αχ τελεια σε ευχαριστω πολυ!! Ειχα κολλησει πολυ σαυτη την ασκηση για καποιο λογο κι ενω εφτανα σε κατι που με τη λογικη ισχυε δεν μπορουσα να το αποδειξω περαιτέρω. Σε ευχαριστω πολυ για το χρονο σου
Δεν κάνει τίποτα
.
Το να ξεκινάς απο το ζητούμενο με την παραδοχή οτι ισχύει και να δουλεύεις αντίστροφα για να καταλήξεις στο δεδομένο είναι μια καλή τακτική να θυμάσαι γενικά . Απλά μην ξεχνάς ποτέ οτι η επίσημη απόδειξη
πρέπει πάντα να ξεκινάει απο τα δεδομένα και να καταλήγει στα ζητούμενα. Προφανώς η επιτυχία της μεθόδου βασίζεται στο οτι τα βήματα μπορούν να αντιστραφούν. Οπότε να είσαι προσεκτική .
Οπότε,τώρα που κατάλαβες το τρικ, παραθέτω για πληρότητα τα βήματα και για το β .
Απο το α ερώτημα έχουμε οτι :
αβγ = 1 =>
lnα + lnβ + lnγ = 0
Πολλαπλασιάζουμε με γ τα πάντα(θα λειτουργούσε και με α ή β αρκεί να έφτιαχνες όπως θα δεις στην συνέχεια κατάλληλα τους υπόλοιπους όρους).
γlnα +γlnβ +γlnγ = 0
Φτιάχνουμε τώρα λίγο τις παρενθέσεις για τους δυο πρώτους όρους :
(γ-α+α)lnα -(β-γ-β)lnβ + γlnγ = 0 =>
(γ-α)lnα +αlnα -(β-γ)lnβ +βlnβ + γlnγ = 0 =>
αlnα + βlnβ +γlnγ + (γ-α)lnα -(β-γ)lnβ = 0
Απο τις αρχικές σχέσεις βρίσκουμε οτι : (γ-α)lnα = (β-γ)lnβ
Άρα έχουμε τελικά οτι :
αlnα + βlnβ + γlnγ = 0.
Για το ερώτημα γ ακολουθείς πάλι της ίδια τακτική όπως με το α . Ξεκινάς με την παραδοχή οτι ισχύει. Έτσι έχεις :
(α^α)(β^β)(γ^γ) = 1 =>
ln[(α^α)(β^β)(γ^γ)] = 0 =>
ln(α^α) + ln(β^β) + ln(γ^γ) = 0 =>
αlnα + βlnβ + γlnγ = 0
Μα αυτό είναι οτι βρήκαμε απο το β ερώτημα. Ακολουθώντας λοιπόν ανάποδα τα βήματα :
αlnα + βlnβ + γlnγ = 0 =>
ln(α^α) + ln(β^β) + ln(γ^γ) = 0 =>
ln[(α^α)(β^β)(γ^γ)] = 0 =>
(α^α)(β^β)(γ^γ) = 1 =>
Καταλήγεις στο ζητούμενο. Και πάλι τονίζω,οτι αυτό λειτουργεί γιατί
όλα τα βήματα αντιστρέφονται.
