Άσκηση Άλγεβρας

[Σωτηρία]

Καλησπέρα,
Μήπως μπορεί να με βοηθήσει κάποιος στο ερώτημα β και γ της άσκησης αυτής για την άλγεβρα δευτερας λυκειου;; Το α κατάφερα να το αποδείξω οπότε αν κάποιος είναι πρόθυμος ας το πάρει ως δεδομένο..

 

[Samael]

Καλησπέρα,
Μήπως μπορεί να με βοηθήσει κάποιος στο ερώτημα β και γ της άσκησης αυτής για την άλγεβρα δευτερας λυκειου;; Το α κατάφερα να το αποδείξω οπότε αν κάποιος είναι πρόθυμος ας το πάρει ως δεδομένο..

Καλησπέρα Σωτηρία.
Ας σκεφτούμε λίγο αντρίστροφα. Ας πούμε δηλαδή οτι όντως ισχύει :

αβγ = 1

Εαν περάσεις ln και στις δυο πλευρές της εξίσωσης, τότε έχεις :

lnα+ lnβ+ lnγ = 0

Μπορείς να γράψεις απο τις αρχικές σχέσεις οτι :

lnγ = (α-β)lnα/(β-γ)
lnβ = (γ-α)lnα/(β-γ)

Έτσι λοιπόν έχουμε οτι :

lnα + lnβ + lnγ = lnα + (α-β)lnα/(β-γ) + (γ-α)lnα/(β-γ) = lnα+ lnβ+ lnγ =>
lnα + lnβ + lnγ = βlnα - γlnα + αlnα - βlnα + γlnα - αlnα =>
lnα + lnβ + lnγ = 0

Εν τέλει βάσει των ιδιοτήτων των λογαρίθμων έχουμε :

ln(αβγ) = 0 =>
e^[ln(αβγ)] = e^0 = 1 =>
αβγ =1

Που είναι το ζητούμενο του α . Δοκίμασε να κάνεις λίγο το ίδιο και για το γ για να σκεφτείς πως θα μπορούσες να φτάσεις σε αυτό μέσω του β .

 

[Σωτηρία]

Καλησπέρα Σωτηρία.
Ας σκεφτούμε λίγο αντρίστροφα. Ας πούμε δηλαδή οτι όντως ισχύει :

αβγ = 1

Εαν περάσεις ln και στις δυο πλευρές της εξίσωσης, τότε έχεις :

lnα+ lnβ+ lnγ = 0

Μπορείς να γράψεις απο τις αρχικές σχέσεις οτι :

lnγ = (α-β)lnα/(β-γ)
lnβ = (γ-α)lnα/(β-γ)

Έτσι λοιπόν έχουμε οτι :

lnα + lnβ + lnγ = lnα + (α-β)lnα/(β-γ) + (γ-α)lnα/(β-γ) = lnα+ lnβ+ lnγ =>
lnα + lnβ + lnγ = βlnα - γlnα + αlnα - βlnα + γlnα - αlnα =>
lnα + lnβ + lnγ = 0

Εν τέλει βάσει των ιδιοτήτων των λογαρίθμων έχουμε :

ln(αβγ) = 0 =>
e^[ln(αβγ)] = e^0 = 1 =>
αβγ =1

Που είναι το ζητούμενο του α . Δοκίμασε να κάνεις λίγο το ίδιο και για το γ για να σκεφτείς πως θα μπορούσες να φτάσεις σε αυτό μέσω του β .

αχ τελεια σε ευχαριστω πολυ!! Ειχα κολλησει πολυ σαυτη την ασκηση για καποιο λογο κι ενω εφτανα σε κατι που με τη λογικη ισχυε δεν μπορουσα να το αποδειξω περαιτέρω. Σε ευχαριστω πολυ για το χρονο σου

 

[Samael]

αχ τελεια σε ευχαριστω πολυ!! Ειχα κολλησει πολυ σαυτη την ασκηση για καποιο λογο κι ενω εφτανα σε κατι που με τη λογικη ισχυε δεν μπορουσα να το αποδειξω περαιτέρω. Σε ευχαριστω πολυ για το χρονο σου

Δεν κάνει τίποτα .
Το να ξεκινάς απο το ζητούμενο με την παραδοχή οτι ισχύει και να δουλεύεις αντίστροφα για να καταλήξεις στο δεδομένο είναι μια καλή τακτική να θυμάσαι γενικά . Απλά μην ξεχνάς ποτέ οτι η επίσημη απόδειξη πρέπει πάντα να ξεκινάει απο τα δεδομένα και να καταλήγει στα ζητούμενα. Προφανώς η επιτυχία της μεθόδου βασίζεται στο οτι τα βήματα μπορούν να αντιστραφούν. Οπότε να είσαι προσεκτική .

Οπότε,τώρα που κατάλαβες το τρικ, παραθέτω για πληρότητα τα βήματα και για το β .
Απο το α ερώτημα έχουμε οτι :

αβγ = 1 =>
lnα + lnβ + lnγ = 0
Πολλαπλασιάζουμε με γ τα πάντα(θα λειτουργούσε και με α ή β αρκεί να έφτιαχνες όπως θα δεις στην συνέχεια κατάλληλα τους υπόλοιπους όρους).

γlnα +γlnβ +γlnγ = 0

Φτιάχνουμε τώρα λίγο τις παρενθέσεις για τους δυο πρώτους όρους :

(γ-α+α)lnα -(β-γ-β)lnβ + γlnγ = 0 =>
(γ-α)lnα +αlnα -(β-γ)lnβ +βlnβ + γlnγ = 0 =>
αlnα + βlnβ +γlnγ + (γ-α)lnα -(β-γ)lnβ = 0

Απο τις αρχικές σχέσεις βρίσκουμε οτι : (γ-α)lnα = (β-γ)lnβ
Άρα έχουμε τελικά οτι :

αlnα + βlnβ + γlnγ = 0.

Για το ερώτημα γ ακολουθείς πάλι της ίδια τακτική όπως με το α . Ξεκινάς με την παραδοχή οτι ισχύει. Έτσι έχεις :

(α^α)(β^β)(γ^γ) = 1 =>
ln[(α^α)(β^β)(γ^γ)] = 0 =>
ln(α^α) + ln(β^β) + ln(γ^γ) = 0 =>
αlnα + βlnβ + γlnγ = 0

Μα αυτό είναι οτι βρήκαμε απο το β ερώτημα. Ακολουθώντας λοιπόν ανάποδα τα βήματα :

αlnα + βlnβ + γlnγ = 0 =>
ln(α^α) + ln(β^β) + ln(γ^γ) = 0 =>
ln[(α^α)(β^β)(γ^γ)] = 0 =>
(α^α)(β^β)(γ^γ) = 1 =>

Καταλήγεις στο ζητούμενο. Και πάλι τονίζω,οτι αυτό λειτουργεί γιατί όλα τα βήματα αντιστρέφονται.