Κάποιες απειρότητες είναι μεγαλύτερες από άλλες ( ; )

[Dr.Quantum]

Διαβάζοντας αυτό το κείμενο έφτασα στο συγκεκριμένο βίντεο. Το είδα και το ξαναείδα και κατέλειξα στο ότι κάτι δε πάει καλά. Ή εγώ δε μπορώ να καταλάβω κάτι -που είναι και το πιθανότερο- ή f*ck logic.



Γιατί ο καινούριος αριθμός που θα γράψω μεταξύ του 0 και του 1 να μην μπορεί να αντιστοιχιστεί σε ένα άλλο του συνόλου των φυσικών; (αυτό έχω καταλάβει, όπως λέει, μέσα από το σύνολο (0,1) θα υπάρχει αριθμός ( new + lonely) που να μη μπορεί να "ταιριάξει" με κάποιον από τους φυσικούς)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Φρεντος]

Αυτο που λεει ειναι οτι οσους φυσικους και να γραψεις π.χ παιρνεις ενα συνολο (1,2,...,10) παντα θα υπαρχει ενας αριθμος μεταξυ του (0,1) που δε θα αντιστοιχιζεται στο παραπανω συνολο... Π.χ για το 1 αντιστοιχιζεις το 0,12332 για το 2 το 0,1234343 και για το 10 το 0,5467382631 ας πουμε... Ετσι για καθε φυσικο απο 0 μεχρι 10 εχεις αντιστοιχισει εναν αριθμο απο το(0,1) Ομως ο 0.234567... οπως λεει και στο βιντεο π.χ δεν αντιστοιχιζεται πουθενα... Αμα τωρα το συνολο (1,10) το αναγεις σε ολο το συνολο των φυσικων θα ισχυει παλι το ιδιο...Δεν μπορω να το εξηγησω καλυτερα!!! Ελπιζω να βοηθησα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[DumeNuke]

Έστω το σύνολο Α, που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς (χωρίς το 0).
Έστω το σύνολο Β, που περιέχει όλους τους αριθμούς που υπάρχουν μεταξύ του 0 και 1.
Επομένως: Α=(x/x ανήκει στο Ν*) και Β=(0,1).

Ο συλλογισμός του βίντεο αναλύεται ως εξής:
Παίρνουμε έναν αριθμό από το σύνολο Α και τον αντιστοιχούμε στο σύνολο Β. Παίρνουμε έναν δεύτερο αριθμό από το Α και τον αντιστοιχούμε σε έναν καινούργιο του συνόλου Β. Συνεχίζουμε την διαδικασία στο άπειρο. Όσο μεγάλος και να είναι ο θετικός ακέραιος, ΠΑΝΤΑ θα υπάρχει ένας αριθμός του συνόλου Β που δεν έχει αντιστοιχηθεί. Όταν εξαντλήσουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου Α, θα εξακολουθήσει να υπάρχει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα στοιχείο του Β που δεν έχει αντιστοιχηθεί. Με αυτόν τον τρόπο συμπεραίνουμε ότι το σύνολο Α είναι μικρότερο (έχει λιγότερα στοιχεία), από το σύνολο Β.

Η παγίδα κρύβεται στο 1:17:
"but weve already drawn a line for every integer, so there's none to be this number's partner"
"αλλά έχουμε ήδη τραβήξει μία γραμμή για κάθε ακέραιο, άρα, δεν υπάρχει κανένας ακέραιος διαθέσιμος να γίνει ζευγάρι με τον αριθμό αυτό (που δημιουργήσαμε προηγουμένως)"
Το γεγονός ότι τράβηξε μια γραμμή για κάθε στοιχείο του Α, σημαίνει ότι το Α είναι πεπερασμένο (έχει αρχή και τέλος). 10,20,30,100,1.000,1.000.000 γραμμές, δεν έχει σημασία, αφού ΔΕΝ μπορεί να τραβήξει άλλες, υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός γραμμών και, άρα, συγκεκριμένος αριθμός θετικών ακεραίων. Αυτό όμως είναι αδύνατο, διότι το σύνολο των ακεραίων είναι μη πεπερασμένο. Όποιον αριθμό και να μου πεις, μπορώ να σου έναν κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο.
Θεωρεί ως δεδομένο ότι το σύνολο Α είναι πεπερασμένο, για να καταλήξει στο ζητούμενο. Αν θες, θεωρεί ότι το Α είναι, εκ προϊμίου, μικρότερο του Β... για να καταλήξει ότι το Α είναι μικρότερο του Β.
Με άλλα λόγια: "Αποδείξτε ότι για .... ισχύει χ>1". Θεωρείς εσύ "έστω χ>1 και, επειδή επαληθεύονται τα δεδομένα που μου δόθηκαν, ισχύει χ>1".

