Εκθετικές συναρτήσεις

[spring day]

Καλησπέρα. Θα ήθελα αν είναι εύκολο να με κατευθύνει κάποιος στην επίλυση των παρακάτω δύο συναρτήσεων. Δεν έχουμε λύσει ξανά παρόμοια άσκηση και ετσι δεν γνωρίζω πως πρεπει να δουλέψω ώστε να αποδείξω αυτό που χρειάζεται.

• f(x)= (συνχ)/(1+e^x) να αποδείξετε ότι f(x)+f(-x)= συνχ

• f(x)= (x)/(1+e^(1/x)) να αποδείξετε ότι f(x) - f(-x) = x (x≠0)

 

[Alexandros28]

Στην συναρτησιακή σχέση που δίνεται στην υπόθεση, βάλε όπου x το -x και μετα αντικατάστησε στην ζητούμενη και κατάληξε σε κατι που ισχύει, αυστηρά με ισοδυναμίες.

Απ'ό,τι βλέπω θα χρειαστείς και αναγωγή στο πρωτο τεταρτημόριο.

 

[Samael]

Καλησπέρα. Θα ήθελα αν είναι εύκολο να με κατευθύνει κάποιος στην επίλυση των παρακάτω δύο συναρτήσεων. Δεν έχουμε λύσει ξανά παρόμοια άσκηση και ετσι δεν γνωρίζω πως πρεπει να δουλέψω ώστε να αποδείξω αυτό που χρειάζεται.

• f(x)= (συνχ)/(1+e^x) να αποδείξετε ότι f(x)+f(-x)= συνχ

• f(x)= (x)/(1+e^(1/x)) να αποδείξετε ότι f(x) - f(-x) = x (x≠0)

Για την πρώτη δοκίμασε τα εξής :

f(x)= συνχ/(1+e^x) => σχέση (1) , βάζεις τώρα οπου x το -χ στην δοθείσα σχέση.
f(-x) = συνx/(1+e^(-x)) => σχέση (2), πολλαπλασίασε τώρα αριθμητή και παρονομαστή με e^x

f(-x) = (e^x)συνx/(1+e^x) => σχέση (3), πρόσθεσε τις σχέσεις (1) και (3) μαζί στο επόμενο βήμα
f(x)+f(-x) = συνχ/(1+e^x) + (e^x)συνx/(1+e^x) => βγάζεις κοινό παράγοντα το συνχ,και παίρνεις
f(x)+f(-x) = συνχ(1+e^x) /(1+e^x) = συνχ

Άρα f(x)+f(-x) = συνχ.

* Εδώ έγινε χρήση της πληροφορίας οτι η συνάρτηση συνχ είναι μια άρτια συνάρτηση. Δηλαδή ικανοποιεί την σχέση :
συν(χ) = συν(-χ). Εφόσον η συνθήκη που ισχύει για μια άρτια συνάρτηση f(x) είναι f(-x) = f(x),όταν ορίζεται σε συμμετρικά διαστήματα γύρω απο το 0(στην περίπτωση μας ορίζεται σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς άρα καλυπτόμαστε σε αυτό το θέμα χωρίς πρόβλημα).

Δοκίμασε και την δεύτερη μόνη σου. Σου παραθέτω παρακάτω την λύση για να την τσεκάρεις στο τέλος(κάντην σε παρακαλώ μην δεις απλά την λύση) :

Spoiler

f(x)= x/(1+e^(1/x)) ,σχέση (1)

Ακολουθούμε όμοια τακτική, όπου x το -x :

f(-x)= -x/[ 1+e^( 1/(-x) ) ] =>
f(-x) = -x/[ 1+e^( -(1/x) ) ] => πολλαπλασίασε πάνω και κάτω το κλάσμα του δεξιού μέλους με e^(1/x)
f(-x) = -xe^(1/x)/[ 1+e^(1/x) ] ,σχέση (2)

Εαν αφαιρέσεις τώρα κατά μέλη τις (1) και (2) :

f(x) - f(-x) = x/[ 1+e^(1/x)] + xe^(1/x)/[1+e^(1/x) ] => βγάλε κοινό παράγοντα το x
f(x) - f(-x) = x[ 1+e^(1/χ)]/[ 1+e^(1/x) ] =>
f(x) - f(-x) = x

Γενικά η προσέγγιση είναι οτι βάζεις στην σχέση όπου x το -x και μέσω κατάλληλων αλλαγών, την φέρνεις σε μια μορφή που να μοιάζει όσο γίνεται με την πρώτη(να ταιριάξουν οι παρονομαστές στην περίπτωση μας).

Έπειτα προσθέτεις τις δυο σχέσεις μεταξύ τους για να φτιάξεις το αριστερό μέλος και κάνοντας πράξεις(παραγοντοποιήσεις,πολλαπλασιασμοί πάνω και κάτω σε κλάσματα, προσθαφαιρέσεις του ίδιου αριθμού, χρήση ταυτοτήτων κτλπ.) φέρνεις το δεξί μέλος στην μορφή που σου ζητείται.

 

[spring day]

Ευχαριστώ πολύ!!