1)Εστω οτι για τα διανύσματα α, β ισχυουν οτι ΙαΙ=1 και προβα β= -2α
Να βρειτε το γινομενο α*β
Να βρειτε το διανυσμα χ τετοιο ωστε χ//(α-β) και α καθετο στο (χ-2β)
Αν γωνια (α,β)=120 και ΑΒ=β να βρειτε το ΙΑΒΙ και το γεωμετρικο τόπο των σημειων Μ για τα οποια ισχυει ΜΑ*ΜΒ=1
i)
αβ=απροβ
αβ=α(-2
α)=-2
α²=-2|
α|²=-2
ii)
α κάθετο (
x-2
β) =>
α(χ-2β)=0 => αχ-2
(αβ)=0 =>
αχ=2
(αβ) =>
αx=-4
x//(
α-β) => υπάρχει λ ανήκει R τέτοιο ώστε
χ=λ
(α-β)
Άρα
α[λ
(α-β)]=-4
=> λ
[α(α-β)]=-4 => λ
(α²-αβ)=-4 => λ
(|α|²-αβ)=-α => 3λ=-4 => λ=-4/3
Επομένως
x=-(4/3)(
α-β)
iii)
αβ=|
α||
β|συν(
α,β) => |
β|=
αβ/[|
α|συν(
α,β)] => |
β|=4
Θεωρώ δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Αxy με αρχή το Α(0,0) τέτοιο ώστε ο άξονας x να έχει τη διεύθυνση του α και το α να έχει φορά προς τα θετικά του άξονα x. Η ευθεία που διέρχεται από τα Α και Β σχηματίζει γωνία φ=120° ως προς τον άξονα x. Το σημείο Β(χΒ, yB) έχει συντεταγμένες:
xB=|
AB|συνφ => χΒ=-2
yB=|
AB|ημφ => yB=2sqrt(3)
Αν Μ(x,y) τότε
MA=(-x,-y) και
MB=(-2-x, 2sqrt(3)-y), οπότε
MA MB=1 => x(x+2)+y(y+2sqrt(3))=1 => x²+y²+2x+(2sqrt(3))y-1=0
Η παραπάνω εξίσωση έχει τη μορφή x²+y²+Ax+By+Γ=0 όπου Α=2, Β=2sqrt(3) και Γ=-1.
Α²+Β²-4Γ=20>0 => Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρο Κ(-Α/2, -Β/2) => Κ (-1, -sqrt(3)) και ακτίνας ρ=(sqrt(Α²+Β²-4Γ))/2=sqrt(5)
Για να ξεφορτωθούμε το σύστημα συντεταγμένων Αxy το οποίο εισάγαμε αυθαίρετα, θα εκφράσουμε το
ΚΑ ως γραμμικό συνδυασμό των
α και
β. Έχουμε
ΚΑ=(1,sqrt(3)),
α=(1,0) αφού έχει τα θετικά του x και μέτρο 1 και
β=
ΑΒ=(-2,2sqrt(3)). Θεωρώ τους ακεραίους κ, μ ώστε
ΚΑ=κ
α+μ
β=(κ-2λ, 2sqrt(3)λ). Άρα κ-2λ=1 και 2sqrt(3)λ=sqrt(3). Συνεπώς λ=1/2 και κ=2.
Άρα
ΚΑ=2
α+(1/2)
β =>
ΑΚ=-2
α-(1/2)
β
Συνεπώς το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ τέτοιο ώστε
ΑΚ=-2
α-(1/2)
β και ακτίνας ρ=sqrt(5).
2)Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με Α(3,-1) Β (7,2) Γ(-5/7,-2) και ΑΜ διαμεσος.
Να βρειτε τη γωνια των διανυσματων ΑΒ,ΑΜ
να βρειτε το σημειο Ρ στον αξονα χ'χ ωστε το τριγωνο ΑΡΒ να ειναι ορθογωνιο στο Ρ
Να βρειτε την προβολη του ΑΜ στο ΑΒ
i) Το Μ(xM, yM) είναι μέσο της ΒΓ, οπότε
xM=(7-(5/7))/2=22/7 και yM=(2-2)/2=0. Άρα Μ(22/7,0)
ΑΒ=(4,3) |
ΑΒ|=5
ΑΜ=(1/7,1) |
ΑΜ|=(5/7)sqrt(2)
AB AM=(4/7)+3=25/7
συν(
AB,AM)=(
ΑΒ ΑΜ)/(|ΑΒ||ΑΜ|)=sqrt(2)/2=συν(π/4) => (
ΑΒ ΑΜ)=π/4 αφού 0<=(
ΑΒ ΑΜ)<π
ii) Ρ(α,0) αφού ανήκει στον άξονα x.
ΡΑ=(3-α,-1)
ΡΒ=(7-α,2)
ΡΑ ΡΒ=α²-10α+19
Τα διανύσματα
ΡΑ και
ΡΒ είναι κάθετα οπότε
ΡΑ ΡΒ=0 => α²-10α+19=0 => α1=5+sqrt(6), α2=5-sqrt(6)
Τα σημεία Ρ, Α, Β δεν πρέπει να είναι συνευθειακά, οπότε πρέπει τα διανύσματα
ΡΑ και
ΡΒ να μην είναι συγγραμμικά που σημαίνει det(
ΡΑ,ΡΒ) διάφορο του 0
det(
ΡΑ,ΡΒ)=13-3α διάφορο του 0 => α διάφορο του 13/3. Άρα και για τις 2 λύσεις α1, α2 τα σημεία Ρ, Α, Β δεν είναι συγγραμμικά, οπότε είναι και οι 2 δεκτές. Συνεπώς υπάρχουν 2 σημεία Ρ:
Ρ1(5+sqrt(6),0)
Ρ2(5-sqrt(6),0)
iii) Η προβολή του
ΑΜ sto
AB είναι παράλληλη στο
ΑΒ. Επομένως υπάρχει πραγματικός αριθμός λ τέτοιος ώστε
προβ
ΑΒ ΑΜ=λ
ΑΒ=(4λ,3λ)
(προβ
ΑΒ ΑΜ)
ΑΜ=
ΑΒ ΑΜ=25/7
(προβ
ΑΒ ΑΜ)
ΑΜ=4λ(1/7)+(3λ)1=(25/7)λ
Άρα 25/7=(25/7)λ => λ=1
Συνεπώς προβ
ΑΒ=
ΑΒ=(4,3)