Ας το δούμε διαφορετικά. Αντιστοιχίζοντας κάθε στοιχείο του Β σε ένα του Α θα φτάσουμε σε ένα σημείο όπου, όλα τα στοιχεία του Β έχουνε εξαντληθεί και δεν μπορούμε να τραβήξουμε καινούργια γραμμή. Όμως, υπάρχει ένας αριθμός n+1 (όπου n το πλήθος των γραμμών) που δεν έχει ταίρι. Συμπεραίνουμε λοιπόν το σύνολο των θετικών ακεραίων είναι μεγαλύτερο από το σύνολο (0,1). Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το συμπέρασμα του video.
Άρα είτε ο δικός μου συλλογισμός είναι λάθος, είτε του video. Όμως, η λογική που ακολούθησα είναι ίδια με του video.
Άρα και οι δύο λέμε π******ς.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[physicscrazy]

το προβλημα ειναι πολυ γνωστο στη θεωρια συνολων....ουσιαστικα τιθεται το εξης ερωτημα.ποιοι ειναι περισσοτεροι οι φυσικοι αριθμοι ή οι οιαριθμοι μεταξυ του ανοιχτου συνολου (0,1)?
η απαντηση δοθηκε απο τον καντορ,ο οποιος θεωρειται ο πατερας της θεωριας συνολων και απαντησε και αλλες παρομοιες ερωτησεις, με το διαγωνιο επιχειρημα:
εχουμε λοιπον δυο συνολα: το Α=>(ολοι οι φυσικοι αριθμοι) και το Β=>(0,1).
θα προσπαθησουμε να αντιστοιχησουμε ολους τους αριθμους του Α στο Β.Αν συμβει αυτο τοτε προφανως τα δυο συνολα εχουν ιδιο αριθμο στοιχειων.Αν δε συμβει τοτε καποιο συνολο εχει παραπανω στοιχεια.Ξεκιναμε:

1=>0,5555555555555555555555555555555555555555555555555................................................................
2=>0,7397938928948049059589498238473878857938539805239................................................................
3=>0,1111111111111111111111111111111111111111111111111................................................................
4=>0,5275498450ε39029468474398239804923478379482982981................................................................
5=>0,6666651254546788732444782797898916452354587412949.................................................................
.........
.........
.........
.........


Εστω οτι αντιστοιχισαμε ολους τα στοιχεια του ενος συνολου με ολα τα στοιχεια του αλλου.Ειναι πιθανο να εχει γινει αυτο?Οχι.μπορουμε παντα να βρουμε εναν αριθμο του συνολου Β που δεν εχουμε αντιστοιχισει.Ο αριθμος αυτος βρισκεται ως εξης:παιρνουμε το πρωτο ψηφιο μετα την υποδιαστολη του πρωτου αριθμου και το αλλαζουμε.ομοιως αλλαζουμε το δευτερο ψηφιο του δευτερου αριθμου,το τριτο του τριτου ........
ετσι δημιουργειται ενας νεος αριθμος που δεν τον εχουμε χρησιμοποιησει: 0,64325........
ο αριθμος αυτος δεν εχει ξαναχρησιμοποιηθει αφου διαφερει απο ολους τους προηγουμενους(εχει τουλαχιστον ενα δια φορετικο ψηφιο απο τον πρωτο,τουλαχιστον ενα διαφορετικο ψηφιο απο το δευτερο.......).μαλιστα ειναι προφανες οτι υπαρχουν απειροι αριθμου του συνολου Β που δεν εχουν χρησιμοποιηθει.θα μπορουσαμε αντι για τον 0,64325....... να σχηματισουμε τον 0,92344......κλπ,κλπ.


