Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 2011-09-05T20:54:17+0300

οταν λες κυκλικα τι εννοεις?

rebel · 2011-09-05T23:06:19+0300

Εννοώ ότι εφαρμόζω την (1) για τα υπόλοιπα 3 ριζικά. Έτσι έχω

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\geq a+b+c\\ \sqrt{3}\sqrt{b^2+c^2+d^2}\geq b+c+d\\ \sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+d^2}\geq a+b+d\\ \sqrt{3}\sqrt{a^2+c^2+d^2}\geq a+c+d \end{matrix}\right.$

και προσθέτωντας κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο

Guest 018946 · 2011-09-05T23:09:49+0300

και ερχομαι με μια ακομα : να αποδειξετε την εξης ανισοτητα :1) Για $a,b,c > 0$ νδo $\frac{a+b+c}{abc} \leq \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$ και ακομη μια : Για $a,b,c >0$ νδο $\frac{a^{2}}{b}}+\frac{b^{2}}{c}}+\frac{c^{2}}{a}} \geq a+b+c$

rebel · 2011-09-05T23:28:38+0300

Στην πρώτη η φορά της ανισότητας πρέπει να είναι ανάποδα

Guest 018946 · 2011-09-05T23:36:24+0300

Fixed

ξαροπ · 2011-09-06T00:01:09+0300

Η πρώτη είναι η ανισότητα $x^2+y^2+z^2 \geq xy +yz + zx$ για $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}, z =\frac{1}{c}$ .

Η δεύτερη από Andreescu είναι $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c$ .

Θα έβαζα νέες ασκήσεις αλλά βλέπω ότι σχεδόν ό,τι έχω προτείνει έχει μείνει άλυτο, οπότε τα ξαναβάζω μήπως δεν τα έχει δει κάποιος και μετά, αν είναι, θα δώσω λύσεις για όποιον ενδιαφέρεται.

Να λυθούν στο R:

(i) $\frac{\sqrt{5-x^2}}{x+1} = 1$

(ii) $\sqrt{x+9} + \sqrt{x} = 2$

(iii) $\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-8} = 3$

(iv) $\sqrt{2x^2 + 5x - 2} - \sqrt{2x^2 +5x - 9} = 1$ (*)

(*) Θεωρείται δύσκολη

"Αν $a,b,c > 0$ και $abc = 1$ ,

ν.δ.ο.

$a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2 + b^2 + c^2$ ."

1. Αν $a,b,c > 0$ , τότε

$\frac{a^3}{b^2} + \frac{b^3}{c^2} + \frac{c^3}{a^2} \geq \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq a+b+c$

2. Αν α,β μη-μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε

$\frac{a+b}{a^2-ab+b^2} \leq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Για ποιούς ακεραίους $x,y$ οι παρακάτω παραστάσεις είναι πρώτοι αριθμοί;

1. $A = x^4 +4y^4$

(*) 2. $B = x^8 + 2^{2^x+2}$ (Αρχιμήδης 2008, 2ο πρόβλημα στους μεγάλους)

rebel · 2011-09-06T15:34:41+0300

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
"Αν $a,b,c > 0$ και $abc = 1$ ,

ν.δ.ο.

$a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2 + b^2 + c^2$ ."

Θα μιμηθώ μια τεχνική που διάβασα εδώ σελ 5 για παρόμοια περίπτωση. Πολλαπλασιάζω το δεξί μέλος με $\sqrt[3]{abc}=1$ και έχω

$a^3+b^3+c^3 \geq a^{\frac{7}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{7}{3}}c^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{7}{3}} \quad (1)$

Αρκεί να αποδείξουμε την $(1)$ . Τώρα εφαρμόζοντας κατάλληλα την ανισότητα ΑΜ-GM έχουμε

$a^{\frac{7}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}} = \sqrt[9]{a^{21} b^3 c^3} \leq \frac{7a^3+b^3+c^3}{9}$
$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{7}{3}}c^{\frac{1}{3}} \leq \frac{a^3+7b^3+c^3}{9}$
$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{7}{3}} \leq \frac{a^3+b^3+7c^3}{9}$

