Συλλογή Ασκήσεων για την Μαθηματική Εταιρία

[red span]

Δημιουργησα αυτη την συζυτηση για να βοηθηθουμε τα παιδια που θα δοσουμε για την μαθηματικη εταιρια.οποιος θελει μπορει να παραθεσει ασκησεις
αρχιζω εγω με μια απλη
να αποδειξετε

(χ2+y2)(y2+z2)(z2+x2)>=8x2y2z2

(οπου χ2=χ στο τετραγονο
>=μεγαλυτερο ισο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

Να αποδείξετε:
(χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 8x²y²z²

Δες και πως βγαίνουν σύμβολα κατευθείαν από ελληνικό πληκτρολόγιο:
Δυνάμεις: ² :CTRL+ALT+2, ³ :CTRL+ALT+3, Μοίρες: ° :CTRL+ALT+0, ± : CTRL+ALT+"-", ½ : CTRL+ALT+"+".

​

Υ.Γ. Την άσκηση νομίζω την λύνει όποιος τέλειωσε Γ γυμνασίου.​

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[SuXu-MuXu]

Όντως, η άσκηση είναι πολύ απλή και βασική και προκύπτει εύκολα με την χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ 3 φορές σε καθένα απο τα αθροίσματα τετραγώνων και μετά με πολλαπλασιασμό κατά μέλη. Τώρα είναι αργά όμως απο αύριο επιφυλάσσομαι να βάλω και εγώ ασκήσεις για να κρατησουμε το θέμα ενεργό.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

μια ωραια που εχει πεσει σε διαγωνισμο
α=2000²+2000²2001²+2001² να αποδειξετε οτι ειναι τετραγονο ενος φυσικου αριθμου.
Μια ανισοτητα που επεσε σε διαγονισμο της ινδιας
αν α,β,γ θετικοι πραγματικοι αριθμοι με (1+α)(1+β)(1+γ)=8
ν.δ.ο αβγ<=1
και μια απο θεωρια αριθμων που
να λυθει στους ακεραιους
3χ+2y=7(γραμμικες διοφαντικες εξισωσεις) εδω να σας δω

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

και μια απο θεωρια αριθμων που
να λυθει στους ακεραιους
3χ+2y=7(γραμμικες διοφαντικες εξισωσεις) εδω να σας δω

3x+2y=7 => y=(7-3x)/2

Ευκλείδια διαίρεση του ακεραίου x με το 2 (δηλαδή αν είναι αρτιος ή περιττός) : x=2π+υ όπου υ=0, 1

• αν x άρτιος (υ=0) τότε x=2π όπου π ακέραιος

y=(7-3x)/2=(7-6π)/2=3(1-π)+(1/2) => δεν είναι ακέραιος

• αν x περιττός (υ=1) τότε x=2π+1 όπου π ακέραιος

y=(7-3x)/2=(4-6π)/2=2-3π => είναι ακέραιος


Άρα οι λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης είναι τα ζεύγη (x,y) όπου x=2π+1, y=2-3π και π οποιοσδήποτε ακέραιος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

δεν θα συμφονισω
οριστε
επειδη δ=(3,2) και 1/7 η εξισωση εχει ακεραιες λυσεις
θα προσδιορισω πρωτα τις μερικες λυσεις(χο,yo)
εκφραζω τον δ=(3,2) ως γραμμικο συνδυασμο των 3,2
3=1*2+1 ειναι 1=1*3+(-1)*2 και 7=7*3+(-7)*2
αυτο σημαινει οτι μια ακεραια λυση ειναι (χο,υο)=(7,-7)
αρα ολες οι ακεραιες λυσεις δινονται απο τους τυπους
χ=χο+β/δ*τ=7+2τ y=yo-α/δ*τ =-7-3τ οπου τεZ
ΤΈΛΟΣ ΧΑΡΗΣ
Υ.Γ(Οπου* Εννοω Πολλαπλασιασμό)

α=2000²+2000²2001²+2001² Θα σας βοηθησω λιγο. πρεπει να θεσεις οπου 2000=χ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[SuXu-MuXu]