γενικως η θεωρια των συνολων ειναι πολυ fuck logic,για αυτο ειναι και τοσο ομορφη.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

Κατάλαβα πως οι 2 τελευταίοι χρήστες λέτε το ίδιο σχεδόν πράγμα.
Μα όπως ανέφερε και ο @DumeNuke δεν ισχύει ότι μπορώ να κάνω και το αντίστροφο;
Γιατί δηλαδή το σύνολο των αριθμών μεταξύ (0,1) να μην είναι μικρότερο του Ν*, κάνοντας την ίδια διαδικασία με τα βελάκια άλλα με αντίστροφο συλλογισμό;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ξαροπ]

Η παγίδα κρύβεται στο 1:17:
"but weve already drawn a line for every integer, so there's none to be this number's partner"
"αλλά έχουμε ήδη τραβήξει μία γραμμή για κάθε ακέραιο, άρα, δεν υπάρχει κανένας ακέραιος διαθέσιμος να γίνει ζευγάρι με τον αριθμό αυτό (που δημιουργήσαμε προηγουμένως)"
Το γεγονός ότι τράβηξε μια γραμμή για κάθε στοιχείο του Α, σημαίνει ότι το Α είναι πεπερασμένο (έχει αρχή και τέλος).

Ξανασκέψου το αυτό. Σκέψου επίσης και την έννοια της επί συνάρτησης που δεν αντιστοιχίζει κατ' ανάγκη πεπερασμένα σύνολα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[physicscrazy]

Κατάλαβα πως οι 2 τελευταίοι χρήστες λέτε το ίδιο σχεδόν πράγμα.
Μα όπως ανέφερε και ο @DumeNuke δεν ισχύει ότι μπορώ να κάνω και το αντίστροφο;
Γιατί δηλαδή το σύνολο των αριθμών μεταξύ (0,1) να μην είναι μικρότερο του Ν*, κάνοντας την ίδια διαδικασία με τα βελάκια άλλα με αντίστροφο συλλογισμό;

και αντιστροφα να το κανεις ,δηλαδη να αντιστοιχησεις τους (0,1) στους φυσικους παλι το ιδιο θα βγει.γενικως δυο συνολα (ειτε πεπερασμενα ειτε απειροσυνολα) ειναι ισα οταν υπαρχει μια συναρτηση 1-1 και επι που να τα συνδεει.βεβαια στο συγκεκριμενο παραδειγμα δεν υπαρχει αναλυτικος τυπος συναρτησης αλλα η συλλογιστικη διαδικασια που προαναφερθηκε.για να σκεφτουμε ομως ...ποιοι ειναι περισσοτεροι οι ακεραιοι ή οι ζυγοι?υπαρχει μηπως μια 1-1 και επι συναρτηση που να τους συνδεει?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[DumeNuke]

και αντιστροφα να το κανεις ,δηλαδη να αντιστοιχησεις τους (0,1) στους φυσικους παλι το ιδιο θα βγει.γενικως δυο συνολα (ειτε πεπερασμενα ειτε απειροσυνολα) ειναι ισα οταν υπαρχει μια συναρτηση 1-1 και επι που να τα συνδεει.βεβαια στο συγκεκριμενο παραδειγμα δεν υπαρχει αναλυτικος τυπος συναρτησης αλλα η συλλογιστικη διαδικασια που προαναφερθηκε.για να σκεφτουμε ομως ...ποιοι ειναι περισσοτεροι οι ακεραιοι ή οι ζυγοι?υπαρχει μηπως μια 1-1 και επι συναρτηση που να τους συνδεει?

Κάθε ζυγός αριθμός είναι και ακέραιος. Επομένως το σύνολο των Ζυγών είναι υποσύνολο αυτού των Ακεραίων. Ισχύει δηλαδή η ανισο-ισότητα:
Ζ<=Α
Αν λοιπόν βρεθεί ένας τουλάχιστον αριθμός ο οποίος είναι ακέραιος, αλλά όχι ζυγός, το σύνολο Α είναι μόνο μεγαλύτερο του Ζ, καθώς περιέχει όλα τα στοιχεία του Ζ συν τον αριθμό που βρήκαμε.
Ο αριθμός 1 είναι ακέραιος αλλά δεν είναι ζυγός. Άρα το πλήθος των ακεραίων είναι μεγαλύτερο αυτού των ζυγών.

Για την παραπάνω "εμπειρική" προσέγγιση χρησιμοποίησα το γεγονός ότι "κάθε ζυγός είναι και ακέραιος". Μια σχέση που συνδέει τα σύνολα Α και Ζ. Υπάρχει κάποια αντίστοιχη που συνδέει τα σύνολα των Α (ακεραίων) και Β=(0,1)? Η πρόταση κλειδί της 'απόδειξης' του βίντεο είναι ότι "εξαντλούμε του ακέραιους του συνόλου Α, χωρίς να εξαντλούμε τα στοιχεία του συνόλου Β".
Για την ακρίβεια, "Θεωρούμε ότι εξαντλούμε..." .....

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Sail Beg]

Για μια πολυ ωραια οπτικοακουστικη εξηγηση επισκεφθειτε στο youtube το καναλι Numberphile και ψαξτε το video ''some infinities are bigger than you think''
Πραγματικα το να παιζεις με τετοιες εννοιες μπορει να σε τρελανει.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[physicscrazy]

Κάθε ζυγός αριθμός είναι και ακέραιος. Επομένως το σύνολο των Ζυγών είναι υποσύνολο αυτού των Ακεραίων. Ισχύει δηλαδή η ανισο-ισότητα:
Ζ<=Α
Αν λοιπόν βρεθεί ένας τουλάχιστον αριθμός ο οποίος είναι ακέραιος, αλλά όχι ζυγός, το σύνολο Α είναι μόνο μεγαλύτερο του Ζ, καθώς περιέχει όλα τα στοιχεία του Ζ συν τον αριθμό που βρήκαμε.
Ο αριθμός 1 είναι ακέραιος αλλά δεν είναι ζυγός. Άρα το πλήθος των ακεραίων είναι μεγαλύτερο αυτού των ζυγών.

Για την παραπάνω "εμπειρική" προσέγγιση χρησιμοποίησα το γεγονός ότι "κάθε ζυγός είναι και ακέραιος". Μια σχέση που συνδέει τα σύνολα Α και Ζ. Υπάρχει κάποια αντίστοιχη που συνδέει τα σύνολα των Α (ακεραίων) και Β=(0,1)? Η πρόταση κλειδί της 'απόδειξης' του βίντεο είναι ότι "εξαντλούμε του ακέραιους του συνόλου Α, χωρίς να εξαντλούμε τα στοιχεία του συνόλου Β".
Για την ακρίβεια, "Θεωρούμε ότι εξαντλούμε..." .....

συγγνωμη ,λαθος δικο μου.εννουσα τη συγκριση μεταξυ φυσικων και ζυγων.

ας το σκεφτουμε ομως λιγο διαφορετικα.σε μια συναρτηση 1-1 ισχυει χ1=/χ2 τοτε και f(χ1)=/f(x2).ουσιαστικα μας λεει οτι καθε χ αντιστοιχιζεται σε ενα και μονο y.μια συναρτση ειναι επι οταν δεν υπαρχει y που να μην αντιστοιχιζεται σε καποιο χ.αρα αν δυο συνολα αντιστοιχιζονται με μια 1-1 και επι συναρτηση εχουν ιδιο αριθμο στοιχειων.λοιπον οι φυσικοι αντιστοιχιζονται στους ζυγους με
τη συναρτηση y=2x με χ φυσικο.η συναρτηση αυτη ειναι 1-1 και επι αρα φυσικοι=ζυγοι.οσον αφορα τους φυσικους και το συνολο (0,1) δεν υπαρχει αναλυτικος τυπος συναρτησης,αλλα μονη αποδειξη-επιχειρημα το διαγωνιο επιχειρημα του cantor.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[DumeNuke]

Έστω Α το σύνολο των φυσικών (1,2,3,4,5,6...) και Β=(0,1).
Για κάθε στοιχείο n του Α, εκτός του 1, υπάρχει στοιχείο m του Β, τέτοιο ώστε να συνδέονται με τη σχέση:
n*m=1 ή m=1/n
Δηλαδή, το 2 ανήκει στο A, το 1/2 στο Β, το 3 στο Α, το 1/3 στο Β, κ.ο.κ.
Επομένως, για n στοιχεία του συνόλου Α υπάρχουν n-1 στοιχεία στο σύνολο Β. Αν βρούμε τουλάχιστον 2 στοιχεία που ανήκουν στο Β, αλλά όχι στο Α, τότε το σύνολο Β είναι μεγαλύτερο.
Το 3/4 και 4/5 είναι δύο τέτοια στοιχεία, διαφορετικά μεταξύ τους. Επομένως για n στοιχεία του Α υπάρχουν τουλάχιστον n+1 στοιχεία στο Β, γεγονός που καθιστά το σύνολο Β=(0,1) μεγαλύτερο του συνόλου Α των φυσικών.

