Απλή μαθηματική ερώτηση

[setsa]

Όταν για μια ποσότητα δεν ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες (κάποιες), σημαίνει ότι δεν ανήκει στο R;

 

[Cade]

Δηλαδή;

 

[Samael]

Όταν για μια ποσότητα δεν ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες (κάποιες), σημαίνει ότι δεν ανήκει στο R;

Ουσιαστικά ναι γιατί εαν ίσχυαν, τότε θα άνηκε στο R.
Βέβαια, αρκεί να μην ισχύει μόνο μια απο αυτές για να διαπιστώσεις πως δεν ανήκει στο R. Λόγου χάρη εαν δεν υπάρχει ο αντίστροφος ενός στοιχείου έστω α, το οποίο δεν είναι το ουδέτερο στοιχείο(0), τότε αυτό δεν μπορεί να είναι στοιχείο του R, καθώς εξορισμού όλα τα στοιχεία του R έχουν αυτή την ιδιότητα.

 

[setsa]

Σωστά. Όμως, κάποιες "ιδιότητες" (μάλλον εννοούν ταυτότητες οι ποιητές των σχολικών βιβλίων) δεν ισχύουν για όλους τους πραγματικούς. Δες αυτό:

Οι ποσότητες -2, 2 και τρίτη ρίζα του -8 ανήκουν όλες στο ℝ, αφού η συνάρτηση f(x) = ³√x είναι συνεχής έχοντας πεδίο ορισμού και εύρος όπως όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. (Ναι, ο ορισμός ότι δε βάζουμε αρνητικό υπόρριζο αν ο δείκτης του ριζικού είναι θετικός/φυσικός περιττός είναι συμβατικός - δεν υπάρχει απόδειξη ότι αυτό είναι υποχρεωτικό και απλά το επιλέγουν οι συγγραφείς για πρακτικούς λόγους, επειδή ακριβώς δεν ισχύουν οι γνωστές ταυτότητες των ριζικών ή δεν μπορεί πάντα να γραφεί ως δύναμη με ρητό εκθέτη)

 

[γιαννης_00]

Σωστά. Όμως, κάποιες "ιδιότητες" (μάλλον εννοούν ταυτότητες οι ποιητές των σχολικών βιβλίων) δεν ισχύουν για όλους τους πραγματικούς. Δες αυτό:

View attachment 148771

Οι ποσότητες -2, 2 και τρίτη ρίζα του -8 ανήκουν όλες στο ℝ, αφού η συνάρτηση f(x) = ³√x είναι συνεχής έχοντας πεδίο ορισμού και εύρος όπως όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. (Ναι, ο ορισμός ότι δε βάζουμε αρνητικό υπόρριζο αν ο δείκτης του ριζικού είναι θετικός/φυσικός περιττός είναι συμβατικός - δεν υπάρχει απόδειξη ότι αυτό είναι υποχρεωτικό και απλά το επιλέγουν οι συγγραφείς για πρακτικούς λόγους, επειδή ακριβώς δεν ισχύουν οι γνωστές ταυτότητες των ριζικών ή δεν μπορεί πάντα να γραφεί ως δύναμη με ρητό εκθέτη)

ε δεν γινεται αυτο... οταν καπελωνεται το -8 σε ριζα ειναι σαν να πηγαινει απο το πεδιο R στο πεδιο Ζ ( μιγαδικοι)... δεν κανει.

 

[st.krf]

Σωστά. Όμως, κάποιες "ιδιότητες" (μάλλον εννοούν ταυτότητες οι ποιητές των σχολικών βιβλίων) δεν ισχύουν για όλους τους πραγματικούς. Δες αυτό:

View attachment 148771

Οι ποσότητες -2, 2 και τρίτη ρίζα του -8 ανήκουν όλες στο ℝ, αφού η συνάρτηση f(x) = ³√x είναι συνεχής έχοντας πεδίο ορισμού και εύρος όπως όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. (Ναι, ο ορισμός ότι δε βάζουμε αρνητικό υπόρριζο αν ο δείκτης του ριζικού είναι θετικός/φυσικός περιττός είναι συμβατικός - δεν υπάρχει απόδειξη ότι αυτό είναι υποχρεωτικό και απλά το επιλέγουν οι συγγραφείς για πρακτικούς λόγους, επειδή ακριβώς δεν ισχύουν οι γνωστές ταυτότητες των ριζικών ή δεν μπορεί πάντα να γραφεί ως δύναμη με ρητό εκθέτη)

Μπερδεύομαι αρκετά από αυτα που γράφεις...μάλλον μπερδεύεσαι και εσύ;

