Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά

[stavrouli_to]

απλώς, να κοιτάξεις να κάνεις καλή εντύπωση και να δεις τι δεν έχεις καταλάβει.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dancom]

Παιδιά παραδίδω μαθήματα σε ένα κοριτσάκι β' γυμνασίου και θέλω να της δείξω πώς να βρίσκει το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ.
Θυμάται κανείς σας τον ΚΛΑΣΙΚΟ τρόπο που μας έδειχναν στο σχολείο;
Της έχω δείξει άλλους "έξυπνους" τρόπους αλλά ΠΡΈΠΕΙ οπωσδήποτε να της δείξω και τον κλασικό.
Θυμάμαι μονο οτι τραβούσαμε μια γραμμή δίπλα από κάτι αριθμούς ή κάτι τέτοιο αλλά δε θυμάμαι τίποτα άλλο...

ΣΑΣ ΠΑΡΑΚΑΛΏ ΒΟΉΘΕΙΑ!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Iliaso]

δν νομιζω οτι το εχεις βαλει στο καταλληλο μερος...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dancom]

Παιδία φοιτητής είμαι πού να το έβαζα στη β' γυμνασίου;
Νόμιζα πως εδώ θα ξέρατε καλύτερα να με βοηθήσετε...
Αν έχω κάνει λάθος περιμένω άλλη μια απάντηση και θα το βάλω στη δευτέρα γυμνασίου...
Sorry αν έχω κάνει λάθος...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[akantou!]

ηταν πχ 5 9 3 4 γραμμη.. βαζαμε το 2 οποτε εχουμε
5 9 3 2 ξανα το 2
5 9 3 1 το 3
5 3 1 1 το 3
5 1 1 1 το 5
1 1 1 1

οποτε βγαινει ο αριθμος 2χ2χ3χ3χ5 αλλα δεν θυμαμαι αν ειναι το μεγιστο ή το ελαχιστο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dancom]

Ευχαριστώ παιδιά λιιιιιιιιιιιιίγη ακόμη βοήθεια θέλω...
Αν ξέρει κάποιος κάτι ακόμη please!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kambana]

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:
Ε.Κ.Π.(10,20)

10 2 20 2
5 5 10 2
1 5 5
1
10=2χ5 20=2 ²χ5

Παίρνουμε όλους τους αριθμούς στη μεγαλύτερη δύναμη.

Δηλαδή:Ε.Κ.Π.(10,20)=2 ² χ5=20

2ος τρόπος

10:0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100...
20:0,20,40,60,80,100...

Κοινά πολλαπλάσια:0,20,40,60,80,100
Ε.Κ.Π. (10,20)=20

Αν κάνω λάθος σας παρακαλώ διορθώστε με!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[!Βάλια!]

Για το ελάχιστο κοινό πολ/σιο αν θέλεις πχ να βρεις το ΕΚΠ του 5 και του 10 γράφεις όλα τα πολλαπλάσιά τους μέχρι να βρεις ένα κοινό:
5: 5,10,15 κλπ
10: 10,20,30
άρα είναι το 10
Βασικά σε τέτοια τάξη δεν πρέπει να το κάνει αυτό. Πρέπει να τα βρίσκει με το μυαλό

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Kaim]

Λοιπόν ας τα πάρουμε από την αρχή.

ΕΚΠ δύο ή περισσοτέρων αριθμών ονομάζεται το μικρότερο από τα κοινά πολ/σια αυτών των αριθμών.

ΜΚΔ δύο ή περισσοτέρων αριθμών ονομάζεται ο μαγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες αυτών των αριθμών.

Τώρα, όσον αφορά την εύρεσή τους, υπάρχουν πολλοί τρόποι.
Ας αρχίσω με αυτόν που ψιλοθυμάσαι εσύ.

Αυτό που λες με τη ''γραμμη'', είναι μία διαδικασία που ονομάζεται ''Ανάλυση αριθμών σε γινόμενο πρώτων παραγόντων'' και ισχύει και για το ΕΚΠ και για το ΜΚΔ.

Πρώτος τώρα ονομάζεται ο αριθμός που διαιρείται μόνο με το 1 και με τον εαυτό του (π.χ 2,3,5,7,13 κλπ). Όλοι οι υπόλοιποι ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί.