Από βιντεάκι στο youtube.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[physicscrazy]

Έστω Α το σύνολο των φυσικών (1,2,3,4,5,6...) και Β=(0,1).
Για κάθε στοιχείο n του Α, εκτός του 1, υπάρχει στοιχείο m του Β, τέτοιο ώστε να συνδέονται με τη σχέση:
n*m=1 ή m=1/n
Δηλαδή, το 2 ανήκει στο A, το 1/2 στο Β, το 3 στο Α, το 1/3 στο Β, κ.ο.κ.
Επομένως, για n στοιχεία του συνόλου Α υπάρχουν n-1 στοιχεία στο σύνολο Β. Αν βρούμε τουλάχιστον 2 στοιχεία που ανήκουν στο Β, αλλά όχι στο Α, τότε το σύνολο Β είναι μεγαλύτερο.
Το 3/4 και 4/5 είναι δύο τέτοια στοιχεία, διαφορετικά μεταξύ τους. Επομένως για n στοιχεία του Α υπάρχουν τουλάχιστον n+1 στοιχεία στο Β, γεγονός που καθιστά το σύνολο Β=(0,1) μεγαλύτερο του συνόλου Α των φυσικών.

Από βιντεάκι στο youtube.

ωραιοσ.μηπως μπορεις να βαλεις link?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

Κάθε ζυγός αριθμός είναι και ακέραιος. Επομένως το σύνολο των Ζυγών είναι υποσύνολο αυτού των Ακεραίων. Ισχύει δηλαδή η ανισο-ισότητα:
Ζ<=Α
Αν λοιπόν βρεθεί ένας τουλάχιστον αριθμός ο οποίος είναι ακέραιος, αλλά όχι ζυγός, το σύνολο Α είναι μόνο μεγαλύτερο του Ζ, καθώς περιέχει όλα τα στοιχεία του Ζ συν τον αριθμό που βρήκαμε.
Ο αριθμός 1 είναι ακέραιος αλλά δεν είναι ζυγός. Άρα το πλήθος των ακεραίων είναι μεγαλύτερο αυτού των ζυγών.

Για την παραπάνω "εμπειρική" προσέγγιση χρησιμοποίησα το γεγονός ότι "κάθε ζυγός είναι και ακέραιος". Μια σχέση που συνδέει τα σύνολα Α και Ζ. Υπάρχει κάποια αντίστοιχη που συνδέει τα σύνολα των Α (ακεραίων) και Β=(0,1)? Η πρόταση κλειδί της 'απόδειξης' του βίντεο είναι ότι "εξαντλούμε του ακέραιους του συνόλου Α, χωρίς να εξαντλούμε τα στοιχεία του συνόλου Β".
Για την ακρίβεια, "Θεωρούμε ότι εξαντλούμε..." .....

Και στις 2 προτάσεις, και αυτή που παρουσίασες και εκείνη του βίντεο, θεωρούμε πως εξαντλήσαμε τα στοιχεία του ενός συνόλου, παρ' όλα αυτά τα σύνολα τα οποία παίρνουμε είναι στη πραγματικότητα άπειρα. Θεωρώντας εμείς ότι εξαντλούμε δεν καταργούμε αυτόματα την ίδια την έννοια της απειρότητας, ασχολούμενοι πλέον με πεπερασμένα σύνολα αριθμών; Θέλω να πω, ότι δεν μπορεί να ισχύει ούτε η μια, ούτε η άλλη πρόταση θεωρώντας τα σύνολα άπειρα, γιατί για κάθε στοιχείο του (0,1) θα μπορώ να έχω ένα ακόμα ακέραιο (άπειροι αριθμοί) για να το αντιστοιχίσω. Αυτό θα συνεχίζεται επ άπειρω, άρα καταλήγω στο ότι ΔΕ ΜΠΟΡΩ εξ ορισμού να συγκρίνω 2 άπειρα σύνολα.

