Άλλα μηνύματα του μέλους sokratis lyras σε αυτό το thread

sokratis lyras · 20-07-13

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Ένα γρήγορο θεματάκι που μου άρεσε: Έστω $f$ παραγωγίσιμη και κυρτή στο $[0, +\inf)$ , $f(0) = 0$ . Νδο. $f(x) > \frac{4}{3} f(\frac{3x}{4})$ για κάθε θετικό x.

Επίσης μία με την οποία ασχοληθήκαμε εγώ κι ένας συμμαθητής μου σήμερα: Να υπολογιστεί το $\int e^xx^n$ (ενν. ν φυσικός). Εύκολο είναι να βρεθεί αναδρομικός, το πιο 'ωραίο' είναι να βρεθεί κλειστή μορφή του χωρίς ολοκληρώματα μέσα.

Η $g(x)=kf(x)-f(kx) ,0<k<1$ είναι γνησίως αύξουσα λόγω της κυρτότητας.
Οπότε $g(x)>0$ για θετικά χ ,και για κ=3/4 προκύπτει το ζητούμενο.

sokratis lyras · 10-02-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο $[a,b]$ με $f(x)=(x-a)(x-b)f'(x)$ . Δείξτε ότι $f(x)=0 ,\,\, x \in [a,b]$

Με κάποιες επιφυλάξεις.Με rolle στο $(a,b)$ προκύπτει ρίζα της f' και άρα της f,έστω η $x_1$ .Mε rolle στο $(a,x_1)$ έχουμε κ' άλλη ρίζα της f' και άρα της f.Eπαγωγικά προκύπτει το ζητούμενο.

sokratis lyras · 05-02-13

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f$ συνεχής στο $[a,b]$ , παραγωγίσιμη στο $(a,b)$ , με $f(a)=f(b)$ και $k,\ell,m>0$ . Δείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2,\xi_3 \in (a,b)$ με $kf'(\xi_1)+\ell f'(\xi_2)+mf'(\xi_3)=0$

Ωραίο θέμα τελικά.Χωρίζουμε το $[a,b]$ σε $k+l+m$ ισομηκή διαστήματα.Τώρα απλώς εφαρμόζουμε ΘΜΤ στα $(a,x_1),(x_1,x_2),(x_2,b)$ με $x_1-a=k,x_2-x_1=l,b-x_2=m$ .

Άλλα μηνύματα του μέλους sokratis lyras σε αυτό το thread

sokratis lyras

Νεοφερμένος

sokratis lyras

Νεοφερμένος

sokratis lyras

Νεοφερμένος

Λοιπές Σελίδες