 

[Samael]

Σωστά. Όμως, κάποιες "ιδιότητες" (μάλλον εννοούν ταυτότητες οι ποιητές των σχολικών βιβλίων) δεν ισχύουν για όλους τους πραγματικούς. Δες αυτό:

View attachment 148771

Οι ποσότητες -2, 2 και τρίτη ρίζα του -8 ανήκουν όλες στο ℝ, αφού η συνάρτηση f(x) = ³√x είναι συνεχής έχοντας πεδίο ορισμού και εύρος όπως όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. (Ναι, ο ορισμός ότι δε βάζουμε αρνητικό υπόρριζο αν ο δείκτης του ριζικού είναι θετικός/φυσικός περιττός είναι συμβατικός - δεν υπάρχει απόδειξη ότι αυτό είναι υποχρεωτικό και απλά το επιλέγουν οι συγγραφείς για πρακτικούς λόγους, επειδή ακριβώς δεν ισχύουν οι γνωστές ταυτότητες των ριζικών ή δεν μπορεί πάντα να γραφεί ως δύναμη με ρητό εκθέτη)

Καταλαβαίνω τον προβληματισμό σου.
Το ζήτημα προκύπτει απο την αναπαράσταση της κυβικής ρίζας, ως δύναμη σε ρητό εκθέτη με άρτιο παρανομαστή, όταν η βάση είναι αρνητική ! Δοκίμασε όμως να κάνεις με άλλη σειρά τις πράξεις(κάτι που στους πραγματικούς υποτίθεται πως επιτρέπεται). Άρα αν πας να βρεις πρώτα την έκτη ρίζα του -8 και μετά να πάρεις το τετράγωνο, θα έχεις θέμα. Υπάρχει ασυνέπεια δηλαδή και για αυτόν ακριβώς τον λόγο το (-8)^(2/6) δεν ορίζεται όταν δουλεύουμε στους πραγματικούς.

Οπότε η ισοδυναμία μεταξύ ρίζας με υπόριζο υψωμένο σε δύναμη και αριθμού υψωμένο σε δύναμη θέλει προσοχή. Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί αν αποφασίσουμε να δώσουμε νόημα σε τέτοιες μορφές. Αυτό όμως όπως ανέφερε ο @γιαννης_00 μας οδηγεί στην επέκταση των πραγματικών.

Κατά κάποιον τρόπο οι μαθηματικοί "επιλέγουν" κανόνες όταν χτίζουν μια άλγεβρα. Δεν το κάνουν τυχαία όμως αλλά πολύ προσεκτικά και σοφά ώστε αφενός να είναι συνεπής με τον εαυτό της και ιδανικά να είναι χρήσιμη. Αυτό απαντά και σε ένα ερώτημα σχετικά με το εάν τα μαθηματικά ανακαλύπτονται ή δημιουργούνται. Η απάντηση είναι λίγο και από τα δύο( κατά την γνώμη μου πάντα ).

 

[setsa]

Μπερδεύομαι αρκετά από αυτα που γράφεις...μάλλον μπερδεύεσαι και εσύ;

Υπάρχει και πιο απλός τρόπος να καταλάβουμε γιατί ³√-8 ∈ ℝ: Πόσο κάνει (-2)³;

 

[setsa]

Καταλαβαίνω τον προβληματισμό σου.
Το ζήτημα προκύπτει απο την αναπαράσταση της κυβικής ρίζας, ως δύναμη σε ρητό εκθέτη με άρτιο παρανομαστή, όταν η βάση είναι αρνητική ! Δοκίμασε όμως να κάνεις με άλλη σειρά τις πράξεις(κάτι που στους πραγματικούς υποτίθεται πως επιτρέπεται). Άρα αν πας να βρεις πρώτα την έκτη ρίζα του -8 και μετά να πάρεις το τετράγωνο, θα έχεις θέμα. Υπάρχει ασυνέπεια δηλαδή και για αυτόν ακριβώς τον λόγο το δεν ορίζεται όταν δουλεύουμε στους πραγματικούς.

Οπότε η ισοδυναμία μεταξύ ρίζας με υπόριζο υψωμένο σε δύναμη και αριθμού υψωμένο σε δύναμη θέλει προσοχή. Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί αν αποφασίσουμε να δώσουμε νόημα σε τέτοιες μορφές. Αυτό όμως όπως ανέφερε ο @γιαννης_00 μας οδηγεί στην επέκταση των πραγματικών.

