Πρόβλημα σε συνδυαστική άσκηση στα τοπικά ακρότατα

[thepigod762]

Καλησπέρα, αντιμετωπίζω ένα πρόβλημα στην άσκηση 23 στο κεφάλαιο της έννοιας των ακροτάτων / θεωρήματος Fermat ενός παλιού τεύχους του Μιχαηλίδη (συγκεκριμένα του 17-18), και επειδή δεν έχω το ένθετο λύσεων θέλω τη βοήθειά σας.

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R, για την οποία ισχύει:
f(x)<=x+(f(1)+f(-1))/2, για κάθε x στο R.

Να αποδείξετε ότι:
α) f(1)-f(-1)=2 (x=1, x=-1),
β) υπάρχει x0 στο (-1, 1) τέτοιο, ώστε f(x0)=1+f(-x0) (θετ ή bolzano),
γ) υπάρχουν x1, x2 στο (-1, 1), χ1<χ2, τέτοια, ώστε f'(x1)+f'(x2)=2,
δ) υπάρχει ξ στο (-1, 1) τέτοιο, ώστε f''(ξ)=0 (Fermat για να πάρω f'(1)=f'(-1)=1, Rolle στο [-1, 1]).

To (γ) είναι το δύσκολο της υπόθεσης. Εφαρμόζοντας ΘΜΤ για την g(x)=f(x)-f(-x) ή Rolle για την g(x)=f(x)-f(-x)-2x στο [-1, 1] παρατηρούμε ότι αρκεί να δείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε x1=0, δηλαδή f'(0)=1, αλλά δεν προχωράει.

Μια άλλη σκέψη εκμεταλλευόμενοι το (β) είναι ΘΜΤ στα [-1, -χ0], [χ0, 1] (είναι χ0>0), απ' όπου παίρνουμε f'(x1)+f'(x2)=[f(-1)-f(-x0)+f(x0)-f(1)]/(x0-1)=3/(x0-1), που δεν δουλεύει. Αλλά και τυχαίο γ αντί για x0 να πάρουμε θα θέλαμε να έχουμε f(γ)-f(-γ)=2γ, που επίσης δεν προχωράει.

Ουσιαστικά θεωρώντας την h(x)=f(x)-x το πρόβλημα είναι το εξής: h δύο φορές παραγωγίσιμη, h(x)<=h(1)=h(-1), νδο υπάρχουν x1, x2 στο (-1, 1) τέτοια, ώστε h'(x1)+h'(x2)=0.

 

[carnage]

Δυσκόλεψες πολύ την σκέψη σου, χωρίς λόγο. Για το (γ) θα πάρεις ΘΜΤ στα (-1, 0) και (0, 1) και βγαίνει, εκμεταλλευόμενος το (α)

 

[thepigod762]

Δυσκόλεψες πολύ την σκέψη σου, χωρίς λόγο. Για το (γ) θα πάρεις ΘΜΤ στα (-1, 0) και (0, 1) και βγαίνει, εκμεταλλευόμενος το (α)

Ουπς, overkill! Σας ευχαριστώ.

Δεν σβήνω το thread για να γελάσει και λίγο ο κόσμος...

 

[carnage]

Καθόλου για γέλια. Όλοι μαθαίνουμε από τα λάθη μας και αποκτούμε εμπειρίες, που μας κάνουν σοφότερους. Δεν γεννήθηκε κανείς και άρχισε να λύνει εξισώσεις Πυρηνικής Φυσικής. Όλοι έχουμε περάσει από τη θέση σου και δυσκολευτήκαμε σε κάποιες ασκήσεις.

Συνήθως, οι πιο "απλές" ασκήσεις είναι και οι δυσκολότερες, γιατί δεν μπορείς να δεις την "προφανή" λύση.

Καλή επιτυχία στις εξετάσεις σου. Είμαι σίγουρος ότι θα τα πας περίφημα.