Άρα για να βρούμε το ΕΚΠ ή το ΜΚΔ αριθμών, αρκεί να τους αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Ας πάρουμε για παράδειγμα τους αριθμούς 10, 30, 60. Τους αναλύουμε αρχικά σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

10--2.......30--2 .....60--2.......Και αφού τους αναλύσουμε, τους γράφουμε ως
05--5.......15--3 .....30--2.......γινόμενο πρώτων παραγόντων. Έτσι, έχουμε:
01............05--5.....15--3........10=5 . 2
................01.........05--5.......30=2 . 3 . 5
............................01............60=2^2 . 3 . 5

Τώρα, θα βρούμε το ΕΚΠ και ΜΚΔ αυτών των αριθμών. Κανόνας:
1) Το ΕΚΠ είναι οι κοινοί και οι μη κοινοί παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη.
2) Ο ΜΚΔ είναι μόνο οι κοινοί παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη.

Έτσι έχουμε, ΕΚΠ (10, 30, 60) = 5 . 2^2 . 3
ΜΚΔ (10, 30, 60) = 2 . 5

Αυτή λοιπόν είναι η διαδικασία εύρεσης του ΕΚΠ και του ΜΚΔ με Ανάλυση αριθμών σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Επίσης να μη ξεχάσω πως υπάρχουν και τα γνωστά Κριτήρια Διαιρετότητας που κάνουν τη διαδικασία ακόμη πιό απλή. Για πληροφορίες σχετικά : https://www.telepedia.net/?pname=category_info&ed4id=4178

Αν ακόμα έχεις απορίες, στείλε και θα χαρούμε όλοι μας να σε βοηθήσουμε!

ΥΓ - Μη σε μπερδεύουν οι τελείες και οι παύλες. Τις έβαλα για να ξεχωρίζουν οι αναλύσεις. Όπου έχω παύλες εσύ θα βάζεις τη ''γραμμή'' βέβαια
Γιώργος - Kaim :thanks:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chris_90]

Εγω ΠΟΤΕ δεν καταλαβα πως βρισκουμε το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ. Και επισης δεν καταλαβα ποτε τη χρησιμοτητα τους (ειδικα του δευτερου). Στο Λυκειο δεν τα χρειαστηκα ποτε.

Kaim, δεν καταλαβα Χριστο! :p (ισως φταιει που δεν εχω πιει ακομα καφε)

10 2 30 2 60 2 Και αφού τους αναλύσουμε, τους γράφουμε ως
05 5 15 3 30 2 γινόμενο πρώτων παραγόντων. Έτσι, έχουμε:
01 05 5 15 3 10=5 . 2
01 05 5 30=2 . 3 . 5
01 60=2^2 . 3 . 5

Ειδικα αυτη τη διαδικασια δεν την καταλαβα καθολου. Καλα οχι οτι θα μου χρειαστει καπου... :p

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Kaim]

Εγω ΠΟΤΕ δεν καταλαβα πως βρισκουμε το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ. Και επισης δεν καταλαβα ποτε τη χρησιμοτητα τους (ειδικα του δευτερου). Στο Λυκειο δεν τα χρειαστηκα ποτε.

Kaim, δεν καταλαβα Χριστο! :p (ισως φταιει που δεν εχω πιει ακομα καφε)

Ειδικα αυτη τη διαδικασια δεν την καταλαβα καθολου. Καλα οχι οτι θα μου χρειαστει καπου... :p

Αυτή τη διαδικασία που δεν κατάλαβες καθόλου ούτε εγώ θα την καταλάβαινα αν έβλεπα το ποστ μου! Είχα αφήσει κενά μεταξύ των αριθμών και συγχωνεύθηκαν!! Αλλά τώρα το έφτιαξα... Γιά δες και πες μου
Προσωπικά, τα θυμάμαι τόσο καλά επειδή η αδερφή μου πάει Α Γυμνασίου και τη βοηθάω!! Άρα, εφόσον τα ξέρουν τα πρωτάκια, πρέπει και το κοριτσάκι αυτό να τα μάθει!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[!Βάλια!]

βασικά ο ΜΚΔ δεν χρειάζεται πουθενά νομίζω
το ΕΚΠ όμως χρειάζεται στα κλάσματα...άμα έχεις πχ 1/5 + 8/10 πρέπει να βάλεις καπελάκια!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Kaim]

Και αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση αγαπητή Βάλια!!

Αν έχεις κλάσμα τύπου 1/ (χ-1) ???

Εδώ χρειάζεται ο κανόνας κοινοί και μη κοινοί με το μεγαλύτερο εκθέτη!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chris_90]

Εγω αυτο το 10--2 δεν καταλαβα. Το 2 διπλα τι εξυπηρετει ακριβως; Τελος παντων δεν νομιζω να τα καναμε αυτα εμεις στο Γυμνασιο (και να τα καναμε θα ημουν "αλλου" ), ουτε μαθηματικος θα γινω, ουτε στα Μαθηματικα της Γ' Λυκειου εχουμε τετοια, οποτε ασ' το...

