Άσκηση Πιθανοτήτων, πρόβλημα γενεθλίων

[Naki_Marina]

Καλησπέρα για άλλη μια φορά! Αυτή είναι η τελευταία φορά που θα σας ενοχλήσω, το υπόσχομαι! Καταρχάς να σας παραθέσω την εκφώνηση της άσκησης:

"Σε μία εταιρεία εργάζονται 12 εργαζόμενοι. Κάθε ημερομηνία του έτους έχει την ίδια πιθανότητα να αντιστοιχεί στα γενέθλια κάθε ατόμου (η ημερομηνία γέννησης κάθε ατόμου είναι ομοιόμορφα «μοιρασμένη» στις 365 μέρες του χρόνου). Όταν έχει γενέθλια ένα άτομο, μας κερνάει ένα γλυκό.
1) Ποια η πιθανότητα στη διάρκεια ενός έτους να μην υπάρξουν δύο συνεχόμενες ημέρες κατά τις οποίες τρώμε γλυκά (να μην υπάρξει κανένα διήμερο στο οποίο θα φάμε δύο γλυκά, ή με άλλα λόγια πάντα μεταξύ δύο ημερών που τρώμε γλυκό να μεσολαβεί μία τουλάχιστον ημέρα χωρίς γλυκό). Προσεγγίστε το ερώτημα, θεωρώντας ως δοκιμή κάθε ζεύγος ατόμων, επιτυχία της δοκιμής το να έχουν τα δύο άτομα του ζεύγους γενέθλια που να απέχουν έως και μία ημέρα. Χρησιμοποιείστε τη Διωνυμική Τυχαία Μεταβλητή λόγω της ασθενούς εξάρτησης των δοκιμών (ανά δύο ανεξαρτησία).
2) Προσεγγίστε την πιθανότητα με χρήση της Τυχαίας Μεταβλητής Poisson. Είναι ικανοποιητική η προσέγγιση; Σχολιάστε το λόγο."

Λοιπόν, στη συγκεκριμένη άσκηση μου παρουσιάζονται τα εξής προβλήματα:
Στο πρώτο ερώτημα, πήρα σαν Χ, όπως λέει και η εκφώνηση, την επιτυχία της δοκιμής, όπου τα γενέθλια των δύο ατόμων απέχουν έστω και μία μέρα. Έπειτα, πήρα σαν n=6, δηλαδή τα συνολικά ζεύγη που έχει η εταιρεία, και έθεσα P(επιτυχίας)=0.5 και P(αποτυχίας)=0.5. Παρ' όλα αυτά, όταν χρησιμοποιώ τον τύπο της διωνυμικής πιθανότητας, το αποτέλεσμα δεν μου ταιριάζει πολύ. Έχω θέσει λάθος τις μεταβλητές; Ή δεν αρκεί μόνο ο υπολογισμός του βασικού τύπου;
Με το δεύτερο ερώτημα δεν ασχολήθηκα υπερβολικά για να πω την αλήθεια, αλλά έχω μπερδευτεί με την εύρεση του μέσου και φοβάμαι ότι αν δεν λύσω το πρώτο ερώτημα σωστά, τότε και το δεύτερο θα μου βγει λανθασμένο

Ναι, μπορεί το σκεπτικό μου να είναι αρκετά λάθος, απλά τώρα μαθαίνω για πρώτη φορά πιθανότητες οπότε οποιαδήποτε προσθήκη πάνω στην λύση της άσκησης, είναι ευπρόσδεκτη!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Samael]

Καλησπέρα για άλλη μια φορά! Αυτή είναι η τελευταία φορά που θα σας ενοχλήσω, το υπόσχομαι! Καταρχάς να σας παραθέσω την εκφώνηση της άσκησης:

"Σε μία εταιρεία εργάζονται 12 εργαζόμενοι. Κάθε ημερομηνία του έτους έχει την ίδια πιθανότητα να αντιστοιχεί στα γενέθλια κάθε ατόμου (η ημερομηνία γέννησης κάθε ατόμου είναι ομοιόμορφα «μοιρασμένη» στις 365 μέρες του χρόνου). Όταν έχει γενέθλια ένα άτομο, μας κερνάει ένα γλυκό.
1) Ποια η πιθανότητα στη διάρκεια ενός έτους να μην υπάρξουν δύο συνεχόμενες ημέρες κατά τις οποίες τρώμε γλυκά (να μην υπάρξει κανένα διήμερο στο οποίο θα φάμε δύο γλυκά, ή με άλλα λόγια πάντα μεταξύ δύο ημερών που τρώμε γλυκό να μεσολαβεί μία τουλάχιστον ημέρα χωρίς γλυκό). Προσεγγίστε το ερώτημα, θεωρώντας ως δοκιμή κάθε ζεύγος ατόμων, επιτυχία της δοκιμής το να έχουν τα δύο άτομα του ζεύγους γενέθλια που να απέχουν έως και μία ημέρα. Χρησιμοποιείστε τη Διωνυμική Τυχαία Μεταβλητή λόγω της ασθενούς εξάρτησης των δοκιμών (ανά δύο ανεξαρτησία).
2) Προσεγγίστε την πιθανότητα με χρήση της Τυχαίας Μεταβλητής Poisson. Είναι ικανοποιητική η προσέγγιση; Σχολιάστε το λόγο."

Λοιπόν, στη συγκεκριμένη άσκηση μου παρουσιάζονται τα εξής προβλήματα:
Στο πρώτο ερώτημα, πήρα σαν Χ, όπως λέει και η εκφώνηση, την επιτυχία της δοκιμής, όπου τα γενέθλια των δύο ατόμων απέχουν έστω και μία μέρα. Έπειτα, πήρα σαν n=6, δηλαδή τα συνολικά ζεύγη που έχει η εταιρεία, και έθεσα P(επιτυχίας)=0.5 και P(αποτυχίας)=0.5. Παρ' όλα αυτά, όταν χρησιμοποιώ τον τύπο της διωνυμικής πιθανότητας, το αποτέλεσμα δεν μου ταιριάζει πολύ. Έχω θέσει λάθος τις μεταβλητές; Ή δεν αρκεί μόνο ο υπολογισμός του βασικού τύπου;
Με το δεύτερο ερώτημα δεν ασχολήθηκα υπερβολικά για να πω την αλήθεια, αλλά έχω μπερδευτεί με την εύρεση του μέσου και φοβάμαι ότι αν δεν λύσω το πρώτο ερώτημα σωστά, τότε και το δεύτερο θα μου βγει λανθασμένο

Ναι, μπορεί το σκεπτικό μου να είναι αρκετά λάθος, απλά τώρα μαθαίνω για πρώτη φορά πιθανότητες οπότε οποιαδήποτε προσθήκη πάνω στην λύση της άσκησης, είναι ευπρόσδεκτη!

Είναι λάθος να θέσεις την πιθανότητα επιτυχίας στο 0.5 καθώς μεταξύ δυο ατόμων υπάρχουν ορισμένα ενδεχόμενα ως προς την σχέση των ημερομηνιών γέννησης τους,και η συνθήκη επιτυχίας είναι λίγο πιο περίπλοκη απο coin flip :

A) Τα άτομα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα(Που δεν σε νοιάζει και τόσο εαν συμβεί αυτό )
Β) Τα άτομα έχουν γενέθλια που απέχουν εως 1 ημέρα
Γ) Τα άτομα έχουν γενέθλια που απέχουν παραπάνω απο μια ημέρα

Επίσης το n δεν μπορεί να είναι 6 γιατί , τα συνολικά ζευγάρια των 2 που μπορείς να "φτιάξεις" απο 12 άτομα είναι 66 στο σύνολο. Οπότε γι'αυτό δεν έχεις λογικά αποτελέσματα .

Ξέρεις οτι η πιθανότητα ένας υπάλληλος να έχει γενέθλια κάποια μέρα του χρόνου είναι 1/365 . Η πιθανότητα κάποιου άλλου υπαλλήλου να έχει την επόμενη ή την προηγούμενη απο αυτή μέρα γενέθλια είναι 2/365(εννοείται οτι δεν μπόρεί να έχει γενέθλια 2 ημέρες τον χρόνο ) .

Προσπάθησε άλλη μια φορά να το λύσεις σκεπτόμενη ξανά αυτά τα σημεία .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Naki_Marina]

Είναι λάθος να θέσεις την πιθανότητα επιτυχίας στο 0.5 καθώς μεταξύ δυο ατόμων υπάρχουν ορισμένα ενδεχόμενα ως προς την σχέση των ημερομηνιών γέννησης τους,και η συνθήκη επιτυχίας είναι λίγο πιο περίπλοκη απο coin flip :

A) Τα άτομα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα(Που δεν σε νοιάζει και τόσο εαν συμβεί αυτό )
Β) Τα άτομα έχουν γενέθλια που απέχουν εως 1 ημέρα
Γ) Τα άτομα έχουν γενέθλια που απέχουν παραπάνω απο μια ημέρα

Επίσης το n δεν μπορεί να είναι 6 γιατί , τα συνολικά ζευγάρια των 2 που μπορείς να "φτιάξεις" απο 12 άτομα είναι 66 στο σύνολο. Οπότε γι'αυτό δεν έχεις λογικά αποτελέσματα .

Ξέρεις οτι η πιθανότητα ένας υπάλληλος να έχει γενέθλια κάποια μέρα του χρόνου είναι 1/365 . Η πιθανότητα κάποιου άλλου υπαλλήλου να έχει την επόμενη ή την προηγούμενη απο αυτή μέρα γενέθλια είναι 2/365(εννοείται οτι δεν μπόρεί να έχει γενέθλια 2 ημέρες τον χρόνο ) .

Προσπάθησε άλλη μια φορά να το λύσεις σκεπτόμενη ξανά αυτά τα σημεία .

Πωπω ναι, τώρα συνειδητοποίησα τη βλακεία που είχα κάνει με τα ζευγάρια, τώρα βγάζει πολύ περισσότερο νόημα! Ωραία, άλλαξα και τις πιθανότητες κατάλληλα, έθεσα το Χ=66 οπότε τώρα μου βγαίνει ένα αποτέλεσμα περίπου 69,5% που μου φαίνεται αρκετά λογικό! Στο δεύτερο ερώτημα, θα θέσω και το μ=66, σωστά?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Samael]

Πωπω ναι, τώρα συνειδητοποίησα τη βλακεία που είχα κάνει με τα ζευγάρια, τώρα βγάζει πολύ περισσότερο νόημα! Ωραία, άλλαξα και τις πιθανότητες κατάλληλα, έθεσα το Χ=66 οπότε τώρα μου βγαίνει ένα αποτέλεσμα περίπου 69,5% που μου φαίνεται αρκετά λογικό! Στο δεύτερο ερώτημα, θα θέσω και το μ=66, σωστά?

Το 69.5% φαίνεται λογικό πράγματι .
To μ σου στην poisson είναι το γινόμενο np = λ , στο οποίο θα πρέπει να διορθώσεις το n , και το p με αυτά που βρήκες και συνεχίζεις τους υπολογισμούς κανονικά...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Naki_Marina]

Το 69.5% φαίνεται λογικό πράγματι .
To μ σου στην poisson είναι το γινόμενο np = λ , στο οποίο θα πρέπει να διορθώσεις το n , και το p με αυτά που βρήκες και συνεχίζεις τους υπολογισμούς κανονικά...

Ωραία κατάλαβα! Ευχαριστώ παααρα πολύ, τα έχεις εξηγήσει όλα με πολύ καλό τρόπο και νιώθω επιτέλους ότι βγάζω κάποια άκρη!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Samael]

Ωραία κατάλαβα! Ευχαριστώ παααρα πολύ, τα έχεις εξηγήσει όλα με πολύ καλό τρόπο και νιώθω επιτέλους ότι βγάζω κάποια άκρη!

Χαίρομαι, εφόσον τα καταλαβαίνεις .
Δεν είναι δύσκολα αλλά απαιτούν μεγάλη προσοχή στις εκφωνήσεις & βέβαια την ανάλογη εξοικείωση ώστε να αποκτήσει κανείς την απαιτούμενη αυτοπεποίθηση για να δουλεύει τέτοια προβλήματα . Συνέχισε να βελτιώνεσαι,το έχεις .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.