Άσκηση στην στατιστική

[Monster Hunter]

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μου απαντήσει κάποιος σε ένα παλιό θέμα στατιστικής ή γενικότερα πως αντιμετωπίζεται αυτό :

Ποια είναι η πιθανότητα σε πέντε ρίψεις ενός ζαριού να εμφανιστεί τέσσερις φορές είτε "2" είτε "4";

Σας ευχαριστώ

 

[Samael]

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μου απαντήσει κάποιος σε ένα παλιό θέμα στατιστικής ή γενικότερα πως αντιμετωπίζεται αυτό :

Ποια είναι η πιθανότητα σε πέντε ρίψεις ενός ζαριού να εμφανιστεί τέσσερις φορές είτε "2" είτε "4";

Σας ευχαριστώ

Έστω Α1 το ενδεχόμενο να φέρεις 1, Α2 το ενδεχόμενο να φέρεις 2...κ.ο.κ .
Δεδομένου οτι υπάρχουν 6 ενδεχόμενα(μπορείς σε μια ρίψη να φέρεις 1,2,3...6 κτλπ.) και οτι το ζάρι είναι τίμιο(άρα όλα τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα μεταξύ τους), η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε απο αυτά είναι P(A1)=P(A2)...=P(A6) = 1/6.

Το ενδεχόμενο να φέρεις 2 ή 4 ερμηνεύεται ως το ενδεχόμενο Α1 U A4 . Οπότε η πιθανότητα σε μια ρίψη να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A1 U A4 είναι :

P(A2 U A4) = P(A2) + P(A4) - P(A2^A4) =>

Προφανώς αν ρίξεις 2 δεν γίνεται να φέρεις ταυτόχρονα και 4, οπότε P(A2 τομή A4) = 0.
Επομένως :

P(A2 U A4) = 1/6 + 1/6 - 0 =>
P(A2 U A4) = 1/3

Αυτά για την μια ρίψη. Τι γίνεται όμως στις 5 ρίψεις ; Λοιπόν μπορείς να το δεις ως εξής :
Πρόκειται για 5 διαφορετικά πειράματα ρίψης με επιτυχία εαν φέρεις 2 ή 4 και αποτυχία εαν φέρεις οτιδήποτε άλλο(1,3,5,6,7). Επιπλέον δεν υπάρχει κάποιος λόγος να θεωρήσεις οτι το τι αποτέλεσμα θα έχει η κάθε ρίψη σε καθένα απο τα πειράματα εξαρτάται στατιστικά απο το τι γίνεται στα υπόλοιπα πειράματα,επομένως δεχόμαστε και στατιστική ανεξαρτησία. Άρα πρόκειται για δοκιμές Bernoulli με

πιθανότητα επιτυχίας : p = P(A2 U A4) = 1/3 και πιθανότητα αποτυχίας : 1-p = 2/3.
Αριθμός δοκιμών/πειραμάτων/ρίψεων : 5
Αριθμός επιτυχιών : 4

Επομένως η πιθανότητα σε 5 ρίψεις να φέρεις 4 φορές 2 ή 4 θα είναι :
C(n,k)(p^k)*(1-p)^(n-k) =>
C(5,4)[(1/3)^4](2/3)

5!/4!(5-4)! = 5
(1/3)^4 = (1/3)^4 = 1/81

Άρα :
5(1/81)(2/3) = 0,041152 ή 4.11%

Εαν δεν κατάλαβες κάτι,πες μου. Ελπίζω να βοήθησα λιγάκι στο σκεπτικό.

 

[bovid19]

Εναλλακτική οπτική: Μετράμε όλους τους ζητούμενους συνδυασμούς. Ένας ζητούμενος συνδυασμός είναι ο
χ 2-4 2-4 2-4 2-4, ή ο 2-4 χ 2-4 2-4 2-4. Για να βρούμε πόσοι ζητούμενοι συνδυασμοί υπάρχουν πρέπει να λάβουμε υπόψη πόσες θέσεις μπορεί να έχει η ανεπιτυχής ρίψη (5), πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η ανεπιτυχής ρίψη (4) και πόσοι τρόποι υπάρχουν οι υπόλοιπες ρίψεις να είναι επιτυχείς (2*2*2*2 = 2^4). Επομένως, υπάρχουν 5*4*2^4 = 320 συνδυασμοί με 4 επιτυχίες.

Συνολικά, υπάρχουν 6*6*6*6*6 = 6^5 = 7776 πιθανά αποτελέσματα άρα η ζητούμενη πιθανότητα υπολογίζεται ως 320/7776 = 0.04115226337 ή ~4.11% όπως βγήκε και πάνω.