Αν έχεις κλάσμα τύπου 1/ (χ-1) ???

Εδώ χρειάζεται ο κανόνας κοινοί και μη κοινοί με το μεγαλύτερο εκθέτη!!

Αυτο δεν το καταλαβα=> οχι μετα απο λιγη σκεψη καταλαβα για ποιο πραγμα μιλας! :p

Βαλια, εγω τα κλασματα δεν τα κανω με ΕΚΠ αλλα με εναν δικο μου εντελως μπακαλιστικο τροπο που δεν μπορω να τον εξηγησω. Ειναι αυτο που μου εχει πει ενας καθηγητης: "εσυ παιδι μου αδικεισαι, πρεπει να βγαλεις δικα σου μαθηματικα" :p

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Kaim]

Αναλύουμε το 10 σε γινόμενο πρώτων.

Παίρνουμε με τη σειρά λοιπόν τους πρώτους και λέμε.

Πρώτος ''πρώτος'' είναι το 2. 10/2 = 5
Μας ''μένει από κάτω το 5'. Το δύο χωράει ακριβώς στο 5? Όχι. Πάμε στον επόμενο. Το 3? Όχι. Το 5? Ναιιιιι !!!
Άρα βάζουμε το 5 και '' μας μένει 1''.

Άρα το 10 αναλύεται σε 2.5 που είναι πρώτοι και οι δύο. Άρα όντως έχουμε γινόμενο πρώτων.

ΥΓ - Εδώ βέβαια βοηθούν και τα κριτήρια διαιρετότητας. Θα βάζαμε κατευθείαν το 5 και δε θα ''ψάχναμε''

Και κάτι ακόμα. Όχι δεν έλειπες από την τάξη σου στο Γυμνάσιο γιατί πολύ απλά δεν τα έκανες!!! Ούτε εγώ τα έκανα. Τα είχα κάνει στο Δημοτικό!! Αλλά τώρα άλλαξαν τα βιβλία!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chris_90]

Εγω αυτα τα "χωραει-δε χωραει" ποτε μου δεν τα χωνεψα, ηταν η χειροτερη μου! :p Γι' αυτα εχω εναν δικο μου τροπο που δε στεκει με κανεναν μαθηματικο κανονα και δεν μπορω και να τον εξηγησω κιολας. Η ουσια ειναι οτι βγαινει σωστος και εμενα με βοηθαει περισσοτερο...



Υ.Σ. 1: 12 χρονια εχουν περασει απο το Δημοτικο (6 απο τοτε που το τελειωσα), το παραλογο θα ηταν να τα θυμομουν! :p

Υ.Σ. 2: Ξερεις, την ωρα των Μαθηματικων μπορει σωματικα να ημουν μεσα στην ταξη, πνευματικα ομως ταξιδευα για... αλλες πολιτειες! :p

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Kaim]

Πάντως, αν και βγαίνω off-topic, δε μπορώ να εξηγήσω αυτή σου τη στάση απέναντι στα μαθηματικά. Δε λέω, κι εγώ ας πούμε θεωρώ το χειρότερο μάθημα από τη θετική τη Φυσική αλλά δε τη μισώ κιόλας!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Paradise4all]

Ε.Κ.Π. : (2, 3, 4)
1ος τρόπος - [Βαρετός και κουραστικός θα έλεγα !]
Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια των αριθμών.
Π2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,...
Π3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...
Π4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...
Από αυτά τα πολλαπλάσια το μικρότερο κ ο ι ν ό είναι το 12 (Ε.Κ.Π.)
2ος τρόπος - "Μαγκιόρικος"
2 3 4 (δια 2)
1 3 2 (δια 2)
1 3 1 (δια 3)
1 1 1 (2 * 2 * 3 = 12, το Ε.Κ.Π. τους)

Τρόπος σκέψης : Βρίσκω το μικρότερο αριθμό που διαιρεί όσο γίνεται περισσότερους αριθμούς ακριβώς, (εδώ το 2). Αυτούς που δε διαιρεί ακριβώς τους αφήνουμε ως έχουν, (εδώ το 3). Και συνεχίζουμε κατεβαίνοντας μέχρι η τελευταία στήλη να είναι όλη 1. Πολλαπλασιάζω όλους τους αριθμούς που διαίρεσα - 2 * 2 * 3 - και το αποτέλεσμα - 12- είναι το Ε.Κ.Π.

