Άσκηση Πιθανοτήτων με ομοιόμορφη κατανομή

Naki_Marina

Νεοφερμένος

Η Naki_Marina αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 22 μηνύματα.
Καλησπέρα! Θα ήθελα να ακούσω τη γνώμη σας πάνω σε μία άσκηση η οποία με έχει ταλαιπωρήσει αρκετά, αφού δεν βρίσκω και παρόμοια παραδείγματα ούτε στις διαφάνειες της σχολής μου, ούτε στο διαδίκτυο. Η άσκηση πάει ως εξής:

"Αν έχει κίνηση, ο χρόνος οδήγησης μέχρι την εργασία του Κώστα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένος στο [25, 50], ενώ όταν δεν έχει κίνηση, ο χρόνος οδήγησης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένος στο [20, 30].
Η πιθανότητα κίνησης στην πόλη του Κώστα είναι 55%.
1) Προσδιορίστε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου οδήγησης μίας τυχαίας μέρας
2) Ποια η πιθανότητα ο μέσος χρόνος οδήγησης προς την εταιρεία μας μετά από 50 μέρες να είναι μεγαλύτερος από 31 λεπτά;"


Λοιπόν, όσον αφορά το πρώτο ερώτημα, είμαι πολύ μπερδεμένη γιατί τα δύο σύμβολα έχουν κοινές τιμές. Στην αρχή, σκέφτηκα η συνάρτηση f(x) να έχει 4 περιπτώσεις (c1 για 30<χ<50, c2 για 20<χ<25, c3 για 25<χ< 30 και 0 για οποιαδήποτε άλλη τιμή) αλλά έχω σπάσει το κεφάλι μου για το c3... Πρέπει να το ενσωματώσω σε μία από τις άλλες, ή έχει εντελώς διαφορετική τιμή;
Και για το δεύτερο ερώτημα, βρήκα κάπου ότι πρέπει να το λύσω χρησιμοποιώντας μέσο, διακύμανση και κανονική κατανομή, αλλά δεν ξέρω πως ακριβώς πρέπει να εκφράσω το πέρας των 50 ημερών.

Γενικά αυτές είναι οι σκέψεις μου, θα ήθελα όμως να ακούσω πως θα το λύνατε και εσείς, και να μου τονίσετε αν έχω καταλάβει κάτι λάθος και για αυτό δεν βρίσκω κατάλληλες λύσεις:)
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Καινούργιο (Ηράκλειο). Έχει γράψει 2,552 μηνύματα.
καταρχην ειναι οτι να ναι η εκφωνηση.τα κλειστα διαστηματα τι εκφραζουν?
 

Naki_Marina

Νεοφερμένος

Η Naki_Marina αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 22 μηνύματα.
καταρχην ειναι οτι να ναι η εκφωνηση.τα κλειστα διαστηματα τι εκφραζουν?
Εντάξει, χαίρομαι που δεν είναι περίεργη η άσκηση μόνο σε μένα! Από τι έχω καταλάβει, είναι τα λεπτά που κάνει ο Κώστας για να φτάσει στη δουλειά του
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Καινούργιο (Ηράκλειο). Έχει γράψει 2,552 μηνύματα.
λοιπον κατι ψιλοκαταλαβα.Ουσιαστικα εχεις 2 περιπτωσεις.Αν εχει κινηση ο δρομος η πιθανοτητα ειναι 55% και ο χρονος καταναμεται ομοιομορφα στο [25,50] δηλαδη η πιθανοτητα ειναι (1/50-25)*0.55.Αν δεν εχει κινηση ο δρομος η πιθανοτητα προφανως ειναι 45% οποτε η πιθανοτητα να καταναμεται ομοιομορφα στο [20,30] ειναι (1/30-20)*0.45.Αρα η πυκνοτητα πιθανοτητας προκυπτει απο το αθροισμα αυτων των 2 πιθανοτητων.με επιφυλαξη φυσικα
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

