Διορθώνω η δεύτερη απόλυτη τιμή είναι αβ+βγ+αγ+1 και ο Β είναι α²β²+β²γ²+α²γ²+1, σορυ μάγκες τα έγραψα από μνήμης και ξεχάστηκα
Για το πρώτο ερώτημα βρήκα :
f(xy) = xf(y) + f(x) - 2024x
Όπου για x = y = 1, παίρνουμε :
f(1) = f(1) + f(1) - 2024 =>
f(1) = 2024
Όμως :
f(f(1)) = f(2024) = 1
Εαν βάλουμε όπου x το y και όπου y το x :
f(xy) = yf(x) + f(y) - 2024y =>
-f(xy) = -yf(x) - f(y) + 2024y
Προσθέτοντας την προηγούμενη στην αρχική συναρτησιακή σχέση :
0 = xf(y) - yf(x) + f(x) - f(y) + 2024(y - x)
Για x = 2024 και y = 2025 :
0 = 2024*f(2025) - 2025*f(2024) + f(2024) - f(2025) + 2024 =>
0 = 2023*f(2025) - 2025 + 1 + 2024 =>
2023*f(2025) = 0 =>
f(2025) = 0
Για το δεύτερο ερώτημα ισχύει οτι :
|α + β + γ + αβγ| = |αβ + βγ + αγ + 1|
Α = α² + β² + γ² + α²β²γ²
Β = α²β² + β²γ² + α²γ² + 1
Υψώνοντας στο τετράγωνο κάθε μέλος της αρχικής εξίσωσης δίνει :
(α + β + γ + αβγ)² = (αβ + βγ + αγ + 1)² =>
(α+β+γ)² + 2(α+β+γ)αβγ + (αβγ)² = (αβ + βγ + αγ)² + 2(αβ + βγ + αγ) + 1 =>
(α+β)² + 2(α+β)γ + γ² + 2(α+β+γ)αβγ + (αβγ)² = (αβ + βγ)² + 2(αβ+βγ)αγ + (αγ)² + 2(αβ + βγ + αγ) + 1 =>
α² + 2αβ + β² + 2(α+β)γ + γ² + 2(α+β+γ)αβγ + (αβγ)² =
(αβ)² + 2αβ²γ + (βγ)² + 2(αβ+βγ)αγ + (αγ)² + 2(αβ + βγ + αγ) + 1 =>
Α + 2αβ + 2(α+β)γ + 2(α+β+γ)αβγ = Β + 2αβ²γ + 2αβγ(α+γ) + 2(αβ + βγ + αγ) =>
Α - Β = 2αβ²γ + 2αβγ(α+γ) + 2(αβ + βγ + αγ) - 2αβ - 2(α+β)γ - 2(α+β+γ)αβγ =>
Α - Β = 2αβ²γ + 2α²βγ + 2αβγ² + 2αβ + 2βγ + 2αγ - 2αβ - 2αγ - 2βγ - 2α²βγ - 2αβ²γ - 2αβγ² =>
Α - Β = 0
Άρα οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους.
Έχουμε βρει τα ίδια ;