προσθέτουμε αυτές κατά μέλη και παίρνουμε την $(1)$

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
1. Αν $a,b,c > 0$ , τότε

$\frac{a^3}{b^2} + \frac{b^3}{c^2} + \frac{c^3}{a^2} \geq \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq a+b+c$

Τελικά κι αυτό λύνεται. Έχουμε:

$\left( \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+ \frac{c^3}{a^2} \right) (a+b+c) \stackrel{Cauchy-Schwarz}{ \geq } \left( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a} \right)^2$

Αρκεί τώρα $\left( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a} \right)^2 \geq \left( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a} \right)(a+b+c) \Leftrightarrow \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq a+b+c$

που ισχύει αφού πάλι από Cauchy-Schwarz έχουμε $\left(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \right)(b+c+a) \geq (a+b+c)^2$ .

ξαροπ · 2011-09-09T11:46:33+0300

Ωραίες όλες οι λύσεις.

Για την τελευταία δείτε και αυτό :

$\frac{a^3}{b^2} \geq \frac{a^2}{b} -b + a$

(αφού ανάγεται στην $a^3 + b^3 \geq ab(a+b)$ )

και δουλέψτε κυκλικά.

akis95 · 2011-09-12T18:22:18+0300

παιδια κατι ασχετο για να κανεισ εγγραφη για τουσ διαγωνισμουσ τησ μαθηματικησ εταιρειας ηλεκτρονικά εννοω πωσ το κανεισ??πρακαλω αναλυτικα

13diagoras · 2011-09-12T18:44:20+0300

Στην Ροδο οπου εδινα εγω τα τελευταια 3 χρονια δεν απαιτουνταν καμια ενεργεια απο μερους μας πριν δωσουμε.Πηγαιναμε εκει και διναμε,τιποτα παραπανω.Τωρα δεν ξερω τι γινεται στο μερος σου.Αν εισαι επαρχεια ,τοτε το λογικο ειναι να μην χρειαζεται να κανεις τιποτα .

akis95 · 2011-09-13T15:13:01+0300

ειμαι αθηνα οποτε.....

rebel · 2011-09-13T15:37:49+0300

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Για ποιούς ακεραίους $x,y$ οι παρακάτω παραστάσεις είναι πρώτοι αριθμοί;

1. $A = x^4 +4y^4$

(*) 2. $B = x^8 + 2^{2^x+2}$ (Αρχιμήδης 2008, 2ο πρόβλημα στους μεγάλους)

Επεξεργασία μετά την εύστοχη υπόδειξη του ξαροπ: Η πρώτη γράφεται $A= x^4 + 4x^2y^2+4y^4 -4x^2y^2=\left( x^2+2y^2 \right)^2- 4x^2y^2= \left( x^2+2y^2 +2xy \right) \left( x^2 + 2y^2 - 2xy \right) = \left[ (x+y)^2+y^2 \right] \left[ (x-y)^2+y^2 \right ]$

Είναι γνωστή και ως ταυτότητα Sophie Germain. Αν και οι δύο παραστάσεις μέσα στις αγκύλες είναι μεγαλύτερες της μονάδας, ο Α δεν είναι πρώτος. Εξετάζουμε επομένως τις περιπτώσεις μία από αυτές να είναι 1 δεδομένου και ότι $x,y \in \mathbb{Z}$ .
Αν $(x+y)^2+y^2=1$ έχουμε τις εξής περιπτώσεις

$x+y=1, \, y=0 \rightarrow x=1 \rightarrow A=1$
$x+y=-1, \, y=0 \rightarrow x=-1 \rightarrow A=1$
$x+y=0, \, y=1 \rightarrow x=-1 \rightarrow A=5$ πρώτος
$x+y=0, \, y=-1 \rightarrow x=1 \rightarrow A=5$ πρώτος

ενώ αν $(x-y)^2+y^2=1$

$x-y=1, \, y=0 \rightarrow x=1 \rightarrow A=1$
$x-y=-1, \, y=0 \rightarrow x=-1 \rightarrow A=1$
$x-y=0, \, y=1 \rightarrow x=1 \rightarrow A=5$ πρώτος
$x-y=0, \, y=-1 \rightarrow x=-1 \rightarrow A=5$ πρώτος

Για την δεύτερη εξετάζουμε περιπτώσεις για $x \geq 0$ εφ'όσον για $x<0, \, B \notin \mathbb{N}$ .