απλα πεταει ενα χρονος οδηγησης ετσι ξερα.γραψε τι ειναι αυτα??min,ωρες,μερες!!τεσπα λεπτομερειες αυτα αλλα ποσο της πλακας παιδεια εχουμε φαινεται και απο τις εκφωνησεις
 

Naki_Marina

Νεοφερμένος

Η Naki_Marina αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 22 μηνύματα.
λοιπον κατι ψιλοκαταλαβα.Ουσιαστικα εχεις 2 περιπτωσεις.Αν εχει κινηση ο δρομος η πιθανοτητα ειναι 55% και ο χρονος καταναμεται ομοιομορφα στο [25,50] δηλαδη η πιθανοτητα ειναι (1/50-25)*0.55.Αν δεν εχει κινηση ο δρομος η πιθανοτητα προφανως ειναι 45% οποτε η πιθανοτητα να καταναμεται ομοιομορφα στο [20,30] ειναι (1/30-20)*0.45.Αρα η πυκνοτητα πιθανοτητας προκυπτει απο το αθροισμα αυτων των 2 πιθανοτητων.με επιφυλαξη φυσικα
Με αυτό τον τρόπο, το κοινό διάστημα, το [25,30], δεν το υπολογίζω δύο φορές? Φυσικά και εγώ δεν είμαι σίγουρη απλά μαρέσει το brainstorming! :)
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Καινούργιο (Ηράκλειο). Έχει γράψει 2,552 μηνύματα.
Με αυτό τον τρόπο, το κοινό διάστημα, το [25,30], δεν το υπολογίζω δύο φορές? Φυσικά και εγώ δεν είμαι σίγουρη απλά μαρέσει το brainstorming! :)
τι ειναι το brainstroming?οχι δεν ειναι αλληλοεπικαλυπτομενα αυτα τα διαστηματα γτ μιλας σε διαφορετικες περιπτωσεις.στη μια περιπτωση που δεν εχει μποτιλιαρισμα ο χρονος ειναι ταδε αν δεν εχει μποτιλιαρισμα ο χρονος ειναι ταδε.Διαφορετικα εντελως συνολα,για αυτο κανεις τον απλο προσθετικο νομο πιθανοτητων.!
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

το δευτερο ερωτημα εφοσον βρηκες για κανονικη κατανομη εχει φουστιτσα οτι πρεπει να εφαρμοσεις κεντρικο οριακο θεωρμα διοτι σου λεει μετα απο 51 ημερες αρα να τεινει στο απειρο!!
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

Θυμισε μου λιγο τυπο μεσης τιμης ομοιομορφης και διασπορας ομοιομορφης!Ή βρες το στο google.Σκυλοβαριεμαι να κατσω να κανω το ολοκληρωμα για εναν ετοιμο τυπο θεωριας
 
Τελευταία επεξεργασία:

Naki_Marina

Νεοφερμένος

Η Naki_Marina αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 22 μηνύματα.
τι ειναι το brainstroming?οχι δεν ειναι αλληλοεπικαλυπτομενα αυτα τα διαστηματα γτ μιλας σε διαφορετικες περιπτωσεις.στη μια περιπτωση που δεν εχει μποτιλιαρισμα ο χρονος ειναι ταδε αν δεν εχει μποτιλιαρισμα ο χρονος ειναι ταδε.Διαφορετικα εντελως συνολα,για αυτο κανεις τον απλο προσθετικο νομο πιθανοτητων.!
Ααα τίποτα, είναι η ανταλλαγή ιδεών! Χμμ κατάλαβα... Δηλαδή θεωρείς ότι η συνάρτηση δεν πρέπει να είναι διακλάδωση, αλλά ένας αριθμός? Πίστευα ότι θα έμοιαζε πιο πολύ με ένα παράδειγμα που είχαμε κάνει, το οποίο έχει να κάνει με την πιθανότητα βροχής και έπρεπε να την λύσουμε έτσι την συνάρτηση:
ποσοτικες.png