δεν θα συμφονισω
οριστε
επειδη δ=(3,2) και 1/7 η εξισωση εχει ακεραιες λυσεις
θα προσδιορισω πρωτα τις μερικες λυσεις(χο,yo)
εκφραζω τον δ=(3,2) ως γραμμικο συνδυασμο των 3,2
3=1*2+1 ειναι 1=1*3+(-1)*2 και 7=7*3+(-7)*2
αυτο σημαινει οτι μια ακεραια λυση ειναι (χο,υο)=(7,-7)
αρα ολες οι ακεραιες λυσεις δινονται απο τους τυπους
χ=χο+β/δ*τ=7+2τ y=yo-α/δ*τ =-7-3τ οπου τεZ
ΤΈΛΟΣ ΧΑΡΗΣ
Υ.Γ(Οπου* Εννοω Πολλαπλασιασμό)

α=2000²+2000²2001²+2001² Θα σας βοηθησω λιγο. πρεπει να θεσεις οπου 2000=χ

Βασικά οι λύσεις σου είναι ίδιες με αυτές του Civilara, οι τύποι έχουν διαφορετική μορφή αλλά παράγουν τις ίδιες λύσεις, με μια απλή δοκιμη μπορείς να το καταλάβεις.

Τώρα για την άσκηση απο την Ινδία

Με χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ για τα (α+1),(β+1) και (γ+1) και μετα πολλαπλασιασμό κατα μέλη έχουμε:



Τώρα επειδή οι α,β,γ είναι θετικοί μπορούμε να διαιρέσουμε με την ισότητα, έτσι έχουμε:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Βασικά οι λύσεις σου είναι ίδιες με αυτές του Civilara, οι τύποι έχουν διαφορετική μορφή αλλά παράγουν τις ίδιες λύσεις, με μια απλή δοκιμη μπορείς να το καταλάβεις.

+1

Χάρη έπρεπε να συμφωνήσεις. Οι λύσεις σου είναι ακριβώς οι ίδιες, αφού ισχύει τ=π-3.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

συγνωμη τοτε. Αρα γιωργο βρικαμε εναν ωραιο τροπο ακομα για της διοφαντικες!Αλλα πως θα καταλαβαινω οτι μοιαζουν οι λυσεις χωρις δοκιμη
παρτε ακομα μια να εχετε
αν ισχυει α+β+γ=1
α²/β+γ +β²/α+γ + γ²/α+γ>=3/2
αν δεν εχω κανει λαθος πρεπει να βγενει με τιν ανισοτητα του andrescu

οριστε και μια ασκηση γεωμετριας που λυνετε αλγεβρικα
ρα*ρβ*ργ>=27ρ³
Υ.Γ(οπου * ενοοω πολλαπλασιασμο)
2( η ασκηση λυνεται συμφωνα με την ανισοτητα του cauchy)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[SuXu-MuXu]

οριστε και μια ασκηση γεωμετριας που λυνετε αλγεβρικα
ρα*ρβ*ργ>=27ρ³
Υ.Γ(οπου * ενοοω πολλαπλασιασμο)
2( η ασκηση λυνεται συμφωνα με την ανισοτητα του cauchy)

Νομίζω ότι θα πρέπει να μας πεις τι συμβολίζουν τα ρα,ρβ,ργ και ρ, γιατί έτσι δεν νομίζω να έχει κανένα νόημα

Επίσης, καλή θα ήταν να μην μας λες το τρόπο λύσης της άσκησης, έτσι χάνεται όλη η μαγεία.

Φιλικά

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[13diagoras]

Τώρα επειδή οι α,β,γ είναι θετικοί μπορούμε να διαιρέσουμε με την ισότητα, έτσι έχουμε:

Βασικα στο πρωτο μελος αντικαθιστουμε το 8 και βγηκε,δεν ξερω αν εννοεις το ιδιο
Αυτη με το 2000 πως βγαινει?Εγω παντως λεω να κανουμε πραξεις

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

στην ασκηση με το 2000 θετεις οπου 2000=α

Νομίζω ότι θα πρέπει να μας πεις τι συμβολίζουν τα ρα,ρβ,ργ και ρ, γιατί έτσι δεν νομίζω να έχει κανένα νόημα

Επίσης, καλή θα ήταν να μην μας λες το τρόπο λύσης της άσκησης, έτσι χάνεται όλη η μαγεία.