Κατά κάποιον τρόπο οι μαθηματικοί "επιλέγουν" κανόνες όταν χτίζουν μια άλγεβρα. Δεν το κάνουν τυχαία όμως αλλά πολύ προσεκτικά και σοφά ώστε αφενός να είναι συνεπής με τον εαυτό της και ιδανικά να είναι χρήσιμη. Αυτό απαντά και σε ένα ερώτημα σχετικά με το εάν τα μαθηματικά ανακαλύπτονται ή δημιουργούνται. Η απάντηση είναι λίγο και από τα δύο( κατά την γνώμη μου πάντα ).

Ενδιαφέρουσα παρατήρηση, και είναι σημαντικό να χτίζουμε με προσοχή το μαθηματικό μας τοπίο ώστε να μην υπάρχουν αντιφάσεις με ήδη αποδεδειγμένες αρχές (όπως ότι η ³√-8 μπορεί να είναι πραγματικός αριθμός εφόσον το επιλέξουμε).
Η απόφαση ορισμού της ρίζας περιττού δείκτη μόνο για μη αρνητικά υπόρριζα είναι σίγουρα πρακτική και κοινώς αποδεκτή αφού απαντάται και σχεδόν σε όλα τα πανεπιστημιακά συγγράμματα.
Παρ' όλα αυτά, χρειάζεται να θυμόμαστε ότι είναι συμβατική καθώς το σύνολο ℝ είναι κλειστό για τέτοιες ρίζες και ο λόγος που επεκτείνουμε στους μιγαδικούς (C) δεν είναι η ρίζα αυτή καθ' αυτή, αλλά η λάθος χρήση των "ιδιοτήτων" τη στιγμή που στη συγκεκριμένη περίπτωση δεν ισχύουν. Με αυτόν τον τρόπο, -όπως πολύ σωστά εντόπισες- καταλήγουμε στο μιγαδικό (-8)^(2/6) διότι στους πραγματικούς απαγορεύεται δύναμη με ρητό εκθέτη να έχει αρνητική βάση και στον εκθέτη άρτιο παρονομαστή. Όμως, το ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτά που μάθαμε δε σημαίνει ότι η ³√-8 δεν ανήκει στο ℝ, και αυτή η διάκριση είναι απαραίτητη...
Αν ενδιαφέρεστε να μάθετε περισσότερα σχετικά με το θέμα, μπορείτε να ρίξετε μια ματιά στη δουλειά του κ. Κυριακόπουλου - τα λέει πολύ ωραία και ξεκάθαρα (:

 

[Samael]

Ενδιαφέρουσα παρατήρηση, και είναι σημαντικό να χτίζουμε με προσοχή το μαθηματικό μας τοπίο ώστε να μην υπάρχουν αντιφάσεις με ήδη αποδεδειγμένες αρχές (όπως ότι η ³√-8 μπορεί να είναι πραγματικός αριθμός εφόσον το επιλέξουμε).
Η απόφαση ορισμού της ρίζας περιττού δείκτη μόνο για μη αρνητικά υπόρριζα είναι σίγουρα πρακτική και κοινώς αποδεκτή αφού απαντάται και σχεδόν σε όλα τα πανεπιστημιακά συγγράμματα.
Παρ' όλα αυτά, χρειάζεται να θυμόμαστε ότι είναι συμβατική καθώς το σύνολο ℝ είναι κλειστό για τέτοιες ρίζες και ο λόγος που επεκτείνουμε στους μιγαδικούς (C) δεν είναι η ρίζα αυτή καθ' αυτή, αλλά η λάθος χρήση των "ιδιοτήτων" τη στιγμή που στη συγκεκριμένη περίπτωση δεν ισχύουν. Με αυτόν τον τρόπο, -όπως πολύ σωστά εντόπισες- καταλήγουμε στο μιγαδικό (-8)^(2/6) διότι στους πραγματικούς απαγορεύεται δύναμη με ρητό εκθέτη να έχει αρνητική βάση και στον εκθέτη άρτιο παρονομαστή. Όμως, το ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτά που μάθαμε δε σημαίνει ότι η ³√-8 δεν ανήκει στο ℝ, και αυτή η διάκριση είναι απαραίτητη...
Αν ενδιαφέρεστε να μάθετε περισσότερα σχετικά με το θέμα, μπορείτε να ρίξετε μια ματιά στη δουλειά του κ. Κυριακόπουλου - τα λέει πολύ ωραία και ξεκάθαρα (:

Τα λες πάρα πολύ σωστά.
Στους πραγματικούς, ορίζουμε την ρίζα με σύμβαση καθώς στην πραγματικότητα η ν-οστή ρίζα ενός αριθμού έχει ν απαντήσεις, κάποιες είναι πραγματικές, κάποιες μιγαδικές. Οπότε αν περιοριστούμε στους πραγματικούς, επιλέγουμε την πραγματική λύση, και εαν υπάρχουν δύο πραγματικές όπως στην τετραγωνική ρίζα, επιλέγουμε την θετική συγκεκριμένα. Βάσει αυτού του ορισμού, ισχύουν και οι γνωστές ιδιότητες των ριζικών.

Οπότε η "κυβική ρίζα" δεν ανήκει λιγότερο στο R απο ο,τι η "τετραγωνική ρίζα"(με σύμβαση δηλαδή).
Τα εισαγωγικά τα χρησιμοποιώ για να ξεχωρίσουμε την σύμβαση απο τον κανονικό ορισμό.

Εξάλλου παρόμοια προβλήματα θα μπορούσαν να προκύψουν ακόμα και με την τετραγωνική ρίζα :
1 = √1 =>
1 = √(-1)(-1) =>
1 = √-1 *√-1

Τα προβλήματα προκύπτουν επειδή η ρίζα έχει κανονικά πολλαπλούς κλάδους.
Η αλλαγή της σειράς των πράξεων με "ρίζες", μπορεί να μας οδηγήσει σε διαφορετικό κλάδο και να υπάρξουν παράδοξα.

Ας πούμε το σχολικό βιβλίο αντιμετωπίζει το παραπάνω πρόβλημα αναφέροντας πως η ιδιότητα :
√αβ = √α √β

Ισχύει μόνο όταν α και β είναι θετικά.
Είναι όλα θέμα ορισμών. Το ζητούμενο είναι να διατυπωθούν με τέτοιο τρόπο που να μην οδηγούν σε αντιφάσεις.

Υ.Γ. Είσαι όντως 16 ;

 

[setsa]

Υ.Γ. Είσαι όντως 16 ;

Αν υπολογίσεις την παρακάτω παράσταση σωστά (δουλεύοντας στο ℝ), θα βρεις την πραγματική μου ηλικία. Αν όμως εφαρμόσεις αφθαίρετα την ιδιότητα ή ταυτότητα (αναλόγως το πλαίσιο) χᵃᵇ = (χᵃ)ᵇ και προκύψει 1 αντί για -1 στον παρονομαστή, τότε το αποτέλεσμα είναι πιθανό να είναι η δική σου ηλικία.

Υ.Γ. Νταξ, πέρα απ' την πλάκα τρ, βάσει της ιδιότητάς σου, είναι ώριμο να ασχολείται κάποιος με συμβολισμούς αντί να μη χάνει χρόνο από πράγματα που όντως αξίζουν; - γιατί μοιάζει αρκετά παιδική συνήθεια. Τα μαθηματικά όπως κι εγώ είναι "εφετζίδικα", αλλά χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι και έξυπνα πραγματικά

 

[Samael]

Αν υπολογίσεις την παρακάτω παράσταση σωστά (δουλεύοντας στο ℝ), θα βρεις την πραγματική μου ηλικία. Αν όμως εφαρμόσεις αφθαίρετα την ιδιότητα ή ταυτότητα (αναλόγως το πλαίσιο) χᵃᵇ = (χᵃ)ᵇ και προκύψει 1 αντί για -1 στον παρονομαστή, τότε το αποτέλεσμα είναι πιθανό να είναι η δική σου ηλικία.
View attachment 148853
Υ.Γ. Νταξ, πέρα απ' την πλάκα τρ, βάσει της ιδιότητάς σου, είναι ώριμο να ασχολείται κάποιος με συμβολισμούς αντί να μη χάνει χρόνο από πράγματα που όντως αξίζουν; - γιατί μοιάζει αρκετά παιδική συνήθεια. Τα μαθηματικά όπως κι εγώ είναι "εφετζίδικα", αλλά χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι και έξυπνα πραγματικά

@γιαννης_00 δεν μας είχες πει ποτέ πως έχει δίδυμη αδελφή .

 

[γιαννης_00]

@γιαννης_00 δεν μας είχες πει ποτέ πως έχει δίδυμη αδελφή .

Ωωωω..λες ..?γαμωτο μου το κρύψανε ...θα το ψαξω..ε καλο ειναι.

Καμια φορα και τα αφαιρετα λαθη οδηγουν σε λυσεις.
Ενα τετοιο λαθος της pfizer την γεμισε φραγκα ( και οχι μονο αυτη) απο τα ''εμβολια''
Ενα τετοιο λαθος της pfizer εσωσε την ανδρικη αξιοπρεπεια.