνία" ήταν οτι εαν δεν βρέχει,θα πάω σοτ πάρκο. Αλλά εγώ δεν πήγα,έκανα του κεφαλιού μου.
Απο την άλλη,σκέψου τι θα συνέβαινε εαν έβρεχε και εγώ πήγαινα στο πάρκο! Η πρόταση "Εαν δεν βρέχει,τότε θα πάω στο πάρκο" ,είναι και πάλι αληθής,γιατί στην "συμφωνία μας", σου είπα τι θα κάνω εαν δεν έβρεχε. Δεν είπα τι θα κάνω εαν βρέχει
.
Όλα τα προηγούμενα είναι μια πολύ σύντομη προετοιμασία για την πραγματική μας κουβέντα. Η οποία είναι...τι γίνεται με το συνεπάγεται τελικά. Μπορούμε να το γράψουμε συμβολικά έτσι:
p => q
Ο σωστός τρόπος να το διαβάσουμε είναι :
"Το p συνεπάγεται το q" ή πιο απλά "p συνεπάγεται q". Ποτέ δεν διαβάζουμε μεμονωμένα και μηχανιστικά το συνεπάγεται επειδή μας είπαν να το κοτσάρουμε μεταξύ δυο προτάσεων όμως. Όχι εαν θέλουμε να το κατανοήσουμε πραγματικά. Και ο καλύτερος τρόπος να κατανοήσουμε κάτι πραγματικά είναι να πειραματιστούμε μαζί του,να παίξουμε, και να το σκεφτούμε ύπο πολλές και διαφορετικές οπτικές.
Ας δούμε λοιπόν άλλους τρόπους να εκφράσουμε το p => q :
1. p συνεπάγεται q
2. Εαν ισχύει το p , τότε ισχύει και το q
3. Εαν p , τότε q
4. Το q είναι συμπέρασμα του p
5. Το q είναι συνέπεια του p
6. Το q προκύπτει απο το p
7. Το q είναι ακόλουθο του p
8. Η αλήθεια του p οδηγεί στην αλήθεια του q
9. Το p ισχύει μόνο εαν ισχύει το q
10. p μόνο αν q.
11. q εαν p
Απο τα προηγούμενα ας κυκλώσουμε το "p μόνο εαν q" και το "q εαν p". Το τελευταίο είναι εύκολο να καταλάβεις γιατί είναι ίδιο με το "p συνεπάγεται q". Το "p μόνο εαν q" ίσως όχι και τόσο. Για να το δούμε λοιπόν :
Ουσιαστικά σου λέει οτι, κοίταξε να δεις,δεν μπορεί να ισχύει το p και να μην ισχύει το q αφού η πρόταση "Εαν συμβεί το p ,τότε θα συμβεί το q" είναι αληθής. Για να δεις να "συμβαίνει" το p, ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ θα δεις και το q; Αφού το q είναι λογική συνέπεια του p . Ααα...αυτό όμως είναι το ίδιο με το να λες "Εαν συμβεί το p,τότε θα συμβεί και το q" . Κοινώς "p συνεπάγεται q" .
Για σκέψου όμως και λίγο διαφορετικά τι σημαίνει το "p μόνο εαν q" . Σημαίνει οτι το q είναι ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ προϋπόθεση για να συμβεί(για να είναι αληθές δηλαδή) το p. Όχι όμως και ικανή... Και ας το δούμε και απο άλλη οπτική. Τι σημαίνει επίσης το p => q ; Σημαίνει οτι το p είναι μια ικανή συνθήκη,αφού αρκεί απλά να είναι αληθές το p, αλλά όχι και αναγκαία για να ισχύει το q. Δεν ξέρουμε δηλαδή οτι χρειάζεται οπωσδήποτε το p για να γίνει το q. Ξέρουμε απλά οτι η αλήθεια του p είναι αρκετή για να αποφανθούμε την αλήθεια του q.
Συνοψίζουμε, στο p => q : Η αλήθεια της q είναι αναγκαία για να είναι αλήθεια η p .
ΚΑΙ η αλήθεια της p είναι ικανή για συμπεράνουμε την αλήθεια του q.
Για να δούμε λοιπόν και το διπλό συνεπάγεται τώρα, που συμβολικά γράφεται :
p <=> q
Που σημαίνει :
Ισχύει : p => q ΚΑΙ : q => p
Πως μπορούμε να το διαβάσουμε βάσει των προηγούμενων ;
p εαν, και μόνο εαν q . Γιατί αναλύεται έτσι; Δες παρακάτω :
p εαν , q : q => p
p μόνο εαν q : p => q
Μαζί αυτά τα δύο ,δηλαδή "p εαν,ΚΑΙ μόνο εαν q" : p=>q και q => p, δηλαδή p <=> q.
Ένας εναλλακτικός τρόπος ακόμα να δεις το σύμβολο είναι να πεις :
1. Το p είναι ισοδύναμο με το q . Δηλαδή εαν το p είναι αληθές και το q είναι αληθές. Αντίστροφα, εαν το q είναι αληθές, και το p θα είναι αληθές.
2. Το p είναι αναγκαία ΚΑΙ ικανή συνθήκη για το q ή ισοδύναμα , το q είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για το p.
Διότι εφόσον έχουμε p => q και q => p , ισχύουν αυτά που είπαμε παραπάνω. Απο την πρώτη πρόταση(p=>q) προκύπτι οτι το q είναι αναγκαία συνθήκη για το p, και το p ικανή συνθήκη για το q) , και απο την δεύτερη πρόταση(q=>p) προκύπτει οτι το p είναι αναγκαία συνθήκη για το q και το q ικανή συνθήκη για το p.
3. p συνεπάγεται q και q συνεπάγεται p
4. Ισχύει εαν p τότε q, και αντίστροφα(εαν q, τότε p).
