Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 12:11

ηταν η ασκηση του μηνα απο την ΕΜΕ την ειδα περασε η προθεσμια και ειπα δεν γαμείται; Την ξεκινισα βασικα εκανα την αναπαρασταση εκεινη την ωρα επρεπε να κανω κατι αλλο και μετα την ξεχασα :redface:

transient · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 12:38

υγεία...

Aris1412 · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 14:22

Nα αποδειξετε οτι :

i) x² + y² ≥ 2xy για καθε x,y $\epsilon \mathbb{R}$

ii)αν για τους πραγματικους αριθμους a,b και c ισχυουν οι σχεσεις: $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$
τοτε b² + c² ≤ a² + d²

rebel · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 14:55

Ωραία η δεύτερη!

Αγγελική!!! · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 16:08

Αρχική Δημοσίευση από Aris1412:
Nα αποδειξετε οτι :

i) x² + y² ≥ 2xy για καθε x,y $\epsilon \mathbb{R}$

ii)αν για τους πραγματικους αριθμους a,b και c ισχυουν οι σχεσεις: $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$
τοτε b² + c² ≤ a² + d²

Καλά η πρώτη είναι πανεύκολη-->
i) ${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}\geq 2\alpha \beta \Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-2\alpha \beta \geq 0 \Leftrightarrow {(\alpha -\beta )}^{2}\geq 0$ , που ισχύει , $\alpha ,\beta \in R$
ii)θα την σκεφτώ και θα απαντήσω....

Λοπόν-->
Σύμφωνα με τις ιδιότητες των αναλογιών έχουμε--> $\alpha /\beta =\beta /\gamma =\gamma /\delta \Leftrightarrow \alpha \gamma =\beta \delta =\beta \gamma =\alpha \delta$
και από την πρώτη άσκηση έχουμε--> ${\beta }^{2} +{\gamma }^{2}\geq 2\beta \gamma$
και ${\alpha }^{2} +{\delta }^{2}\geq 2\alpha \delta$
Έτσι από αυτά τα δύο ${\alpha }^{2} +{\delta }^{2}\geq 2\alpha \delta ,{\alpha }^{2} +{\delta }^{2}\geq 2\alpha \delta$ προσθέτωντας κατά μέλη έχουμε--> ${\alpha }^{2}+{\delta }^{2}-{\gamma }^{2}-{\beta }^{2}\geq 2\alpha \delta -2\beta \gamma \Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\delta }^{2}-{\beta }^{2}-{\gamma }^{2}\geq 0\Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\delta }^{2}\geq {\beta }^{2}+{\gamma }^{2}$ άρα αποδείχθηκε

rebel · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 17:04

Δεν μπορείς να αφαιρέσεις κατά μέλη χωρίς να αλλάξει η φορά της ανισότητας: $b^2+c^2 \geq 2bc \Rightarrow -b^2-c^2 \leq -2bc$

Aris1412 · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 21:32

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x + y ισχύει η σχέση
$\frac{x+y}{2}+1 = \sqrt{x} + \sqrt{y}$
Ν.δ.ο: x = y = 1

Guest 018946 · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 21:46

Αρχική Δημοσίευση από Aris1412:
Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x + y ισχύει η σχέση
$\frac{x+y}{2}+1 = \sqrt{x} + \sqrt{y}$
Ν.δ.ο: x = y = 1

Θετω $a^{2}=x$ και $b^{2}=y$ η δοσμενη γινεται $a^{2}+b^{2}+2=2a+2b \Leftrightarrow (a-1)^{2}+(b-1)^{2}=0$ αρα $a=b=1$ αρα $x=y=1$

rebel · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 22:21

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
5) Αν $a,b>0$ και $a+b=1$ να αποδειχθεί ότι:
iii) $a^4+b^4 \geq \frac{1}{8}$

Χρησιμοποιούμε δύο φορές την ανισότητα $x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}$

$a^4+b^4 \geq \frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2} \geq \frac{\left(a+b\right)^4}{8}=\frac{1}{8}$

Guest 018946 · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 22:23

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Χρησιμοποιούμε δύο φορές την ανισότητα $x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}$

$a^4+b^4 \geq \frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2} \geq \frac{\left(a+b\right)^4}{8}=\frac{1}{8}$

κωστα βαλε λιγο λυση στην 7 ii)

rebel · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 23:37

Ουδείς μπορεί να αμφισβητήσει ότι $a^9+1>0$ για $a>0$ . H σχέση αυτή με βάση την γνωστή ταυτότητα γίνεται

$(a+1)(a^8-a^7+a^6-a^5+a^4-a^3+a^2-a+1)>0 \\ \Rightarrow a^8-a^7+a^6-a^5+a^4-a^3+a^2-a+1>0 \Rightarrow a^8-a^5+a^2-a+1>a^7-a^6-a^4+a^3$ . Όμως

$a^7-a^6-a^4+a^3=a^3(a-1)^2(a^2+a+1) \geq 0$ και το συμπέρασμα έπεται.

transient · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 23:40

Ουδείς μπορεί να αμφισβητήσει ότι a^2 + 1 > 0

για

Guest 018946 · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 23:49

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Ουδείς μπορεί να αμφισβητήσει ότι $a^9+1>0$ . H σχέση αυτή με βάση την γνωστή ταυτότητα γίνεται

$(a+1)(a^8-a^7+a^6-a^5+a^4-a^3+a^2-a+1)>0 \\ \Rightarrow a^8-a^7+a^6-a^5+a^4-a^3+a^2-a+1>0 \Rightarrow a^8-a^5+a^2-a+1>a^7-a^6-a^4+a^3$ . Όμως

$a^7-a^6-a^4+a^3=a^3(a-1)^2(a^2+a+1) \geq 0$ και το συμπέρασμα έπεται.