Φιλικά

τα ρ ειναι φυσικα ακτινεσ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[13diagoras]

φιλε big sofo,εν ταξει το θεσιμο,το διαβασα και σε προηγουμενο ποστ, αλλα και να μην το ελεγες λογικο ηταν να το κανουμε.
αλλα μηπως λειπει ενα δυο στον μεσαιο ορο????
Επισης ενταξει,εννοειται οτι ρ ειναι οι ακτινες αλλα ποιες ακτινες????και τι συμβολιζεις με "σκετο" ρ (δες τα αλλα εχουν δεικτει α,β,γ,που αναφερεται στις πλευρες)
σοφο:με την μεταγραφη του σοφο πρεπει να αλλαξει ή username ή ομαδα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

...εννοειται οτι ρ ειναι οι ακτινες αλλα ποιες ακτινες????και τι συμβολιζεις με "σκετο" ρ (δες τα αλλα εχουν δεικτει α,β,γ,που αναφερεται στις πλευρες)

Οι κύκλοι ενός τριγώνου είναι (δες σχήμα):
- Ο περιγεγραμμένος με κέντρο σημείο τομής μεσοκαθέτων (ακτίνα R)
- Ο εγγεγραμμένος με κέντρο σημείο τομής εσωτερικών διχοτόμων (ακτίνα ρ)
- Οι 3 παραγεγραμμένοι με κέντρα σημεία τομής 2 εξωτερικών διχοτόμων και μιας εσωτερικής (ακτίνες ρα, ρβ, ργ)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[13diagoras]

Πως εισαι σιγουρος?αφου δεν το διαευκρινισε πουθενα.Εκτος αν την ελυσες ετσι και επαληθευεται...(οποτε παω πασο)
Την αλλη με το 2000 την ειδες?
εδιτ:τους κυκλους μια χαρα τους ξερω.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

Πως εισαι σιγουρος?αφου δεν το διευκρινισε πουθενα.Εκτος αν την ελυσες ετσι και επαληθευεται...(οποτε παω πασο) ... Την αλλη με το 2000 την ειδες? ...εδιτ:τους κυκλους μια χαρα τους ξερω.

Μπα!! Δεν δοκίμασα να τη λύσω (ούτε την άλλη). Απλά τα σύμβολα των ακτίνων νομίζω θεωρούνται γνωστά.

​

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

α=2000²+2000²2001²+2001² να αποδειξετε οτι ειναι τετραγονο ενος φυσικου αριθμου Θετω οπου 2000=χ
Α=χ²+χ²(χ+1)²+(χ+1)² και μετα απο πραξεις (χ²+χ+1)²=p²
οπου π φυσικος αριθμος
Υ.Γ(διαγορα με φαγες οριστε

παιδια εχετε ακουσει τιποτα για την ανισοτητα της αναδιαταξης

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[13diagoras]

https://en.wikipedia.org/wiki/Rearrangement_inequality ,δεν ειχα ακουσει τιποτα σχετικο.
Οσον αφορα στην ασκηση με το 2000,πηγα να παραγοντοποιησω την τελευταια παρασταση με χορνερ,αλλα,αλλα.
Μεχρι ποια φαση εχεις φτασει στην Μαθηματικη Εταιρεια?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[red span]

περσυ χωρις να ξερω ανισοτητες περασα στον πρωτο γυρο.Φετος εχωντας λυσει απειρες ασκησεις στεις ανισοτητες και θεωρια αριθμων εθχομαι να παω καλα

ΟΠΟι καθιγητες μαθητες μπορουν να βαλουν προτεινομενα θεματα βιβλια και οδηγιες μετλετης για την μαθηματικη εταιρια θα ηταν πολυ χρησιμοι

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[slash1994]

(χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 8x²y²z²

Θα ηθελα να παραθεσω και εγω την λυση μου σε αυτην την ασκηση. Προσωπικα δεν θεωρω σωστο να χρησιμοποιουμε εξιδανικευμενες ανισοτητες τυπου ΑΜ-ΓΜ ,BCS κτλπ. Αυτη η ασκηση βγαινει πολυ απλα ως εξης :

Προφανως : χ²+y²≥2xy , y²+z²≥2yz , z²+x² ≥2zx

πολλ κατα μελη και παιρνουμε: (χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 2xy2yz2zx = 8x²y²z² ό.έ.δ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.