Απλά εδώ πέρα δεν συμπίπτουν τα σύνολα!
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Καινούργιο (Ηράκλειο). Έχει γράψει 2,552 μηνύματα.
Ααα τίποτα, είναι η ανταλλαγή ιδεών! Χμμ κατάλαβα... Δηλαδή θεωρείς ότι η συνάρτηση δεν πρέπει να είναι διακλάδωση, αλλά ένας αριθμός? Πίστευα ότι θα έμοιαζε πιο πολύ με ένα παράδειγμα που είχαμε κάνει, το οποίο έχει να κάνει με την πιθανότητα βροχής και έπρεπε να την λύσουμε έτσι την συνάρτηση:
View attachment 69817
Απλά εδώ πέρα δεν συμπίπτουν τα σύνολα!
εδω ομως ειναι στο ιδιο συνολο δεδομενων!!στο παραδειγμα το διαχωριζει.Επισης τα c1,c2 στο παραδειγμα ειναι 1/5=0.2.Γτ τα γραφει ετσι?
 

Naki_Marina

Νεοφερμένος

Η Naki_Marina αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 22 μηνύματα.
εδω ομως ειναι στο ιδιο συνολο δεδομενων!!στο παραδειγμα το διαχωριζει.Επισης τα c1,c2 στο παραδειγμα ειναι 1/5=0.2.Γτ τα γραφει ετσι?
Όσα γνωρίζεις εσύ, τόσα γνωρίζω και εγώ! Αααα κατάλαβα κατάλαβα τι εννοείς! Απλά για κάποιο λόγο ήμουν πεπεισμένη ότι πρέπει να το λύσω με τον ίδιο τρόπο!
Οοοο ναι το είχα ξεχάσει εντελώς το ΚΟΘ! Η μέση τιμή της ομοιόμορφης είναι E[x]=(β+α)/2 και η διακύμανση Var(x)=(β-α)^2/12
 

Samael

Τιμώμενο Μέλος

Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 5,582 μηνύματα.
Για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας :

f(x) =
9/200 , 20 < x < 25
67/1000 , 25 < x < 30
11/500 , 30 < x < 50

Το ΚΟΘ μπορεί να σου φανεί χρήσιμο στην β . Έστω Xi ο χρόνος του ταξιδιού την i μέρα , με το
i να τρέχει απο 1 εως 50 . Άρα ζητάς το P( E(xi) > 31 ) => P( Σxi/50 > 31) => P( S > 1550 )
Όπου S = Σxi ~ N(nμ, nσ²) , όπου μ & σ τα υπολογίζεις απο την f παραπάνω κτλπ. κτλπ.

Edit : Μετά την παράθεση του Μάρκου , κοίταξα πάλι την άσκηση ,και διαπίστωσα οτι είχα βάλει ανάποδα το 0.55 & 0.45 στην κορυφή :P . Ουσιαστικά η κεντρική ιδέα δεν αλλάζει κάνω τι ίδιο πράγμα και εγώ,απλά στις πιθανότητες με βοηθάει περισσότερο το σχήμα .

Τα 1/10 & 1/25 έχουν προκύψει απο τις δυο κατανομές που μας δίνονται απο την υπόθεση, ενώ οι τελικές τιμές της f βρίσκονται με πολλαπλασιασμούς των πιθανοτήτων των αντίστοιχων κλάδων και διαίρεση του τελικού αποτελέσματος δια το διάστημα της εκάστοτε κατανομής . Στην περίπτωση που 25 < x < 30 πρέπει να ληφθεί ως τελικό αποτέλεσμα το άθροισμα των τιμών που προέκυψαν απο διαδοχικό πολλαπλασιασμών των τιμών απο τον κάθε κλάδο .

1591305929585.png
 
Τελευταία επεξεργασία:

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 25 ετών, Μεταπτυχιακός φοιτητής στο τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ (Αθήνα) και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,870 μηνύματα.
Σκέψου ότι παίζεις το εξής παιχνίδι:
  • Πρώτα στρίβεις ένα «άτιμο» νόμισμα που με πιθανότητα 0.55 φέρνει κορώνα (κίνηση) και με πιθανότητα 0,45 γράμματα (όχι κίνηση).
  • Μετά, αν έφερες κορώνα ζημιώνεσαι με ένα ποσό Χ τυχαία (δηλ. ομοιόμορφα) επιλεγμένο από το διάστημα [25,50]. Αν όμως έφερες γράμματα, ζημιώνεσαι με ένα ποσό Χ τυχαία επιλεγμένο από το διάστημα [20,30].
Το ίδιο με άλλα λόγια - εμένα μου αρέσουν τα παιχνίδια περισσότερο, οπότε τα περισσότερα προβλήματα τα έγραφα έτσι. :Ρ

Λοιπόν, για τη σ.π.π. το πιο εύκολο που έχεις να κάνεις είναι να βρεις τη συνάρτηση κατανομής πρώτα που έχει και μία απλή διαισθητική ερμηνεία - εκφράζει αθροιστική πιθανότητα. Θα συμβολίζουμε με Χ την τυχαία μεταβλητή που μετράει τη ζημιά μας γενικά (αγνοούμε το πρόσημο αφού είναι πάντα -) ενώ με Υ θα συμβολίζουμε την τυχαία μεταβλητή που μετράει τη ζημιά στην περίπτωση κορώνας και Ζ τη ζημιά μας στην περίπτωση γραμμάτων. Τότε, από το θεώρημα ολικής πιθανότητας έχουμε:



Τώρα, εδώ μπορείς να παραγωγίσεις και να βρεις τη συνάρτηση πυκνότητας. Πρόσεξε μόνο ότι εν γένει δεν παραγωγίζεται η συνάρτηση κατανομής στα tricky σημεία, δηλαδή στο 20, στο 25, στο 30 και στο 50 - εκ των υστέρων μπορεί να βγει παραγωγίσιμη σε κάποια από αυτά αλλά a priori δεν το ξέρουμε.

Οπότε έχουμε:



αφού η παράγωγος της κατανομής είναι η πυκνότητα (εκεί που υπάρχει). Τώρα, αν λάβεις υπ' όψιν και ότι



για χ στο [25,50] και μηδέν εκτός αυτού και ότι



για x στο [20,30] παίρνεις:



Τώρα, στα άκρα των διαστημάτων όρισέ την όπως θέλεις - δεν έχει σημασία, άλλωστε.

Τώρα, από όλα τα παραπάνω, σημασία έχει η διαίσθηση που κουβαλάει η σχέση:



Τι σου λέει πρακτικά (δηλ. μπακάλικα και με μία μικρή αβλεψία) αυτό; Ότι η σχετική πιθανότητα (η σ.π.π. δε μετράει πιθανότητα αλλά σχετική πιθανότητα) να ζημιωθείς με ένα ποσό χ (κίνηση) είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων να ζημιωθείς με τον τρόπο που ζημιώνεσαι στη μία περίπτωση (Υ), επί την πιθανότητα να εμπίπτεις σε αυτήν την περίπτωση (0.55) συν την πιθανότητα να ζημιωθείς όπως στην άλλη περίπτωση (Ζ) επί την πιθανότητα να εμπίπτεις σε αυτήν την περίπτωση (0.45).

Με άλλα λόγια, είναι σαν να παίρνεις μία «μορφή» του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας για τις σ.π.π. - παρόλο που δεν εκφράζουν πιθανότητες οι σ.π.π..

Τώρα, η μέση τιμή βγαίνει εύκολα αφού ξέρεις τη σ.π.π..
 

eukleidhs1821

Διάσημο μέλος

Ο eukleidhs1821 αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Πτυχιούχος του τμήματος Ιατρικής Ιωαννίνων (Ιωάννινα) και μας γράφει απο Καινούργιο (Ηράκλειο). Έχει γράψει 2,552 μηνύματα.
Σκέψου ότι παίζεις το εξής παιχνίδι:
  • Πρώτα στρίβεις ένα «άτιμο» νόμισμα που με πιθανότητα 0.55 φέρνει κορώνα (κίνηση) και με πιθανότητα 0,45 γράμματα (όχι κίνηση).
  • Μετά, αν έφερες κορώνα ζημιώνεσαι με ένα ποσό Χ τυχαία (δηλ. ομοιόμορφα) επιλεγμένο από το διάστημα [25,50]. Αν όμως έφερες γράμματα, ζημιώνεσαι με ένα ποσό Χ τυχαία επιλεγμένο από το διάστημα [20,30].
Το ίδιο με άλλα λόγια - εμένα μου αρέσουν τα παιχνίδια περισσότερο, οπότε τα περισσότερα προβλήματα τα έγραφα έτσι. :Ρ

Λοιπόν, για τη σ.π.π. το πιο εύκολο που έχεις να κάνεις είναι να βρεις τη συνάρτηση κατανομής πρώτα που έχει και μία απλή διαισθητική ερμηνεία - εκφράζει αθροιστική πιθανότητα. Θα συμβολίζουμε με Χ την τυχαία μεταβλητή που μετράει τη ζημιά μας γενικά (αγνοούμε το πρόσημο αφού είναι πάντα -) ενώ με Υ θα συμβολίζουμε την τυχαία μεταβλητή που μετράει τη ζημιά στην περίπτωση κορώνας και Ζ τη ζημιά μας στην περίπτωση γραμμάτων. Τότε, από το θεώρημα ολικής πιθανότητας έχουμε:



Τώρα, εδώ μπορείς να παραγωγίσεις και να βρεις τη συνάρτηση πυκνότητας. Πρόσεξε μόνο ότι εν γένει δεν παραγωγίζεται η συνάρτηση κατανομής στα tricky σημεία, δηλαδή στο 20, στο 25, στο 30 και στο 50 - εκ των υστέρων μπορεί να βγει παραγωγίσιμη σε κάποια από αυτά αλλά a priori δεν το ξέρουμε.

Οπότε έχουμε:



αφού η παράγωγος της κατανομής είναι η πυκνότητα (εκεί που υπάρχει). Τώρα, αν λάβεις υπ' όψιν και ότι



για χ στο [25,50] και μηδέν εκτός αυτού και ότι



για x στο [20,30] παίρνεις:



Τώρα, στα άκρα των διαστημάτων όρισέ την όπως θέλεις - δεν έχει σημασία, άλλωστε.

Τώρα, από όλα τα παραπάνω, σημασία έχει η διαίσθηση που κουβαλάει η σχέση:



Τι σου λέει πρακτικά (δηλ. μπακάλικα και με μία μικρή αβλεψία) αυτό; Ότι η σχετική πιθανότητα (η σ.π.π. δε μετράει πιθανότητα αλλά σχετική πιθανότητα) να ζημιωθείς με ένα ποσό χ (κίνηση) είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων να ζημιωθείς με τον τρόπο που ζημιώνεσαι στη μία περίπτωση (Υ), επί την πιθανότητα να εμπίπτεις σε αυτήν την περίπτωση (0.55) συν την πιθανότητα να ζημιωθείς όπως στην άλλη περίπτωση (Ζ) επί την πιθανότητα να εμπίπτεις σε αυτήν την περίπτωση (0.45).

Με άλλα λόγια, είναι σαν να παίρνεις μία «μορφή» του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας για τις σ.π.π. - παρόλο που δεν εκφράζουν πιθανότητες οι σ.π.π..

Τώρα, η μέση τιμή βγαίνει εύκολα αφού ξέρεις τη σ.π.π..
γαμωτο κοντα επεσα την ακουμπησα την λυση αλλα στο τελος τα εκανα μανταρα στο σημειο που συναληθευουν!δηλαδη ενω το επιασα το νοημα με τη σχεση αυτη που εβαλες δεν μου εκοψε στο τελος να παρω ξεχωριστες περιπτωσεις για τα χ που συναληθευουν!!Δηλαδη στον κοινο χρονο 25-30 μπορει να ειναι με κινηση μπορει και οχι.Τεσπα πολυ ωραια η λυση σου.
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

το οτι δεν ειναι στανταρ παραγωγισιμη στα ακρα πως το ξερεις?
 

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 25 ετών, Μεταπτυχιακός φοιτητής στο τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ (Αθήνα) και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,870 μηνύματα.
γαμωτο κοντα επεσα την ακουμπησα την λυση αλλα στο τελος τα εκανα μανταρα στο σημειο που συναληθευουν!δηλαδη ενω το επιασα το νοημα με τη σχεση αυτη που εβαλες δεν μου εκοψε στο τελος να παρω ξεχωριστες περιπτωσεις για τα χ που συναληθευουν!!Δηλαδη στον κοινο χρονο 25-30 μπορει να ειναι με κινηση μπορει και οχι.Τεσπα πολυ ωραια η λυση σου.
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

το οτι δεν ειναι στανταρ παραγωγισιμη στα ακρα πως το ξερεις?

Για την παραγωγισιμότητα, άμα τη σχεδιάσεις φαίνεται. :Ρ Αλλά, πέρα από αυτό, αν η F (η κατανομή) ήταν παραγωγίσιμη τότε θα έπρεπε η παράγωγός της να ικανοποιεί την ιδιότητα της μέσης τιμής, και, επειδή η f (η σ.π.π.) είναι μη σταθερή, θα έπρεπε το σύνολο τιμών της να είναι διάστημα - και άρα (υπεραριθμήσιμα) άπειρο. Ωστόσο το σύνολο τιμών της f είναι πεπερασμένο.

Βασικά, το πιο απλό είναι να τη βάλεις στο geogebra. :Ρ
 

Naki_Marina

Νεοφερμένος

Η Naki_Marina αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 22 μηνύματα.
Σκέψου ότι παίζεις το εξής παιχνίδι:
  • Πρώτα στρίβεις ένα «άτιμο» νόμισμα που με πιθανότητα 0.55 φέρνει κορώνα (κίνηση) και με πιθανότητα 0,45 γράμματα (όχι κίνηση).
  • Μετά, αν έφερες κορώνα ζημιώνεσαι με ένα ποσό Χ τυχαία (δηλ. ομοιόμορφα) επιλεγμένο από το διάστημα [25,50]. Αν όμως έφερες γράμματα, ζημιώνεσαι με ένα ποσό Χ τυχαία επιλεγμένο από το διάστημα [20,30].
Το ίδιο με άλλα λόγια - εμένα μου αρέσουν τα παιχνίδια περισσότερο, οπότε τα περισσότερα προβλήματα τα έγραφα έτσι. :Ρ

Λοιπόν, για τη σ.π.π. το πιο εύκολο που έχεις να κάνεις είναι να βρεις τη συνάρτηση κατανομής πρώτα που έχει και μία απλή διαισθητική ερμηνεία - εκφράζει αθροιστική πιθανότητα. Θα συμβολίζουμε με Χ την τυχαία μεταβλητή που μετράει τη ζημιά μας γενικά (αγνοούμε το πρόσημο αφού είναι πάντα -) ενώ με Υ θα συμβολίζουμε την τυχαία μεταβλητή που μετράει τη ζημιά στην περίπτωση κορώνας και Ζ τη ζημιά μας στην περίπτωση γραμμάτων. Τότε, από το θεώρημα ολικής πιθανότητας έχουμε:



Τώρα, εδώ μπορείς να παραγωγίσεις και να βρεις τη συνάρτηση πυκνότητας. Πρόσεξε μόνο ότι εν γένει δεν παραγωγίζεται η συνάρτηση κατανομής στα tricky σημεία, δηλαδή στο 20, στο 25, στο 30 και στο 50 - εκ των υστέρων μπορεί να βγει παραγωγίσιμη σε κάποια από αυτά αλλά a priori δεν το ξέρουμε.

Οπότε έχουμε:



αφού η παράγωγος της κατανομής είναι η πυκνότητα (εκεί που υπάρχει). Τώρα, αν λάβεις υπ' όψιν και ότι



για χ στο [25,50] και μηδέν εκτός αυτού και ότι



για x στο [20,30] παίρνεις:



Τώρα, στα άκρα των διαστημάτων όρισέ την όπως θέλεις - δεν έχει σημασία, άλλωστε.

Τώρα, από όλα τα παραπάνω, σημασία έχει η διαίσθηση που κουβαλάει η σχέση:



Τι σου λέει πρακτικά (δηλ. μπακάλικα και με μία μικρή αβλεψία) αυτό; Ότι η σχετική πιθανότητα (η σ.π.π. δε μετράει πιθανότητα αλλά σχετική πιθανότητα) να ζημιωθείς με ένα ποσό χ (κίνηση) είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων να ζημιωθείς με τον τρόπο που ζημιώνεσαι στη μία περίπτωση (Υ), επί την πιθανότητα να εμπίπτεις σε αυτήν την περίπτωση (0.55) συν την πιθανότητα να ζημιωθείς όπως στην άλλη περίπτωση (Ζ) επί την πιθανότητα να εμπίπτεις σε αυτήν την περίπτωση (0.45).

Με άλλα λόγια, είναι σαν να παίρνεις μία «μορφή» του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας για τις σ.π.π. - παρόλο που δεν εκφράζουν πιθανότητες οι σ.π.π..

Τώρα, η μέση τιμή βγαίνει εύκολα αφού ξέρεις τη σ.π.π..
Ουαου, τώρα βγάζει απόλυτο νόημα! Θα προσπαθώ και εγώ να το μετατρέπω σε παιχνίδι στο μυαλό μου! Ευχαριστώ πααρα πολύ! :)
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:

Για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας :

f(x) =
9/200 , 20 < x < 25
67/1000 , 25 < x < 30
11/500 , 30 < x < 50

Το ΚΟΘ μπορεί να σου φανεί χρήσιμο στην β . Έστω Xi ο χρόνος του ταξιδιού την i μέρα , με το
i να τρέχει απο 1 εως 50 . Άρα ζητάς το P( E(xi) > 31 ) => P( Σxi/50 > 31) => P( S > 1550 )
Όπου S = Σxi ~ N(nμ, nσ²) , όπου μ & σ τα υπολογίζεις απο την f παραπάνω κτλπ. κτλπ.

Edit : Μετά την παράθεση του Μάρκου , κοίταξα πάλι την άσκηση ,και διαπίστωσα οτι είχα βάλει ανάποδα το 0.55 & 0.45 στην κορυφή :P . Ουσιαστικά η κεντρική ιδέα δεν αλλάζει κάνω τι ίδιο πράγμα και εγώ,απλά στις πιθανότητες με βοηθάει περισσότερο το σχήμα .

Τα 1/10 & 1/25 έχουν προκύψει απο τις δυο κατανομές που μας δίνονται απο την υπόθεση, ενώ οι τελικές τιμές της f βρίσκονται με πολλαπλασιασμούς των πιθανοτήτων των αντίστοιχων κλάδων και διαίρεση του τελικού αποτελέσματος δια το διάστημα της εκάστοτε κατανομής . Στην περίπτωση που 25 < x < 30 πρέπει να ληφθεί ως τελικό αποτέλεσμα το άθροισμα των τιμών που προέκυψαν απο διαδοχικό πολλαπλασιασμών των τιμών απο τον κάθε κλάδο .

View attachment 69823
Χμμ ναι το κατάλαβα! Τώρα είναι η πρώτη μου φορά που μαθαίνω πιθανότητες γιαυτό είχα μπερδευτεί αρκετά! Ευχαριστώ πολύ, και μπορεί να ξαναχρειαστώ τα φώτα όλων εδώ στο κοντινό μέλλον!:)
Επίσης, για να σιγουρευτώ, στον υπολογισμό των σ και μ, χρησιμοποιώ σαν άκρα (α και β) όλο το διάστημα που ισχύει η f, δηλαδή το [20,50], ή το διάστημα που [30,50], το οποίο είναι το διάστημα που ζητάει?
 
Τελευταία επεξεργασία:

Μάρκος Βασίλης

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 25 ετών, Μεταπτυχιακός φοιτητής στο τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ (Αθήνα) και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,870 μηνύματα.
Ουαου, τώρα βγάζει απόλυτο νόημα! Θα προσπαθώ και εγώ να το μετατρέπω σε παιχνίδι στο μυαλό μου! Ευχαριστώ πααρα πολύ! :)
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:


Χμμ ναι το κατάλαβα! Τώρα είναι η πρώτη μου φορά που μαθαίνω πιθανότητες γιαυτό είχα μπερδευτεί αρκετά! Ευχαριστώ πολύ, και μπορεί να ξαναχρειαστώ τα φώτα όλων εδώ στο κοντινό μέλλον!:)
Επίσης, για να σιγουρευτώ, στον υπολογισμό των σ και μ, χρησιμοποιώ σαν άκρα (α και β) όλο το διάστημα που ισχύει η f, δηλαδή το [20,50], ή το διάστημα που [30,50], το οποίο είναι το διάστημα που ζητάει?

Για το σ και το μ πας με τη συνάρτηση πιθανότητας f που βρήκες παραπάνω για την τ.μ. Χ. Και μετά κάνεις ένα κεντρικό οριακό θεώρημα κ.λπ.
 

Samael

Τιμώμενο Μέλος

Ο Samael αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής του τμήματος Ηλεκτρολόγων & Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΠΑΔΑ και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 5,582 μηνύματα.
Ουαου, τώρα βγάζει απόλυτο νόημα! Θα προσπαθώ και εγώ να το μετατρέπω σε παιχνίδι στο μυαλό μου! Ευχαριστώ πααρα πολύ! :)
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:


Χμμ ναι το κατάλαβα! Τώρα είναι η πρώτη μου φορά που μαθαίνω πιθανότητες γιαυτό είχα μπερδευτεί αρκετά! Ευχαριστώ πολύ, και μπορεί να ξαναχρειαστώ τα φώτα όλων εδώ στο κοντινό μέλλον!:)
Επίσης, για να σιγουρευτώ, στον υπολογισμό των σ και μ, χρησιμοποιώ σαν άκρα (α και β) όλο το διάστημα που ισχύει η f, δηλαδή το [20,50], ή το διάστημα που [30,50], το οποίο είναι το διάστημα που ζητάει?

Κανένα πρόβλημα ;) .
Για τον υπολογισμό των σ & μ όπως είπε και ο Μάρκος χρησιμοποιείς την f . Επειδή προέκυψε με ένα-δυο παραπάνω κόλπα στον τρόπο σκέψης δεν αλλάζει η ουσία του αποτελέσματος . Mια σ.π.π είναι όπως όλες οι άλλες, ορισμένη σε ένα διάστημα . Απο 20 εως 50 . Άρα σε αυτό θα υπολογίσεις(προφανώς σπαστά γιατί αλλάζει ο τύπος ενδιάμεσα) τα μ & σ .

Σε ποιο ερώτημα ζήταγε να κάνεις κάτι συγκεκριμένα στο διάστημα [20,50] ή [30,50] ;
Ξέχνα τις αρχικές κατανομές,δεν παίζουν κανένα ρόλο πλέον,πήρες οτι πληροφορία χρειαζόσουν απο αυτές .
 

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Top