Η πρόταση Α(ακέραιοι) <= Ζ(ζυγοί) με τη λογική μου δεν ισχύει, γιατί και τα δύο σύνολα είναι άπειρα, άρα για κάθε ακέραιο, θα μπορώ να έχω κάθε φορά και ένα αριθμό ζυγό ο οποίος θα αντιστοιχίζεται με κάποιο ακέραιο. Αυτό θα συνεχίζεται και πάλι επ άπειρω, χωρίς να μπορώ να βγάλω συμπέρασμα για το αν είναι κάποιο από τα 2 σύνολα (το Α στη προκειμένη περίπτωση) μεγαλύτερο.

Όλα αυτά βέβαια με τη προϋπόθεση ότι δεν έχουμε δεχτεί συμβατικά (χωρίς να ισχύει στη πραγματικότητα) ότι Α <= Ζ

Δεν έχω καμία γνώση πάνω στο θέμα, λογικά (σύμφωνα με τη λογική μου) συμπεράσματα εκφράζω.



Δε το έχω δει ακόμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[DumeNuke]

Spoiler

Και στις 2 προτάσεις, και αυτή που παρουσίασες και εκείνη του βίντεο, θεωρούμε πως εξαντλήσαμε τα στοιχεία του ενός συνόλου, παρ' όλα αυτά τα σύνολα τα οποία παίρνουμε είναι στη πραγματικότητα άπειρα. Θεωρώντας εμείς ότι εξαντλούμε δεν καταργούμε αυτόματα την ίδια την έννοια της απειρότητας, ασχολούμενοι πλέον με πεπερασμένα σύνολα αριθμών; Θέλω να πω, ότι δεν μπορεί να ισχύει ούτε η μια, ούτε η άλλη πρόταση θεωρώντας τα σύνολα άπειρα, γιατί για κάθε στοιχείο του (0,1) θα μπορώ να έχω ένα ακόμα ακέραιο (άπειροι αριθμοί) για να το αντιστοιχίσω. Αυτό θα συνεχίζεται επ άπειρω, άρα καταλήγω στο ότι ΔΕ ΜΠΟΡΩ εξ ορισμού να συγκρίνω 2 άπειρα σύνολα.

Η πρόταση Α(ακέραιοι) <= Ζ(ζυγοί) με τη λογική μου δεν ισχύει, γιατί και τα δύο σύνολα είναι άπειρα, άρα για κάθε ακέραιο, θα μπορώ να έχω κάθε φορά και ένα αριθμό ζυγό ο οποίος θα αντιστοιχίζεται με κάποιο ακέραιο. Αυτό θα συνεχίζεται και πάλι επ άπειρω, χωρίς να μπορώ να βγάλω συμπέρασμα για το αν είναι κάποιο από τα 2 σύνολα (το Α στη προκειμένη περίπτωση) μεγαλύτερο.

Όλα αυτά βέβαια με τη προϋπόθεση ότι δεν έχουμε δεχτεί συμβατικά (χωρίς να ισχύει στη πραγματικότητα) ότι Α <= Ζ

Δεν έχω καμία γνώση πάνω στο θέμα, λογικά (σύμφωνα με τη λογική μου) συμπεράσματα εκφράζω.



Δε το έχω δει ακόμα.

Αυτό ακριβώς το πρόβλημα τόνισα στην ένσταση στο πρώτο βίντεο (στην αρχική σου δημοσίευση). Με τον τρόπο που εξηγεί τη διαδικασία, αντιστοιχεί το 1 σε κάποιον τυχαίο αριθμό του συνόλου Β, το 2 σε κάποιον άλλο τυχαίο αριθμό του Β κ.ο.κ. Η λέξη "τυχαίο" είναι το κλειδί. ΔΕΝ υπάρχει κάποια αντιστοιχία των στοιχείων Α και Β. Για Α 1 παίρνω Β 0,5767 και για Α 2 παίρνω Β 0,98668.... Το να υποθέσω ότι, κάποια στιγμή, εξαντλώ το σύνολο Α, χωρίς να εξαντλήσω το Β, (είτε κυριολεκτικά είτε μεταφορικά) περιέχει λογικό άλμα.

Στην παραπάνω απάντηση που παρέθεσες (το βίντεο της οποίας δεν μπόρεσα να ξαναβρώ...) υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ των Α και Β.
Για Α=2, Β=1/2.
Για Α=3, Β=1/3.
Για Α=4, Β=1/4.
Για Α=n, B=1/n
Σκέψου έναν αριθμό n, φυσικό, μεγαλύτερο της μονάδας. Είναι δεδομένο ότι ο αριθμός k=1/n θα είναι θετικός (διαίρεση μεταξύ θετικών) και άρα μεγαλύτερος του 0. Παράλληλα, αφού:
n>1 <=> (1/n)<1
Δηλαδή ανήκει στο σύνολο Β. Με την χρήση ενός κανόνα (μια συνάρτησης, f(x)=1/x στην προκειμένη) αντιστοιχούμε κάθε στοιχείο του Α, με κάποιο στοιχείο του Β. Δεν χρειάζεται να εξαντλήσουμε το Α. Μπορούμε να θεωρήσουμε ΠΟ της f κάθε φυσικό μεγαλύτερο της μονάδας και τα αποτελέσματα θα επαληθεύουν την υπόθεση.

Μια αντερώτηση στο "ΔΕ ΜΠΟΡΩ εξ ορισμού να συγκρίνω 2 άπειρα σύνολα.":
Έστω Ο=[0,1] και Π=[0,2]. Απορρίπτει κανείς το γεγονός ότι το Α είναι υποσύνολο του Β και, ως εκ τούτου, μικρότερο του Β?

Με την ίδια λογική, από το σύνολο Α, θεωρώ ένα σύνολο Γ=(k / k=1/n), όπου n κάθε στοιχείο του Α, εκτός του 1 (επειδή το Β είναι ανοικτό στο 1). Το σύνολο Γ έχει ένα στοιχείο λιγότερο από το Α (το 1). Το σύνολο Γ είναι υποσύνολο του Β (για τους λόγους που αναλύθηκαν παραπάνω), με το Β να έχει τουλάχιστον 2 στοιχεία διαφορετικά του Γ (το 3/4 και 4/5).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

Το σκέφτομαι και το ξανασκέφτομαι και η αλήθεια είναι ότι δε μπορώ να καταλήξω λογικά (κατάλαβα νομίζω τα όσα ανέλυσες) αν γίνεται μια απειρότητα να είναι μικρότερη μιας άλλης απειρότητας. Στη λογική μου από τη μια δε μπορώ να χωρέσω πως μπορεί να γίνει διάταξη των απειροτήτων ως μικρότερες και μεγαλύτερες, άλλα ταυτόχρονα καταλαβαίνω ότι είναι λογικό το Ο=[0,1] "περιέχει περισσότερα στοιχεία από το Π=[0,2]. Μου μοιάζει σαν παράδοξο και δεν έχω ξανασυναντήσει κάτι στα μαθηματικά που να μοιάζει να μην έχει λογική.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[transient]

Εγώ πάντως δε κατάλαβα τίποτα από το video.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dr.Quantum]

Έστω Α το σύνολο των φυσικών (1,2,3,4,5,6...) και Β=(0,1).
Για κάθε στοιχείο n του Α, εκτός του 1, υπάρχει στοιχείο m του Β, τέτοιο ώστε να συνδέονται με τη σχέση:
n*m=1 ή m=1/n
Δηλαδή, το 2 ανήκει στο A, το 1/2 στο Β, το 3 στο Α, το 1/3 στο Β, κ.ο.κ.
Επομένως, για n στοιχεία του συνόλου Α υπάρχουν n-1 στοιχεία στο σύνολο Β. Αν βρούμε τουλάχιστον 2 στοιχεία που ανήκουν στο Β, αλλά όχι στο Α, τότε το σύνολο Β είναι μεγαλύτερο.
Το 3/4 και 4/5 είναι δύο τέτοια στοιχεία, διαφορετικά μεταξύ τους. Επομένως για n στοιχεία του Α υπάρχουν τουλάχιστον n+1 στοιχεία στο Β, γεγονός που καθιστά το σύνολο Β=(0,1) μεγαλύτερο του συνόλου Α των φυσικών.

Από βιντεάκι στο youtube.

Καταλαβαίνω τι συμβαίνει και εδώ, μα και πάλι, μου μοιάζει λάθος το να πω μεγαλύτερο ή μικρότερο ή περισσότερο ή λιγότερο για κάτι άπειρο. Είναι άπειρο, και δεν μπορεί να συγκριθεί ένα άπειρο με ένα άλλο άπειρο έτσι όπως το βλέπω. Τέλος πάντων, το κρατάω για το πανεπιστήμιο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.