Μ.Κ.Δ. (9, 15, 48)
1ος τρόπος - [Εξίσου βαρετός και κουραστικός θα έλεγα !]
Βρίκσκω διαιρέτες* των αρθμών (αριθμοί που τους διαιρούν ακριβώς)
Δ9 = 1, 3, 9, 18, 27, 36,...
Δ15 = 1, 3, 5, 15, 30, 45,...
Δ48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24,...
Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης βλέπω ότι είναι το 3 άρα και το Μ.Κ.Δ. τους.
ΠΡΟΣΟΧΗ ! Γράφουμε πάντα και το 1 γιατί μερικές φορές τυχγάνει να είναι αυτός ο Μ.Κ.Δ. !!!
2ος τρόπος - Ο γνωστός πλέον "Μαγκιόρικος"

9 15 48 (ο μικρότερος από κάτω)
9 6 3 (15:9=1 με υπόλοιπο 6, σαν μικρότερο μπαίνει από κάτω, 48 ομοίως)
3 6 0 (το 6 διαιρεί ακριβώς το 3 αφήνει υπόλοιπο στο 9 (9:6=1 με υπόποιπο 3)
3 0 0 ("μοναχό" το 3, άρα ο Μ.Κ.Δ. τους)

Τρόπος σκέψης : Αντιγράφω το μικρότερο αριθμό (εδώ 9) από κάτω και τον διαιρώ με τους υπόλοιπους (εδώ 15, 48) και γράφω το υ π ό λ ο ι π ο από κάτω τους [15 : 9 = 1 με υπόλοιπο (15 - (1*9) = 6 και ομοίως και με τους υπόλοιπους...]. Συνεχίζω με το ίδιο σκεπτικό μέχρι να μηδενιστούν όλοι εκτός ενός. Αυτός θα είναι και ο Μ.Κ.Δ. τους.
----------------------------
* Εδώ επέτρεψέ μου, για διευκόλυνση του μαθητή, να θυμίσω τα εξής :
Ποιοί αριθμοί διαιρούνται ακριβώς με το 2, 3, 4, 5, 9, 10 και 25 (τα ονομαζόμενα κριτήρια διαιρετότητας) :

Με το 2 : Οι αριθμοί όπου το τελευταίο τους ψηφίο είναι ζυγός αριθμός (0, 2, 4, 6, 8)
Με το 3 : Οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται με το 3 ακριβώς (π.χ. 16.434 -> 1 + 6 + 4 + 3 + 4 -> 18 -> 1 + 8 = 9). Δεν είναι αναγκαίο να είναι το μονοψήφιο άθροισμα απλά για διευκόλυνση.
Με το 4 : Οι αριθμοί των οποίων τα δύο τελευταία ψηφία τους διαιρούνται ακριβώς (είναι πολλαπλάσιο δηλ.) του 4. Π.χ. 23.584 -> 84 (84:4=21)
Με το 5 : Οι αριθμοί όπου το τελευταίο τους ψηφίο είναι 0 ή 5.
Με το 9 : Οι αριθμοί που το άθροισμα το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται με το 9 (παρομοίως με το 3). [Μην κάνουμε το λάθος και πούμε ότι όποιος αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 3 διαιρείται και με το 9 επειδή είναι πολλαπλάσιό του !]
Με το 10, 100, 1000, κ.τ.λ. : Οι αριθμοί όπου το τελευταίο τους ψηφίο έχει τουλάχιστον έ ν α μηδέν (για το 10), τουλάχιστον δ ύ ο μηδενικά για το 100, τουλάχιστον τ ρ ί α μηδενικά για το 1.000 κ.ο.κ.
Με το 25 : Οι αριθμοί όπου τα τελευταία τους ψηφία είναι 00 ή 25 ή 50 ή 75. Π.χ. 12.350, 456.700, 3.456.725 κ.τ.λ.

Καλή δύναμη...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[panos13]

Λολ ποιο περιπλοκο δεν γινεται

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dancom]

Παιδιά είστε υπέροχοι!!!
Σας ευχαριστώ όλους, δεν ξέρω τι θα έκανα χωρίς τη βοήθειά σας!!!
Αν αντιμετοπίσω άλλο πρόβλημα (που το απεύχομαι) τώρα ξέρω ποιούς να ρωτήσω!!!
Είστε άπαιχτοι, και πάλι σας ευχαριστώ!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.