Ωραια λυση δεν θα την σκεφτομουν ποτε ποτε ομως.

. Τεσπα αν εχεις και αλλες τετοιες οτι ειδος θες βαλε υπαρχει ενδειαφερον να ξερεις.

rebel · 7 Νοεμβρίου 2011 στις 00:23

Μπορείς να μου βρεις την πιθανότητα εμείς οι δύο να έχουμε γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου; (Θεωρούμε ότι ο χρόνος έχει 365 μέρες και ότι δεν επιδρούν άλλοι παράγοντες)

Guest 018946 · 7 Νοεμβρίου 2011 στις 00:27

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μπορείς να μου βρεις την πιθανότητα εμείς οι δύο να έχουμε γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου; (Θεωρούμε ότι ο χρόνος έχει 365 μέρες και ότι δεν επιδρούν άλλοι παράγοντες)

Μια πολυ προχειρη σκεψη : ανεξαρτητα ενδεχομενα ?

rebel · 7 Νοεμβρίου 2011 στις 00:31

Σκέψου κατ'αρχάς ποιος είναι ο δειγματικός χώρος (δενδροδιάγραμμα κλπ). Μετά είναι εύκολο.

Guest 018946 · 7 Νοεμβρίου 2011 στις 00:33

rebel · 7 Νοεμβρίου 2011 στις 01:14

Ο δειγματικός χώρος με όλες τις δυνατές περιπτώσεις θα είναι τις μορφής $\Omega=\left\{(1,1),(1,2),\ldots,(1,365),(2,1),(2,2),\ldots ,(365,1),(365,2),\ldots,(365,365)\right\}$ όπου το πρώτο στοιχείο του κάθε ζεύγους είναι η δική μου ημέρα και το δεύτερο η δική σου. Αυτός θα περιλαμβάνει $365^2$ ζεύγη. Το ενδεχόμενο να πέφτουν τα γενέθλια την ίδια μέρα είναι το $\{(1,1),(2,2),\ldots,(365,365)\}$ και θα περιέχει $365$ ζεύγη. Άρα η πιθανότητα είναι

$\frac{365}{365^2}=\frac{1}{365}$

Guest 018946 · 7 Νοεμβρίου 2011 στις 01:44

ναι ρε τα κουτακια που βρισκονται πανω στην διαγωνιο πανω στον πινακα διπλης . Τεσπα καληνυχτα ειμαι ψοφιος παω να ψοφησω .

Αγγελική!!! · 8 Νοεμβρίου 2011 στις 14:15

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Και άλλη μία άσκηση για παραγοντοποίηση-->
α) ${\alpha }^{3}+{\beta }^{3}+{\gamma }^{3}-3\alpha \beta \gamma =$
β) ${\alpha }^{4}+{\beta }^{4}+{\gamma }^{4}-2{\alpha }^{2}{\beta }^{2}-2{\beta }^{2}{\gamma }^{2}-2{\gamma }^{2}{\alpha }^{2}=$

Είχα βάλει αυτές τις ασκήσεις , αλλά κανένας δεν προσπάθησε....

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Λοπόν-->
Σύμφωνα με τις ιδιότητες των αναλογιών έχουμε--> $\alpha /\beta =\beta /\gamma =\gamma /\delta \Leftrightarrow \alpha \gamma =\beta \delta =\beta \gamma =\alpha \delta$
και από την πρώτη άσκηση έχουμε--> ${\beta }^{2} +{\gamma }^{2}\geq 2\beta \gamma$
και ${\alpha }^{2} +{\delta }^{2}\geq 2\alpha \delta$
Έτσι από αυτά τα δύο ${\alpha }^{2} +{\delta }^{2}\geq 2\alpha \delta ,{\alpha }^{2} +{\delta }^{2}\geq 2\alpha \delta$ προσθέτωντας κατά μέλη έχουμε--> ${\alpha }^{2}+{\delta }^{2}-{\gamma }^{2}-{\beta }^{2}\geq 2\alpha \delta -2\beta \gamma \Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\delta }^{2}-{\beta }^{2}-{\gamma }^{2}\geq 0\Leftrightarrow {\alpha }^{2}+{\delta }^{2}\geq {\beta }^{2}+{\gamma }^{2}$ άρα αποδείχθηκε

Ναι Κώστα είχα κάνει λάθος σ'αυτήν την απάντηση , αλλά με αυτή τη διόρθωση που επισήμανες βγαίνει μετά...!!

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος