Βοήθεια σε άσκηση μαθηματικών Γ' Λυκείου

[Σωτηρία]

Εστω f(x)=ln²x -2lnx, x>0
Να βρειτε το συνολο τιμων και νδο υπάρχει μοναδικο ρ€(e, +oo) ωστε f(ρ)=f(2).

Για καποιο λογο έχω μπλοκαρει και δεν μου βγαινει. Η οποια βοηθεια ειναι ευπροσδεκτη.

 

[Samael]

Εστω f(x)=ln²x -2lnx, x>0
Να βρειτε το συνολο τιμων και νδο υπάρχει μοναδικο ρ€(e, +oo) ωστε f(ρ)=f(2).

Για καποιο λογο έχω μπλοκαρει και δεν μου βγαινει. Η οποια βοηθεια ειναι ευπροσδεκτη.

Βρες την παράγωγο της f.
Απέδειξε οτι για x > e θα είναι γνησίως αύξουσα και οτι για x < e θα είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ για x = e θα είναι f(e) = -1 .

Το πεδίο ορισμού της f θα αποτελείται απο τα τμήματα :
D1 = (0,e]
D2 = [e,+oo)

Το σύνολο τιμών σε καθένα απο αυτά τα διαστήματα θα βρεθεί λαμβάνοντας υπόψιν την μονοτονία. Θυμίζω για παν ενδεχόμενο και ψάχτο και στο σχολικό για πιο λεπτομερή ανάλυση , πως εαν η f είναι γνησίως αύξουσα στο
D = [α,β] , τότε η εικόνα σε αυτό το διάστημα θα είναι f(D) = [f(α),f(β)] , ενώ εαν είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι : f(D) = [f(β),f(α)]

Ωστόσο προσοχή στα κλειστά και τα ανοιχτά διαστήματα. Μπορεί να χρησιμοποιήσα κλειστά, αλλά..
Στο παράδειγμα μας η f είναι γνησίως φθίνουσα λόγου χάρη στο (0,e]. Άρα η εικόνα του διαστήματος μέσω της f θα ήταν :

f((0,e]) = [f(e),f(0)]

Το οποίο είναι λάθος. Στο 0 η f δεν ορίζεται, οπότε θα βρεις το όριο καθώς το x τείνει στο 0, ας το πούμε L1, και το άγκιστρο δεν θα είναι το σύμβολο του κλειστού, αλλά του ανοιχτού. Οπότε η σωστή γραφή είναι :

f((0,e]) = [f(e),L1)

Οπότε έχεις να εξετάσεις τις εικόνες των D1 και D2 με τους τρόπους που είπαμε. Μόλις το κάνεις αυτό, το σύνολο τιμών της f θα είναι : A = f(D) = f(D1UD2) = f(D1)Uf(D2) = [f(e),L1) U [f(e),L2) .

Για να έχεις και έναν μπούσουλα, το σύνολο τιμών είναι το [-1,+οο).

 

[Σωτηρία]

Βρες την παράγωγο της f.
Απέδειξε οτι για x > e θα είναι γνησίως αύξουσα και οτι για x < e θα είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ για x = e θα είναι f(e) = -1 .

Το πεδίο ορισμού της f θα αποτελείται απο τα τμήματα :
D1 = (0,e]
D2 = [e,+oo)

Το σύνολο τιμών σε καθένα απο αυτά τα διαστήματα θα βρεθεί λαμβάνοντας υπόψιν την μονοτονία. Θυμίζω για παν ενδεχόμενο και ψάχτο και στο σχολικό για πιο λεπτομερή ανάλυση , πως εαν η f είναι γνησίως αύξουσα στο
D = [α,β] , τότε η εικόνα σε αυτό το διάστημα θα είναι f(D) = [f(α),f(β)] , ενώ εαν είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι : f(D) = [f(β),f(α)]

Ωστόσο προσοχή στα κλειστά και τα ανοιχτά διαστήματα. Μπορεί να χρησιμοποιήσα κλειστά, αλλά..
Στο παράδειγμα μας η f είναι γνησίως φθίνουσα λόγου χάρη στο (0,e]. Άρα η εικόνα του διαστήματος μέσω της f θα ήταν :

f((0,e]) = [f(e),f(0)]

Το οποίο είναι λάθος. Στο 0 η f δεν ορίζεται, οπότε θα βρεις το όριο καθώς το x τείνει στο 0, ας το πούμε L1, και το άγκιστρο δεν θα είναι το σύμβολο του κλειστού, αλλά του ανοιχτού. Οπότε η σωστή γραφή είναι :

f((0,e]) = [f(e),L1)

Οπότε έχεις να εξετάσεις τις εικόνες των D1 και D2 με τους τρόπους που είπαμε. Μόλις το κάνεις αυτό, το σύνολο τιμών της f θα είναι : A = f(D) = f(D1UD2) = f(D1)Uf(D2) = [f(e),L1) U [f(e),L2) .

Για να έχεις και έναν μπούσουλα, το σύνολο τιμών είναι το [-1,+οο).

Σευχαριστω παααρα πολυ για αυτη την αναλυση αλλα το συνολο τιμων ηταν το ευκολο κομματι. Δεν μου εβγαινε η υπαρξιακη σχεση. Αυτο που με μπερδεψε ειναι οτι με τη λογικη θα ελεγα οτι στο e,+oo η f ειναι γν αυξουσα αρα και 1-1 αρα ρ=2 που ομως δεν ανηκει στο e,+oo. Μετα προφανως θα παει με το οτι το f(2) ανηκει στο f(Δ2) ας πουμε οποτε θα εχει μοναδικη λυση στο Δ2 βασει συνολου τιμων αλλα παλι αδυνατω να κατανοησω την απορριψη της πρωτης σκεψης..

 

[Samael]

Σευχαριστω παααρα πολυ για αυτη την αναλυση αλλα το συνολο τιμων ηταν το ευκολο κομματι. Δεν μου εβγαινε η υπαρξιακη σχεση. Αυτο που με μπερδεψε ειναι οτι με τη λογικη θα ελεγα οτι στο e,+oo η f ειναι γν αυξουσα αρα και 1-1 αρα ρ=2 που ομως δεν ανηκει στο e,+oo. Μετα προφανως θα παει με το οτι το f(2) ανηκει στο f(Δ2) ας πουμε οποτε θα εχει μοναδικη λυση στο Δ2 βασει συνολου τιμων αλλα παλι αδυνατω να κατανοησω την απορριψη της πρωτης σκεψης..

Περίμενε λίγο για το άλλο γιατί το μπέρδεψα και διάβασα την συνθήκη f(ρ) = 2 και όχι f(2).

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Απριλίου 2022

Σευχαριστω παααρα πολυ για αυτη την αναλυση αλλα το συνολο τιμων ηταν το ευκολο κομματι. Δεν μου εβγαινε η υπαρξιακη σχεση. Αυτο που με μπερδεψε ειναι οτι με τη λογικη θα ελεγα οτι στο e,+oo η f ειναι γν αυξουσα αρα και 1-1 αρα ρ=2 που ομως δεν ανηκει στο e,+oo. Μετα προφανως θα παει με το οτι το f(2) ανηκει στο f(Δ2) ας πουμε οποτε θα εχει μοναδικη λυση στο Δ2 βασει συνολου τιμων αλλα παλι αδυνατω να κατανοησω την απορριψη της πρωτης σκεψης..

Θα το δω και θα σου πω, ωστόσο έχεις μπερδευτεί διότι ναι μεν μονότονη στο (0,e] και στο [e,+oo) η f ,αλλά όχι και στο (0,+oo).

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Απριλίου 2022

Σευχαριστω παααρα πολυ για αυτη την αναλυση αλλα το συνολο τιμων ηταν το ευκολο κομματι. Δεν μου εβγαινε η υπαρξιακη σχεση. Αυτο που με μπερδεψε ειναι οτι με τη λογικη θα ελεγα οτι στο e,+oo η f ειναι γν αυξουσα αρα και 1-1 αρα ρ=2 που ομως δεν ανηκει στο e,+oo. Μετα προφανως θα παει με το οτι το f(2) ανηκει στο f(Δ2) ας πουμε οποτε θα εχει μοναδικη λυση στο Δ2 βασει συνολου τιμων αλλα παλι αδυνατω να κατανοησω την απορριψη της πρωτης σκεψης..

Λοιπόν, θα λύσεις την εξίσωση :
f(x) = f(2) =>
ln²2 -2ln2 = ln²x -2lnx =>
ln²2 -2ln2 = ln²x -2lnx =>
ln²x - ln²2 -2lnx + 2ln2 = 0 =>
(lnx - ln2)(lnx + ln2) - 2(lnx - ln2) = 0 =>
(lnx - ln2)[lnx + ln2 - 2] = 0 => Απορρίπτουμε την περίπτωση να είναι x = 2 ,οπότε διαιρούμε με το lnx-ln2 :
lnx + ln2 - 2 = 0 =>
lnx = 2 - ln2 =>
x = e^(2-ln2) =>
x = (e²)e(-ln2) =>
x = e²/2

Ας πάρουμε την ανίσωση:
x²/2 <= x =>
x² <= 2x =>
x² - 2x <= 0 =>
x² -2x + 1 <= 1 =>
(x-1)² <= 1 =>
|x-1| <= 1 =>
-1< x-1 <1 =>
0 <= x <= 2

Άρα αν είναι e²/2 < e πρέπει το 0 <= e <= 2, άτοπο. Άρα e²/2 > e.
Επειδή η f είναι και μονότονη στο [e,+οο) , θα είναι και 1-1 σε αυτό το διάστημα. Επομένως το
χ = e²/2 > e , θα είναι το μοναδικό σε αυτό το διάστημα που θα είναι ίσο με f(2) .

Αποδείξαμε λοιπόν οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα ρ Ε [e,+oo) τέτοιο ώστε f(ρ) = f(2) και ταυτόχρονα είναι μοναδικό διότι η f στο [e,+oo) είναι μονότονη, και επομένως 1-1.

 

[Σωτηρία]

Περίμενε λίγο για το άλλο γιατί το μπέρδεψα και διάβασα την συνθήκη f(ρ) = 2 και όχι f(2).

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Απριλίου 2022

Θα το δω και θα σου πω, ωστόσο έχεις μπερδευτεί διότι ναι μεν μονότονη στο (0,e] και στο [e,+oo) η f ,αλλά όχι και στο (0,+oo).

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Απριλίου 2022

Λοιπόν, θα λύσεις την εξίσωση :
f(x) = f(2) =>
ln²2 -2ln2 = ln²x -2lnx =>
ln²2 -2ln2 = ln²x -2lnx =>
ln²x - ln²2 -2lnx + 2ln2 = 0 =>
(lnx - ln2)(lnx + ln2) - 2(lnx - ln2) = 0 =>
(lnx - ln2)[lnx + ln2 - 2] = 0 =>
lnx = 2 - ln2 =>
x = e^(2-ln2) =>
x = (e²)e(-ln2) =>
x = e²/2

Ας πάρουμε την ανίσωση:
x²/2 <= x =>
x² <= 2x =>
x² - 2x <= 0 =>
x² -2x + 1 <= 1 =>
(x-1)² <= 1 =>
|x-1| <= 1 =>
-1< x-1 <1 =>
0 <= x <= 2

Άρα για να είναι e²/2 < e πρέπει το 0<= e <= 2, άτοπο. Άρα e²/2 > e.
Επειδή η f είναι και μονότονη στο [e,+οο) , θα είναι και 1-1 σε αυτό το διάστημα. Επομένως το
χ = e²/2 > e , θα είναι το μοναδικό σε αυτό το διάστημα που θα είναι ίσο με f(2) .

Αποδείξαμε λοιπόν οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα ρ Ε [e,+oo) τέτοιο ώστε f(ρ) = f(2) και ταυτόχρονα είναι μοναδικό διότι η f στο [e,+oo) είναι μονότονη, και επομένως 1-1.

Έγινε σευχαριστω παρα πολυ για τη λυση και για το χρονο σουυ

 

[Cade]

Εστω f(x)=ln²x -2lnx, x>0
Να βρειτε το συνολο τιμων και νδο υπάρχει μοναδικο ρ€(e, +oo) ωστε f(ρ)=f(2).

Για καποιο λογο έχω μπλοκαρει και δεν μου βγαινει. Η οποια βοηθεια ειναι ευπροσδεκτη.

Που έχεις μπερδευτεί ; Προφανώς αν υπάρχει ρ στο διάστημα αυτό που να κάνει αυτή τη δουλειά είναι μοναδικό λόγω μονοτονίας. ( Στο e,+00)

Τώρα, είναι 2<e η f είναι γνησίως φθίνουσα για x<e άρα f(2)>f(e) <=> f(2)>-1. Συνεπώς από το σύνολο τιμών θα υπάρχει κάποιο ρ στο (e,+00) για το οποίο ισχύει f(ρ)=f(2).

 

[Σωτηρία]

Που έχεις μπερδευτεί ; Προφανώς αν υπάρχει ρ στο διάστημα αυτό που να κάνει αυτή τη δουλειά είναι μοναδικό λόγω μονοτονίας. ( Στο e,+00)

Τώρα, είναι 2<e η f είναι γνησίως φθίνουσα για x<e άρα f(2)>f(e) <=> f(2)>-1. Συνεπώς από το σύνολο τιμών θα υπάρχει κάποιο ρ στο (e,+00) για το οποίο ισχύει f(ρ)=f(2).

Πωω εχεις δικιο, τοση ωρα εβαζα το 2 στο e,+oo και γιαυτο ελεγα οτι ειναι αυξουσα και δεν μου έβγαινε . Σας ευχαριστω και τους δυο για τη βοήθειααα

 

[Cade]

Σευχαριστω παααρα πολυ για αυτη την αναλυση αλλα το συνολο τιμων ηταν το ευκολο κομματι. Δεν μου εβγαινε η υπαρξιακη σχεση. Αυτο που με μπερδεψε ειναι οτι με τη λογικη θα ελεγα οτι στο e,+oo η f ειναι γν αυξουσα αρα και 1-1 αρα ρ=2 που ομως δεν ανηκει στο e,+oo. Μετα προφανως θα παει με το οτι το f(2) ανηκει στο f(Δ2) ας πουμε οποτε θα εχει μοναδικη λυση στο Δ2 βασει συνολου τιμων αλλα παλι αδυνατω να κατανοησω την απορριψη της πρωτης σκεψης..

Πάντως υπάρχουν 2 ρ (ρ1, ρ2), ρ1 ανήκει (0,e] και ρ2 ανήκει [e,+00) που ικανοποιούν το f(χ) = f(2). Το ένα προφανώς είναι το 2 και το άλλο αυτό που βρήκαμε. Για αυτό δεν δούλεψε η πρώτη σου σκεψη

 

[Samael]

Συνεπώς από το σύνολο τιμών θα υπάρχει κάποιο ρ στο (e,+00) για το οποίο ισχύει f(ρ)=f(2).

Βασικά πρέπει να είσαι προσεκτικός. Το σύνολο τιμών δεν μας λέει σχεδόν τίποτα για μια συνάρτηση.Στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη ρ που να ικανοποιεί αυτή την σχέση f(ρ) = f(2).Ο ορισμός μιας πραγματικής συνάρτησης, μιας πραγματικής μεταβλητής είναι :

Έστω ένα σύονολο D που θα λέμε πεδίο ορισμού και έστω ένα σύνολο Α που θα λέμε σύνολο τιμών. Η f αποτελεί συνάρτηση εαν ορίζει κανόνα τέτοιο ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχιζεται σε ακριβώς ένα ένα στοιχείο του Α.

Τι γράψεις f:R -> (0,5) τι f:R -> R , είναι σχεδόν το ίδιο πράγμα.
Θέλω να πω, ναι προφανώς ο πρώτος θα σου έδινε παραπάνω πληροφορία, αλλά και ο δεύτερος σωστότατος θα ήταν, απλά θα σου έλεγε πολύ λιγότερα. Θα ήταν σφάλμα όμως να πεις οτι εφόσον το σύνολο τιμών είναι το R θα υπάρχει κάποιο ρ E R τέτοιο ώστε f(ρ) = 521.

 

[Cade]

Βασικά πρέπει να είσαι προσεκτικός. Το σύνολο τιμών δεν μας λέει σχεδόν τίποτα για μια συνάρτηση.Στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη ρ που να ικανοποιεί αυτή την σχέση f(ρ) = f(2).Ο ορισμός μιας πραγματικής συνάρτησης, μιας πραγματικής μεταβλητής είναι :

Έστω ένα σύονολο D που θα λέμε πεδίο ορισμού και έστω ένα σύνολο Α που θα λέμε σύνολο τιμών. Η f αποτελεί συνάρτηση εαν ορίζει κανόνα τέτοιο ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχιζεται σε ακριβώς ένα ένα στοιχείο του Α.

Αφού το f(2) ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης δεν θα υπάρχει κάποιο ρ που να δίνει τη τιμή αυτή;

 

[Samael]

Αφού το f(2) ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης δεν θα υπάρχει κάποιο ρ που να δίνει τη τιμή αυτή;

Αυτό λέω,είναι λάθος ισχυρισμός.
Θα μπορούσες να βασιστείς στο όριο για να το πεις αυτό, αλλά επίσης θα το απέφευγα διότι ο επίσημος ορισμός δεν διδάσκεται(εαν και υπάρχει στο σχολικό βιβλίο) και υπάρχει κίνδυνος να θεωρήσει ο διορθωτής οτι είτε δεν ξέρεις να το αποδείξεις είτε οτι το απέδειξες μπακάλικα. Εκτός εάν γράψεις αναλυτικά τον λόγο.

 

[Cade]

Τι γράψεις f:R -> (0,5) τι f:R -> R , είναι σχεδόν το ίδιο πράγμα.
Θέλω να πω, ναι προφανώς ο πρώτος θα σου έδινε παραπάνω πληροφορία, αλλά και ο δεύτερος σωστότατος θα ήταν, απλά θα σου έλεγε πολύ λιγότερα. Θα ήταν σφάλμα όμως να πεις οτι εφόσον το σύνολο τιμών είναι το R θα υπάρχει κάποιο ρ E R τέτοιο ώστε f(ρ) = 521.

Σωστά, επειδή δίνεται το σύνολο αφίξεως όπου το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο αυτού, για αυτό δεν μπορώ να το πω.
Το σύνολο τιμών όμως εξασφαλίζει πως υπάρχει χο του οποίου η εικόνα δίνει κάποια τιμή που ανήκει σε αυτό

 

[Σωτηρία]

Σωστά, επειδή δίνεται το σύνολο αφίξεως όπου το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο αυτού, για αυτό δεν μπορώ να το πω.
Το σύνολο τιμών όμως εξασφαλίζει πως υπάρχει χο του οποίου η εικόνα δίνει κάποια τιμή που ανήκει σε αυτό

Ναι και εγω αυτο ξερω εξαλλου υπαρχουν ολοκληρες μεθοδολογιες (πχ πληθος ριζων fx= α) που βασιζονται στο οτι αν α ανηκει στο συν τιμων τοτε υπαρχει καποιο χο του πεδιου ορισμου ωστε f(χo)=α.

 

[Samael]

Σωστά, επειδή δίνεται το σύνολο αφίξεως όπου το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο αυτού, για αυτό δεν μπορώ να το πω.
Το σύνολο τιμών όμως εξασφαλίζει πως υπάρχει χο του οποίου η εικόνα δίνει κάποια τιμή που ανήκει σε αυτό

Δυστυχώς η απάντηση εδώ είναι πολύ σχετική.
Δεν είμαι σίγουρος ή τουλάχιστον δεν θυμάμαι ακριβώς πως τα έχει η Ελληνική βιβλιογραφία καθώς ο καθένας τα μεταφράζει όπως γουστάρει. Πάντως εαν θυμάμαι καλά, το σύνολο αφίξεως ή δεν αναφέρεται είτε θεωρείται σε πολλές περιπτώσεις ως το σύνολο τιμών. Αυτό που λες εσύ περιγράφεται καλύτερα ως η εικόνα.Σε επίπεδο καθομιλουμένης τώρα και τα τρία ίδια αντιμετωπίζονται(αλλά προφανώς δεν είναι ακριβώς) .

Όπως κατάλαβες το πράγμα είναι ιδιαίτερα μπερδεμένο απο γλωσσικής πλευράς κυρίως, όχι απο μαθηματικής. Το safest επομένως είναι να αποφύγεις τον ισχυρισμό, απλά και μόνο για να έχεις το κεφάλι σου ήσυχο.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Απριλίου 2022

Ναι και εγω αυτο ξερω εξαλλου υπαρχουν ολοκληρες μεθοδολογιες (πχ πληθος ριζων fx= α) που βασιζονται στο οτι αν α ανηκει στο συν τιμων τοτε υπαρχει καποιο χο του πεδιου ορισμου ωστε f(χo)=α.

Πρόσεξε που είναι το πρόβλημα όμως.
Λες εαν υπάρχει...τότε να το xo που θα με οδηγούσε αυτό...
Δεν απέδειξες οτι υπάρχει τέτοιο α στο σύνολο τιμών όμως...απέδειξες τι συνέπεια θα είχε υπό την προϋπόθεση οτι υπάρχει. Να το θέσω διαφορετικά, μπορούσα κάλλιστα να πάω και να σου πω, ξέρεις τι ; Για αυτό το x που βρήκες, απλά διαλέγω διαφορετική τιμή...

 

[Cade]

Δυστυχώς η απάντηση εδώ είναι πολύ σχετική.
Δεν είμαι σίγουρος ή τουλάχιστον δεν θυμάμαι ακριβώς πως τα έχει η Ελληνική βιβλιογραφία καθώς ο καθένας τα μεταφράζει όπως γουστάρει. Πάντως εαν θυμάμαι καλά, το σύνολο αφίξεως ή δεν αναφέρεται είτε θεωρείται σε πολλές περιπτώσεις ως το σύνολο τιμών. Αυτό που λες εσύ περιγράφεται καλύτερα ως η εικόνα.Σε επίπεδο καθομιλουμένης τώρα και τα τρία ίδια αντιμετωπίζονται(αλλά προφανώς δεν είναι ακριβώς) .

Όπως κατάλαβες το πράγμα είναι ιδιαίτερα μπερδεμένο απο γλωσσικής πλευράς κυρίως, όχι απο μαθηματικής. Το safest επομένως είναι να αποφύγεις τον ισχυρισμό, απλά και μόνο για να έχεις το κεφάλι σου ήσυχο.

Όμως εδώ βρίσκουμε εμείς οι ίδιοι το σύνολο τιμών της συνάρτησης(εικόνες της συνάρτησης) (όχι σύνολο αφίξεως), στο οποίο ανήκει το f(2) (το αποδείξαμε). Αν δεν εξασφαλίζεται η ύπαρξη του στο σύνολο τιμών από κάποιο ρ τότε πως ανήκει εκεί ;
Πάντως αποκλείεται το σύνολο αφιξεως να ταυτίζεται με το σύνολο τιμών της συνάρτησης, στο σχολικό βιβλίο τουλάχιστον, καθώς κάθε φορά που θα δινοταν το "f:R->R" δεν θα υπήρχε και λόγος να ζητηθεί το σύνολο τιμών

 

[Samael]

Όμως εδώ βρίσκουμε εμείς οι ίδιοι το σύνολο τιμών της συνάρτησης(εικόνες της συνάρτησης), (όχι σύνολο αφίξεως) στο οποίο ανήκει το f(2) (το αποδείξαμε). Αν δεν εξασφαλίζεται η ύπαρξη του στο σύνολο τιμών από κάποιο ρ τότε πως ανήκει εκεί ;

Εδώ προφανώς η περίπτωση είναι αρκετά απλή, και σε "προστατεύουν" από κακοτοπιές τόσο η συνέχεια όσο και η μονοτονία. Συζητάω σε περίπτωση που δεν είχες καμία γνώση περί αυτών σαν γενική ιδέα τι θα ήταν σωστό. Συνήθως σε ασκήσεις εαν ο άλλος είναι καλός άνθρωπος προφανώς δεν θα πάει να σου βάλει κάτι στρυφνό που να μην σου επιτρέπει να χρησιμοποιήσεις γνωστά θεωρήματα.

Είναι σαν αυτό το αστείο που λέμε στην φυσική καμιά φορά, περί υπόθεσης συνέχειας πρώτων και δεύτερων παραγώγων. Που σου λένε οι μαθηματικοί δεν μπορείς να είσαι σίγουρος περί αυτού. Και οι φυσικοί απαντάνε, άσε μας ρε μαθηματικέ, εαν δεν τα έχουμε αυτά, ποιο το νόημα να κάτσουμε να συζητάμε καν τις διάφορες μαθηματικές μεθόδους ;

 

[Cade]

Εδώ προφανώς η περίπτωση είναι αρκετά απλή, και σε "προστατεύουν" από κακοτοπιές τόσο η συνέχεια όσο και η μονοτονία. Συζητάω σε περίπτωση που δεν είχες καμία γνώση περί αυτών σαν γενική ιδέα τι θα ήταν σωστό. Συνήθως σε ασκήσεις εαν ο άλλος είναι καλός άνθρωπος προφανώς δεν θα πάει να σου βάλει κάτι στρυφνό που να μην σου επιτρέπει να χρησιμοποιήσεις γνωστά θεωρήματα.

Είναι σαν αυτό το αστείο που λέμε στην φυσική καμιά φορά, περί υπόθεσης συνέχειας πρώτων και δεύτερων παραγώγων. Που σου λένε οι μαθηματικοί δεν μπορείς να είσαι σίγουρος περί αυτού. Και οι φυσικοί απαντάνε, άσε μας ρε μαθηματικέ, εαν δεν τα έχουμε αυτά, ποιο το νόημα να κάτσουμε να συζητάμε καν τις διάφορες μαθηματικές μεθόδους ;

Αλήθεια δεν ξέρω που οφείλεται η διαφωνία μας, ίσως περί γλωσσικής άποψης πάνω στην έννοια του συνόλου αφίξεως και συνόλου τιμών .
--
Πράγματι, στο σχολικό βιβλίο δεν γίνεται ανάλυση του συνόλου αφίξεως, αν και θα 'πρεπε. Ωστόσο αφού το σύνολο τιμών περιλαμβάνει ως στοιχεία του τις τιμές της f για όλα τα x∈Α θεωρώ πως είναι αρκετά προφανές το παραπάνω συμπέρασμα μου

 

[Samael]

Αλήθεια δεν ξέρω που οφείλεται η διαφωνία μας, ίσως περί γλωσσικής άποψης πάνω στην έννοια του συνόλου αφίξεως και συνόλου τιμών .

Ναι ρε, μα στο είπα. Γλωσσικό είναι το θέμα πιο πολύ παρά μαθηματικό.
Anyways έχετε αρκετά να βγάλετε, μην καίτε παραπάνω το κεφάλι σας επί αυτού. Πιθανότατα ούτε και οι διορθωτές θα κάτσουν να σκάσουν ιδιαίτερα για το εαν εννοεί κάποιος σύνολο τιμών ή σύνολο αφίξεως ή εικόνα .

 

[Cade]

Ναι ρε, μα στο είπα. Γλωσσικό είναι το θέμα πιο πολύ παρά μαθηματικό.
Anyways έχετε αρκετά να βγάλετε, μην καίτε παραπάνω το κεφάλι σας επί αυτού. Πιθανότατα ούτε και οι διορθωτές θα κάτσουν να σκάσουν ιδιαίτερα για το εαν εννοεί κάποιος σύνολο τιμών ή σύνολο αφίξεως ή εικόνα .

Μην ανησυχείς δεν πειράζει, για τα μαθηματικά και μόνο χαλάλι