Δειτε μια ασκηση που βρηκα!
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R με συνεχή παράγωγο f ′ . Αν η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή, αποδείξτε ότι υπάρχει διάστημα (a, b) στο οποίο η f είναι γνησίως μονότονη.
θεωρω εχει ενα περιττο δεδομενο αλλα μπορει να κανω και λαθος
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 5 Ιουλίου 2022
και μια παραλλαγη που χει ξαναπεσει.αυτο για αρχαριους.
Αν η συνάρτηση f : R → R είναι ένα προς ένα και παραγωγίσιμη, τότε f ′ (x) ̸= 0 για κάθε x ∈ R. Σωστο ή Λαθος
Κάτι που σκέφτηκα στα γρήγορα :
f'(x) = 0 για κάθε x E Δ => f σταθερή για κάθε x E Δ
Αν f παραγωγίσιμη σε κάθε x E Δ και δεν είναι σταθερή για κάθε x Ε Δ => f'(x) != 0 για τουλάχιστον ένα x E Δ
Υπάρχει λοιπόν ξ Ε R τέτοιο ώστε f'(ξ) != 0.
Τότε θα είναι f'(ξ) > 0 ή f'(ξ) < 0.
Αν f'(ξ) > 0 :
lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ
Δηλαδή :
lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ+
και
lim [f(x)-f(ξ)]/(χ-ξ) > 0
x->ξ-
Επομένως προσεγγίζοντας το ξ απο το +οο θα ισχύει : f(x) > f(ξ) κοντά στο ξ. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε σημείο β τέτοιο ώστε για κάθε x E [ξ,β) να ισχύει : f(x) > f(ξ).
Προσεγγίζοντας το ξ απο το -οο θα ισχύει : f(x) < f(ξ) κοντά στο ξ. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε σημείο α τέτοιο ώστε για κάθε x E (α,ξ] να ισχύει : f(x) < f(ξ).
Δηλαδή, επειδή μπορούμε να προσεγγίσουμε όσο θέλουμε το ξ, είναι δυνατό να επιλέξουμε τα σημεία α και β ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α,β). Πρακτικά σμικρένουμε το διάστημα (α,β) τόσο πολύ ώστε στο όριο να τείνει να ταυτιστεί με το σημείο ξ[τείνουμε στο (ξ-,ξ+)], χωρίς βέβαια αυτό να γίνεται ποτέ. Έτσι λοιπόν αποδεικνύουμε οτι πράγματι πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα.
Αν f'(ξ) < 0 προχωράμε με παρόμοιο τρόπο για να αποδείξουμε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f θα είναι γνησίως φθίνουσα. Σε κάθε περίπτωση λοιπόν υπάρχει τουλάχιστον ένα διάστημα (α,β) στο οποίο η f θα είναι γνησίως μονότονη.