Αν $x=0, B=8$ όχι πρώτος
Αν $x=1, B=17$ πρώτος
Αν $x \geq 2$ έχουμε $B=\left( x^2 \right)^4+ 4 \left(2^{2^{x-2}} \right)^4$ οπότε και πάλι δεν είναι πρώτος σύμφωνα με την πιο πάνω ταυτότητα.

Ελπίζω να είμαι σωστός.

ξαροπ · 2011-09-13T20:49:18+0300

Ο τρόπος είναι σωστός, μένει μόνο να τσεκάρουμε τις τετριμμένες περιπτώσεις όπου μια παρένθεση ισούται με τη μονάδα, πχ. για $x = y = 1, x=y=-1$ η Α ισούται με 5.

Guest 018946 · 2011-09-13T20:54:41+0300

για ριξτε καμια ασκηση οχι σαν αυτες γιατι αυτες ηταν οσο και να το κανουμε πιο δυσκολες .. .. . . . . .. .

rebel · 2011-09-14T21:49:12+0300

Έχουν μείνει κάποιες άλυτες. Δεν ξέρω βέβαια αν ανταποκρίνονται περισσότερο σε παιδιά που έχουν δει εξισώσεις με ριζικά στην άλγεβρα Β' Λυκείου. Αν δεν σου κάνουν πάρε αυτή:

Να λυθεί ως προς $x,y,z$ το σύστημα

$\left\{\begin{matrix} y+2x+z=a(x+y)(z+x)\\ z+2y+x=b(z+y)(x+y)\\ x+2z+y=c(y+z)(x+z) \end{matrix}\right.$

Guest 018946 · 3 Οκτωβρίου 2011 στις 20:18

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Αν $a,b,c,d$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}+{d}^{4}>=4abcd$

ξεθαβω μια ασκηση απο τα παλια : λοιπον :
$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\geq 4\sqrt[4]{a^{4}b^{4}c^{4}d^{4}}=4\left|abcd \right|\geq 4abcd$
So.... $\boldsymbol{QED}$

Ριχτε και καμια αλλη ασκηση ρε παιδια αυτη την φορα σε σχολικο κλιμα μιας και εχουμε αρχισει για τα καλα.

Guest 018946 · 7 Οκτωβρίου 2011 στις 14:24

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
ας βαλω και μια που μου φανηκε απλη : εαν $x+\frac{1}{x}=6$ να υπολογισετε το $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$
και μια ακομα να συγκρινετε τους αριθμους : $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ και $\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$

δεν πρεπει να χουν λυθει γι'αυτο επαναφερω . Και το τοπικ εχει ψιλονεκρωσει γιατι ?

rebel · 7 Οκτωβρίου 2011 στις 20:07

Η δικιά μου σου φάνηκε δύσκολη; Νομίζω ότι ανταποκρίνεται στο επίπεδο δυσκολίας της συλλογής αυτής.

Guest 018946 · 7 Οκτωβρίου 2011 στις 20:08

αρκετα, δεν μπορεσα .

rebel · 8 Οκτωβρίου 2011 στις 01:03

1) Αν $a \neq 0$ με $\left( a+\frac{1}{a} \right)^2=3$ να βρείτε τον αριθμό $a^3+ \frac{1}{a^3}$

2) Να βρεθεί το $x \in \mathbb{Z}$ με $5x-1 < (x+1)^2 < 7x-3$

3) Να βρεθούν οι τιμές του m για τις οποίες η εξίσωση $mx^2+5x-6=0$ έχει δύο διαφορετικές ρίζες με διαφορά 1

4) Να λυθεί η εξίσωση $ax^2+bx+c=0$ με $a+b+c=0, \, c=3a, \, a \neq 0$

Θα βάλω κάποια στιγμή και λύση στην προηγούμενή μου άσκηση.

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος