Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

mostel · 12-09-07

Μιας και δεν υπήρχε αντίστοιχο τόπικ, είπα να το ανοίξω, όπως έκανα και στη Β' Λυκείου. Καλή αρχή! Ξεκινάμε λοιπόν με ...μιγαδικούς!

ΑΣΚΗΣΗ 1

Έστω οι μιγαδικοί $z_{1}, z_{2}$ , για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

$\left|z_{1}\right|=\left|z_2\right|=\left|z_{1}^2 + z_{1}z_{2} + z_{2}^2\right|=1$

Να αποδειχθεί ότι:

α) $\overline{z_{1}}=\frac{1}{z_1}$ και $\overline{z_2}=\frac{1}{z_2}$

β) $\left(z_1^2 + z_2^2\right)\left(z_1+z_2\right)^2=0$

γ) $\left|z_1^n + z_2^n\right|\ \in \left{0,\sqrt{2}, 2\right}$

mostel · 16-09-07

Επειδή δε βλέπω να μπαίνει λύση... θα δώσω ένα hint, στην σχετικά απλή αυτή άσκηση...

Για το β εκμεταλλευτείτε υπόθεση και για το γ εκμεταλλευτείτε το β...

Γιώργος · 16-09-07

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Επειδή δε βλέπω να μπαίνει λύση... θα δώσω ένα hint, στην σχετικά απλή αυτή άσκηση...

Για το β εκμεταλλευτείτε υπόθεση και για το γ εκμεταλλευτείτε το β...

Σπουδαία hints.

Έχω λύση, απλά προσπαθώ να βρω πώς να το γράψω σε LaTeX που με προβληματίζει.

rivaldo21 · 18-09-07

Στο ερώτημα β. Σίγουρα αυτό είναι ίσο με 0? Εγώ βγάζω οτι είναι ίσο με 2. Κοιτάξτε το μία!

mostel · 19-09-07

Αρχική Δημοσίευση από rivaldo21:
Στο ερώτημα β. Σίγουρα αυτό είναι ίσο με 0? Εγώ βγάζω οτι είναι ίσο με 2. Κοιτάξτε το μία!

Σίγουρα είναι ίσο με 0.

Δες πώς έχει:

$(z_1^2+z_2^2)(z_1+z_2)^2=0$

Μετά από πράξεις αυτό γίνεται:

$2z_1z_2(z_1z_2 + z_1^2+z_2^2)=-z_1^4-z_2^4$

Τώρα μετρώνεις... και έχεις:

$2=|z_1^4+z_2^4|$

Όμως $|z_1|=|z_2|=1$

Άρα: $|z_1|^4 +|z_2|^4=|z_1^4+z_2^4|$

Αυτό ισχύει μόνο όταν τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα. Προφανώς και είναι ίσα από την υπόθεση.

E;

Vorbulon · 19-09-07

Έχω μια απορία. Όταν "μετρώνουμε"

αυτό δεν είναι συνεπαγωγή; Δεν είναι ισοδυναμία για να μπορεί να γυρίσει πίσω και να επαληθεύσει την αρχική ισότητα.

Α, και επειδή δεν έχω κάνει επανάληψη στους μιγαδικούς, μην με παρεξηγήσετε αλλά γιατί ισχύει αυτό:

όταν τα μέτρα τους είναι ίσα;

mostel · 19-09-07

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
E;

Ωραία Βαγγέλη, δεν ισχύει :nono::no1:

Πάντως είναι σίγουρα ίσο με το 0 η αρχική ισότητα. Το βαλα για να δω ποιοι θα ψαρώσουν :lol:

Vorbulon · 20-09-07

Για το δεύτερο βρήκα λύση... Υψώνουμε τη σχέση $|z_1^2+z_1z_2+z_2^2|=1$ στο τετράγωνο, μετά σπάμε το μέτρο στο τετράγωνο σε μιγαδικό και συζυγή, αντικαθιστούμε τους συζυγείς από το πρώτο ερώτημα, πολλαπλασιάζουμε τις παρενθέσεις, μετά πολλαπλασιάζουμε με $z_1^2$ και $z_2^2$ αφού είναι διάφορα του μηδενός(τα μέτρα τους είναι 1) και μετά παραγοντοποιούμε και βγαίνει η σχέση που θέλουμε. Αλλά για το τρίτο ερώτημα δεν ξέρω. :hmm:

mostel · 20-09-07

Αρχική Δημοσίευση από Vaggelis100:
Για το δεύτερο βρήκα λύση... Υψώνουμε τη σχέση $|z_1^2+z_1z_2+z_2^2|=1$ στο τετράγωνο, μετά σπάμε το μέτρο στο τετράγωνο σε μιγαδικό και συζυγή, αντικαθιστούμε τους συζυγείς από το πρώτο ερώτημα, πολλαπλασιάζουμε τις παρενθέσεις, μετά πολλαπλασιάζουμε με $z_1^2$ και $z_2^2$ αφού είναι διάφορα του μηδενός(τα μέτρα τους είναι 1) και μετά παραγοντοποιούμε και βγαίνει η σχέση που θέλουμε. Αλλά για το τρίτο ερώτημα δεν ξέρω.

Για το γ εκμεταλλεύσου το β. Δηλαδή $z_1^2+z_2^2=0\rightarrow\ldots$ ή $z_1+z_2=0\rightarrow\ldots$

mostel · 08-10-07

Βάζω το τεστ που μας έβαλε ο μαθηματικός σήμερα στο σχολείο πάνω στους μιγαδικούς. Δεν είναι τίποτα. Το ποστάρω απλώς για να υπάρχει... Μερικές φορές την πατάμε από τις εύκολες ασκήσεις!

Αν $z_1, z_2$ είναι ρίζες της εξίσωσης: $|z-3+4i|=5$ , να δειχθεί ότι $|z_1-z_2|\leq10$

Γιώργος · 09-10-07

Αν $z_1, z_2$ είναι ρίζες της εξίσωσης: $|z-3+4i|=5$ , να δειχθεί ότι $|z_1-z_2|\leq10$

-----
Έστω $\displaystyle A(z_1) ,\:B(z_2)$ οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle z_1,\: z_2$

Εφόσον ικανοποιούν την: $\displaystyle|z-(3-4i)|=5$

$\displaystyle \\<br /> A, B \in (C): \: (x-3)^2 + (y+4)^2 = 5^2<br />$

Κύκλος κέντρου $\displaystyle K(3,-4)$ κι ακτίνας $\displaystyle R=5$ .

Ξέρουμε ότι (από θεωρία) : $\displaystyle |z_1 - z_2| = d(A, B)$ και ότι η μέγιστη απόσταση δύο σημείων της περιφέρειας του C θα είναι $\displaystyle 2R$ , οπότε από τα παραπάνω έπεται το ζητούμενο:

$\displaystyle |z_1 - z_2| = d(A, B) \leq 2R = 2\cdot 5 = 10$

Κομψό, με μηδέν πράξεις.

mostel · 09-10-07

Ωραία η λύση σου. Την ίδια βρήκα στο τεστ. Επίσης, τώρα που τη ξαναβλέπω, είναι καθαρά τριγωνική:

$|z_1-z_2|=|(z_1-3+4i)-(z_2-3+4i)|\leq|z_1-3+4i|+|z_2-3+4i|=10$

Αφού $z_1, z_2$ ικανοποιούν την αρχική εξίσωση!

Δείτε και μία που 'χει αρκετό ενδιαφέρον. Το β' ερώτημα που βάζω της δίνει κάτι το μαγικό!

ΑΣΚΗΣΗ

Θεωρούμε το πολυώνυμο:

$P(z)=az^2+bz+c$
με $a\geq b\geq c>0$ και $z\in\mathbf{C}$

α) Να αποδείξετε ότι: $|(z-1)P(z)|\geq a|z|^3-[(a-b)|z|^2+(b-c)|z|+c]$
β) Αν $z_0$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(z)$ , τότε $|z_0|\leq1$ .

Γιώργος · 10-10-07

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Ωραία η λύση σου. Την ίδια βρήκα στο τεστ. Επίσης, τώρα που τη ξαναβλέπω, είναι καθαρά τριγωνική:

Σωστή κι αυτή, αλλά μία παρατήρηση. ΔΕΝ θα ήταν σωστή εάν έλεγε η εκφώνηση: "Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή της ποσότητας $\displaystyle \left | z_1 - z_2 \right |$ είναι 10.

Γιατί; Με την τριγωνομετρική ανισότητα βγάζεις ότι $\displaystyle \left | z_1 - z_2 \right | \leq 10$ .

Αλλά!!! Όταν ένα μέγεθος Α είναι μικρότερο ή ίσο του Β, [highlight]δεν σημαίνει ότι η ισότητα θα "σκάσει" κατ' ανάγκην κάποια στιγμή[/highlight].

Δες αυτό: $\displaystyle \left | z_1 - z_2 \right | \leq 10 \Rightarrow \left | z_1 - z_2 \right | \leq 20$ .

Ισχύει ότι είναι μικρότερο ή ίσο του 20; Σαφώς, αφού η μεγαλύτερη τιμή είναι το 10. Όμως το "μικρότερο ή ίσο" δεν σημαίνει ότι θα σκάσει κατ' ανάγκην η ισότητα.

Πχ η πρόταση $\displaystyle 7 \leq 9$ είναι αληθής. Αν ήταν ψευδής θα ήταν αληθής η πρόταση $\displaystyle 7 > 9$ , όπερ ΑΤΟΠΟ.

Οπότε κατά τη γνώμη μου, εάν σου ζητούσε να δείξεις ότι το 10 είναι και η μέγιστη τιμή, δεν θα 'παιρνες όλα τα μόρια με τριγωνομετρική ανισότητα. Εάν το έκανες με τριγωνομετρική ανισότητα θα έπρεπε έπειτα να έβρισκες δύο μιγαδικούς $\displaystyle z_1$ και $\displaystyle z_2$ τέτοιοι ώστε:

$\displaystyle \left | z_1 - 3 + 4i \right | = 5$
$\displaystyle \left | z_2 - 3 + 4i \right | = 5$
$\displaystyle \left | z_1 - z_2 \right | = 10$

Τότε το 10 θα 'ναι και η μέγιστη τιμή. :no1:

Είναι δύσκολο κομμάτι αυτό (το γιατί θα 'ταν λάθος αν ζητούσε το 10 ως μέγιστη τιμή), μιας κι υπεισέρχεται η μαθηματική λογική μέσα. Αν θέτε περαιτέρω απλούστευση πείτε.

rivaldo21 · 12-10-07

Έχω 3 όμορφες ασκησούλες.... Λοιπόν

Να λυθεί η εξίσωση $z^2-6z-2|z|+35=0$

Για κάθε z1,z2 που ανήκουν στους μιγαδικούς να δείξετε οτι:
$|z_1+z_2|^2-|z_1-z_2|^2=4Re(z_1\cdot \overline{z_2})$ *

Αν z1,z2 είναι μιγαδικοί με $9z_1^2+16z_2^2=0$
Να δέιξετε ότι $\frac{|z_1|}{4}=\frac{|z_2|}{3}=\frac{|z_1-z_2|}{5}$

*στο τέλος το γινομενό είναι z1*z2(συζυγή)

rivaldo21 · 16-10-07

Kανείς; Ούτε μια μικρή προσπάθεια; είναι πολύ καλές ασκήσεις για δοκιμάστε, μην ανεβάσω τσάμπα τις απαντήσεις!

mostel · 16-10-07

Δεν έβαλα λύσεις.. είναι προφανείς

Στην πρώτη $z = a + bi$ ...

Στη δεύτερη είναι η κλασική ταυτότητα $|z_1\pm_z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2\pm2Re(z_1\overline z_2)$

Στην τρίτη από την υπόθεση πας το ένα από την άλλη, μετρώνεις και τα κλασικά :iagree:

Δείτε αυτή που έδωσα με τα πολυώνυμα. Πραγματικά αξίζει τον κόπο!

Vorbulon · 22-10-07

Εστω w=a+bi και z=x+yi. Αφού $|z|=1$ ισχύει $x^2+y^2=1$ . Εχουμε $w=iz-\frac{i}{z} \Leftrightarrow a+bi=(x+yi)i - \frac{i}{x+yi} \Leftrightarrow a+bi=xi-y -\frac{i(x-yi)}{x^2+y^2} \Leftrightarrow a+bi= -2y \Leftrightarrow a=-2y \kappa\alpha\iota b=0$ 'Ομως -1<=y<=1 (από τον κύκλο) <=> -2<=2y<=2 <=> -2<=-2y<=2 <=> -2<=a<=2 'Αρα ο γεωμ. τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που βρίσκεται πάνω στον χ'χ (β=0) για τον οποίο ισχύει $-2\leq x\leq 2$ , δηλ το ΑΒ με Α(-2,0) και Β(2,0)

Γιώργος · 23-10-07

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Ναι, κατάλαβα.

Δηλαδή θα έχανα όλες τις μονάδες σε μία τέτοια περίπτωση; Τι λες εσύ; Φυσικά δεν πρόκειται να ξανα κάνω το λάθος αυτό, αλλά θέλω να δω πόσο θα μου "κόστιζε". 8 μονάδες έπιανε αυτό το συγκεκριμένο υπο-υποερώτημα.

Θα 'παιρνες λίγα πράγματα, δεν νομίζω να στο 'κοβαν όλο. Αλλά λίγα πράγματα, μόνο.

mostel · 14-11-07

Βάζω μία ακόμη άσκηση, αφιερωμένη στον Γιώργο !

Putnam contest, 1959

Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών $z_1, z_2$ , είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, τότε η τρίτη κορυφή αυτού του τριγώνου θα είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού $-wz_1-w^2z_2$ , όπου w είναι μη πραγματική ρίζα της εξίσωσης $x^3=1$ .

Undead · 01-12-07

Παραθέτω μια αγαπημένη μου άσκηση στους μιγαδικούς και πιστεύω αξίζει να ασχοληθείται!!!

Έστω οι μιγαδικοί $z_1,z_2,z_3$ ώστε να ικανοποιούν τις σχέσεις
$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ και $z_1+z_2+z_3=1$
Να δείξεται ότι
$z_1=1$ ή $z_2=1$ ή $z_3=1$

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος