Άσκηση μαθηματικά Γ' Λυκείου

[eukleidhs1821]

Ναι λογικά έχεις δίκιο, εκεί είχα φάει σκάλωμα

και παρτο απο τον ορισμο της σταθερης συναρτησης.
σταθερη σημαινει για οποιοδηποτε χ1,χ2 φ(χ1)=φ(χ2)
η αρνηση του ορισμου αυτου ειναι υπαρχουν χ1,χ2 φ(χ1) διαφορο του φ(χ2).ενδιαμεσα δεν σου αποκλειουν να υπαρχουν σημεια που χουν ιδιες τιμες

 

[Samael]

Δειτε μια ασκηση που βρηκα!
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R με συνεχή παράγωγο f ′ . Αν η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή, αποδείξτε ότι υπάρχει διάστημα (a, b) στο οποίο η f είναι γνησίως μονότονη.
θεωρω εχει ενα περιττο δεδομενο αλλα μπορει να κανω και λαθος

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 5 Ιουλίου 2022

και μια παραλλαγη που χει ξαναπεσει.αυτο για αρχαριους.
Αν η συνάρτηση f : R → R είναι ένα προς ένα και παραγωγίσιμη, τότε f ′ (x) ̸= 0 για κάθε x ∈ R. Σωστο ή Λαθος

Κάτι που σκέφτηκα στα γρήγορα :

f'(x) = 0 για κάθε x E Δ => f σταθερή για κάθε x E Δ
Αν f παραγωγίσιμη σε κάθε x E Δ και δεν είναι σταθερή για κάθε x Ε Δ => f'(x) != 0 για τουλάχιστον ένα x E Δ

Υπάρχει λοιπόν ξ Ε R τέτοιο ώστε f'(ξ) != 0.
Τότε θα είναι f'(ξ) > 0 ή f'(ξ) < 0.
Αν f'(ξ) > 0 :

lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ

Δηλαδή :

lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ+

και

lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ-

Επομένως προσεγγίζοντας το ξ απο το +οο θα ισχύει : f(x) > f(ξ) κοντά στο ξ. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε σημείο β τέτοιο ώστε για κάθε x E [ξ,β) να ισχύει : f(x) > f(ξ).

Προσεγγίζοντας το ξ απο το -οο θα ισχύει : f(x) < f(ξ) κοντά στο ξ. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε σημείο α τέτοιο ώστε για κάθε x E (α,ξ] να ισχύει : f(x) < f(ξ).

Δηλαδή, επειδή μπορούμε να προσεγγίσουμε όσο θέλουμε το ξ, είναι δυνατό να επιλέξουμε τα σημεία α και β ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α,β). Πρακτικά σμικρένουμε το διάστημα (α,β) τόσο πολύ ώστε στο όριο να τείνει να ταυτιστεί με το σημείο ξ[τείνουμε στο (ξ-,ξ+)], χωρίς βέβαια αυτό να γίνεται ποτέ. Έτσι λοιπόν αποδεικνύουμε οτι πράγματι πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα.

Αν f'(ξ) < 0 προχωράμε με παρόμοιο τρόπο για να αποδείξουμε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f θα είναι γνησίως φθίνουσα. Σε κάθε περίπτωση λοιπόν υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f θα είναι γνησίως μονότονη.

 

[eukleidhs1821]

Κάτι που σκέφτηκα στα γρήγορα :

f'(x) = 0 για κάθε x E Δ => f σταθερή για κάθε x E Δ
Αν f παραγωγίσιμη σε κάθε x E Δ και δεν είναι σταθερή για κάθε x Ε Δ => f'(x) != 0 για τουλάχιστον ένα x E Δ

Υπάρχει λοιπόν ξ Ε R τέτοιο ώστε f'(ξ) != 0.
Τότε θα είναι f'(ξ) > 0 ή f'(ξ) < 0.
Αν f'(ξ) > 0 :

lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ

Δηλαδή :

lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ+

και

lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ-

Επομένως προσεγγίζοντας το ξ απο το +οο θα ισχύει : f(x) > f(ξ) κοντά στο ξ. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε σημείο β τέτοιο ώστε για κάθε x E [ξ,β) να ισχύει : f(x) > f(ξ).

Προσεγγίζοντας το ξ απο το -οο θα ισχύει : f(x) < f(ξ) κοντά στο ξ. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε σημείο α τέτοιο ώστε για κάθε x E (α,ξ] να ισχύει : f(x) < f(ξ).

Δηλαδή, επειδή μπορούμε να προσεγγίσουμε όσο θέλουμε το ξ, είναι δυνατό να επιλέξουμε τα σημεία α και β ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α,β). Πρακτικά σμικρένουμε το διάστημα (α,β) τόσο πολύ ώστε στο όριο να τείνει να ταυτιστεί με το σημείο ξ[τείνουμε στο (ξ-,ξ+)], χωρίς βέβαια αυτό να γίνεται ποτέ. Έτσι λοιπόν αποδεικνύουμε οτι πράγματι πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα.

Αν f'(ξ) < 0 προχωράμε με παρόμοιο τρόπο για να αποδείξουμε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f θα είναι γνησίως φθίνουσα. Σε κάθε περίπτωση λοιπόν υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f θα είναι γνησίως μονότονη.

ε αυτο που εγραψα και εγω πρακτικα λες απλα το εξηγεις φουλ αναλυτικα.επομενως,το f' συνεχης ηταν μπλοφα στην ασκηση

 

[Samael]

ε αυτο που εγραψα και εγω πρακτικα λες απλα το εξηγεις φουλ αναλυτικα.επομενως,το f' παραγωγισιμη ηταν μπλοφα στην ασκηση

Ναι δεν είχα δει τι είχες γράψει. Αλλά τώρα που έριξα μια ματιά ναι, νομίζω λέμε το ίδιο πράγμα.
Τώρα η συνέχεια της f' θέλει λίγη σκέψη λογικά κάποιο βήμα κάνει valid ή απλά τους ξέφυγε, διότι στο λύκειο δεν θυμάμαι να δίνουν παραπάνω δεδομένα ποτέ.

 

[eukleidhs1821]

Ναι δεν είχα δει τι είχες γράψει. Αλλά τώρα που έριξα μια ματιά ναι, νομίζω λέμε το ίδιο πράγμα.
Τώρα η συνέχεια της f' θέλει λίγη σκέψη λογικά κάποιο βήμα κάνει valid ή απλά τους ξέφυγε, διότι στο λύκειο δεν θυμάμαι να δίνουν παραπάνω δεδομένα ποτέ.

μα δεν το χρησιμοποιεις για να λυσεις την ασκηση.πιστευω το βαλανε για μπλοφα να πεις f'(x) διαφορο του μηδενος σε διαστημα και λογω συνεχειας απο συνεπεια bolzano να πεις οτι διατηρει προσημο ομως στο θεωρημα η αρνηση του ειναι τουλαχιστον ενα οχι διαστημα ολοκληρο.και παλι βεβαια λογω darboux δεν χρειαζεται η συνεχεια της f'.
νομιζω στο περσινο δ4 των πανελληνιων ειχαν βαλει ενα περιττο δεδομενο

 

[Samael]

μα δεν το χρησιμοποιεις για να λυσεις την ασκηση.πιστευω το βαλανε για μπλοφα να πεις f'(x) διαφορο του μηδενος σε διαστημα και λογω συνεχειας απο συνεπεια bolzano να πεις οτι διατηρει προσημο ομως στο θεωρημα η αρνηση του ειναι τουλαχιστον ενα οχι διαστημα ολοκληρο

Φαντάζομαι οτι παίζει να λύνεται και με άλλο τρόπο ενδεχομένως. Οπότε ο δικός μας τρόπος δεν το χρησιμοποιεί.
Διότι όπως είπα δεν έχω δει ποτέ μου στο λύκειο μπλόφες σε εκφωνήσεις να σου δίνουν περιττά δεδομένα. Στο πανεπιστήμιο ναι, το έχω δει,και όχι απλά μπλόφα αλλά εντελώς σκόπιμο misdirection για να σκαλώσει φουλ όποιος δεν είχε διαβάσει . Αλλά, απο όσο θυμάμαι και ξέρω αυτά στο λύκειο δεν τα κάνουν.

 

[eukleidhs1821]

Φαντάζομαι οτι παίζει να λύνεται και με άλλο τρόπο ενδεχομένως. Οπότε ο δικός μας τρόπος δεν το χρησιμοποιεί.
Διότι όπως είπα δεν έχω δει ποτέ μου στο λύκειο μπλόφες σε εκφωνήσεις να σου δίνουν περιττά δεδομένα. Στο πανεπιστήμιο ναι, το έχω δει,και όχι απλά μπλόφα αλλά εντελώς σκόπιμο misdirection για να σκαλώσει φουλ όποιος δεν είχε διαβάσει . Αλλά, απο όσο θυμάμαι και ξέρω αυτά στο λύκειο δεν τα κάνουν.

σε τεταρτο θεμα απειροστικου 1 στο μαθηματικο της αθηνας το βρηκα τυχαια χτες οποτε μαλλον ειναι μπλοφα....

 

[Samael]

σε τεταρτο θεμα απειροστικου 1 στο μαθηματικο της αθηνας το βρηκα τυχαια χτες οποτε μαλλον ειναι μπλοφα....

Okay makes sense τότε. Ναι υπάρχει πολύ σοβαρή πιθανότητα να πρόκειται για μπλόφα.