dark_knight
Νεοφερμένος
Παραθέτω ένα μόνο ερώτημα μιας άσκησης
Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:[0,1]-->R
Να δείξετε ότι
Εγώ έθεσε θεωρώντας u>=0, βρήκα τα νέα άκρα ολοκλήρωσης και η απόδειξη τελείωσε. Η απορία μου όμως είναι η εξής: Αν παίρναμε ότι u<=0, τότε τα νέα άκρα ολοκληρώσης θα ήταν το 0 και το -1. Κάτι που προφανώς απέχει από την προς απόδειξη σχέση και δεν βοηθάει και στην επίλυση των υπόλοιπων ερωτημάτων. Είναι λάθος όμως να θεωρήσουμε u<=0;
Δεν βλέπω γιατί απέχει από αυτό που θες να δείξεις. Μετά την αλλαγή μεταβλητής η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι περιττή, επομένως αφού γνωρίζεις πόσο κάνει το ολοκλήρωμα στο [-1,0], το πολλαπλασιάζεις με μείον ένα και βρίσκεις το ολοκλήρωμα στο [0,1].
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Το ίδιο ακριβώς ισχύει και στη 47.
Στην 49, όταν αναπτύσσεις το , ξεχνάς έναν άσσο. Μετά το συνεχίζεις όπως το πήγες και βγαίνει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Ειδικά η συγκεκριμένη δεν προτιμάται ποτέ.
Οι συνεχείς λύσεις είναι οι γραμμικές συναρτήσεις της μορφής f(χ)=αχ, α ε R.
Οι μη συνεχείς όμως, είναι αρκετά εξωτικές.
Για παράδειγμα, ας δεχτούμε προς στιγμήν ως δεδομένη την ύπαρξη μιας βάσης αρρήτων Β:
Δηλαδή, ότι κάθε πραγματικός αριθμός χ γράφεται ως x=a*U+b*V...+c*W
όπου οι συντελεστές a,b,...,c είναι ρητοί και εξαρτώνται από το x, ενώ το σύνολο {U,V,...,W} περιέχεται στο Β.
Αρχικά, ορίζουμε την f επί του Β, με οποιονδήποτε τρόπο.
Μετά, για κάθε χ στο R και όχι στο Β, ορίζουμε f(χ)=a*f(U)+b*f(V)...+c*f(W).
Eίναι μια απλή άσκηση το ότι η f, παρότι ορίστηκε τυχαία στο σύνολο Β, ικανοποιεί την f(x+y)=f(x)+f(y).
Μια ακόμα ιδιότητα της f, διαισθητικά αναπάντεχη, είναι πως σε οποιοδήποτε διάστημα (a,b),
το σύνολο f(a,b) δεν είναι άνω ή κάτω φραγμένο.
Πολύ σωστός. Μάλιστα η αιτιολόγηση αυτή υποδεικνύει και ότι υπάρχουν το πλήθος συνεχείς λύσεις της εξίσωσης Cauchy, ενώ το πλήθος ασυνεχείς λύσεις της. Δηλαδή οι ασυνεχείς λύσεις είναι πολύ περισσότερες από τις συνεχείς. Όλα αυτά βέβαια θεωρώντας το αξίωμα της επιλογής. Αν δουλεύουμε στο ZF, τότε αποδεικνύεται ότι οι μόνες λύσεις είναι οι συνεχείς.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Όταν η εκφώνηση μιας άσκησης δίνει ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, μεταφράζεται στο ότι η f' και η f'' έχουν πεδίο ορισμού το R, σωστά;
Γιατί το σχολικό βιβλίο αναφέρει ότι λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.
Λαθος. Δεν ειναι υποχρεωτικο να ειναι καν παραγωγισιμη σε ολο το R.
Αναφέρεσαι στην περίπτωση που ?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
αφου το μεσαιο οριο υπαρχει και ειναι μηδεν πρεπει να υπαρχουν και τα αλλα και να ειναι μηδεν?
Αυτό δεν ισχύει, μπορείς πολύ εύκολα να βρεις ένα αντιπαράδειγμα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Έτσι, αν θεωρήσεις το μηδέν φανταστικό, τότε το γίνεται ομάδα και μάλιστα ισομορφική με το μέσω της για την οποία .
Ακριβώς. Πρόσεξε όμως ότι χρησιμοποίησα αυτό το επιχείρημα απαντώντας στον ισχυρισμό του exc, ότι το μηδέν στο R και το μηδέν στο I είναι δύο διαφορετικά μηδενικά. Αυτό δηλαδή που ισχυρίστηκα είναι ότι αν το Ι έχει μηδενικό στοιχείο, τότε αναγκαστικά αυτό θα ταυτίζεται με το μηδέν του R και το μηδέν του C. Το αν τελικά το Ι έχει μηδενικό στοιχείο είναι καθαρά θέμα ορισμού και τίποτε παραπάνω. Για το σχολικό βιβλίο του λύκειο ανήκει, για τον Μπάρλα ανήκει, το ίδιο και για κάποια πανεπιστημιακά βιβλία που κοίταξα.Αρχική Δημοσίευση από Dias:Για το 2: θα ήταν κλειστό και υποομάδα ΑΝ δεχόμασταν ότι το 0 ανήκει στο σύνολο των φανταστικών.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Αρχική Δημοσίευση από Dias:Νομίζω ότι το σύνολο των φανταστικών αριθμών ΔΕΝ είναι υποομάδα του συνόλου των μιγαδικών, καθώς ΔΕΝ είναι κλειστό ως προς τις πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.
Μια ομάδα είναι εφοδιασμένη μόνο μία πράξη, στην προκειμένη την πρόσθεση. Δύο πράξεις έχεις σε έναν δακτύλιο. Αυτό που λες είναι ότι ο C είναι δακτύλιος όταν εφοδιαστεί με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά το Ι δεν είναι υποδακτύλιός του, αφού δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό, ενώ το R είναι. Όντως το Ι δεν είναι υποδακτύλιος των μιγαδικών, αλλά ως προς την πρόσθεση είναι κλειστό και είναι υποομάδα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Αν , τότε δεν είναι. Το βιβλίο δε βάζει επιπλέον περιορισμό στο b (σελ. 87), επομένως τον θεωρεί και φανταστικό και πραγματικό.
Το ταυτοτικό στοιχείο μιας ομάδας είναι πάντοτε μοναδικό. Το σύνολο με πράξη την πρόσθεση είναι ομάδα με ταυτοτικό στοιχείο το μηδέν και τα υποομάδες της. Τα ταυτοτικά στοιχεία των υποομάδων μιας ομάδας ταυτίζονται με το ταυτοτικό στοιχείο της αρχικής. (πχ. εδώ, ιδιότητα 3)Αρχική Δημοσίευση από exc:Είναι δύο διαφορετικά μηδενικά.
Αρχική Δημοσίευση από exc:Και οι 2χ2 πίνακες έχουν ένα μηδενικό στοιχείο και οι 3χ3 και οι nxm, αλλά αυτά τα μηδενικά ΔΕΝ είναι ίδια μεταξύ τους. Πρόκειται για διαφορετικούς χώρους.
Άλλος ο χώρος των πραγματικών, άλλος ο χώρος των φανταστικών.
Εδώ οι χώροι και δεν είναι υποομάδες κάποιας ίδιας ομάδας. Από όσο τουλάχιστον μπορώ να διακρίνω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Αυτό εξαρτάται από το πώς έχεις ορίσει τη ρίζα όταν ο εκθέτης είναι ρητός αριθμός. Δες εδώ (Παράγραφο 4) ένα ενδιαφέρον άρθρο επί του θέματος.Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [0, +άπειρο), σωστά;
Χωρίς να γνωρίζω ποιον ορισμό έχετε δώσει στο σχολείο, θα απαντούσα και εγώ .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Όχι απαραίτητα. Για παράδειγμα πάρε , οπότεΑρχική Δημοσίευση από infamous:αυτο δεν καταλαβα η h(x) εχει ιδια γραφικη με τν h(-x)???
Αυτό που θέλουμε να δείξουμε για τις συναρτήσεις h και g είναι ότι αν ένα σημείο ανήκει στο γράφημα της h, τότε το συμμετρικό του σημείο ως προς τον ψ'ψ, θα ανήκει στο γράφημα της g, και αντιστρόφως. Δηλαδή, .
Αυτό που έχω καταλάβει είναι ότι η εκφώνηση της άσκησης λέει: Έστω f τυχούσα πραγματική συνάρτηση. Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) και f(-x).Αρχική Δημοσίευση από infamous:α επισης ο καθηγητης μας ειπε οτι η φ(χ) ειναι η ιδια συναρτηση με την φ(-χ) ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΑΥΤΟ?
Οπότε, όχι, οι δύο αυτές συναρτήσεις δεν είναι απαραίτητα ίδιες (πχ. πάλι η ). Μάλλον κάτι άλλο θα εννοούσε ο καθηγητής σου.
Δε χρειάζεται αυτό. Όποιο και να είναι το πεδίο ορισμού της f, οι g και h είναι καλά ορισμένες.Αρχική Δημοσίευση από dark_knight:αρκεί βέβαια η f να ορίζεται σε συμμετρικό γύρω από το 0 σύνολο ώστε να έχουν νόημα οι συναρτήσεις g, h.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Για να έχουν κάποια σχέση ή να είναι συμμετρικές πρέπει να είναι,είτε άρτιες,είτε περιττές.
Αν είναι άρτια τότε έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y.
Αν είναι περιττή έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
Άρα για να έχει άξονα συμμετρίας τον y'y πρέπει:
- Για κάθε x ανήκει Α και το -x να ανήκει Α
- f(-x)=f(x),για κάθε x ανήκει Α
Απαντάς διαφορετικό ερώτημα. Αν η f είναι άρτια τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον ψ'ψ. Εδώ όμως δε ρωτά αυτό, ρωτά ποια σχέση έχουν μεταξύ τους δύο διαφορετικές συναρτήσεις, η και η χωρίς να κάνει καμιά υπόθεση για την f.
@infamous Μια αιτιολόγηση είναι η εξής: Αν συμβολίσουμε με το γράφημα της συνάρτησης f, τότε έχουμε ότι , το οποίο δείχνει τη ζητούμενη συμμετρία, αρκεί βέβαια η f να ορίζεται σε συμμετρικό γύρω από το 0 σύνολο ώστε να έχουν νόημα οι συναρτήσεις g, h.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
@Civilara
Αν κατάλαβα καλά ρωτάς:Με λίγα λόγια, αν η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα Δ και συνεχής στο n0 ανήκει Δ, όπου n0 φυσικός αριθμός, τότε η ακολουθία αn=f(n) όπου n ανήκει Α=N τομή Df είναι συνεχής στο n0. Ισχύει αυτό;
Έστω συνάρτηση , διάστημα τέτοιο ώστε η να είναι συνεχής στο . Ορίζουμε τέτοια ώστε . Είναι η συνεχής στο ;
Απάντηση: Ναι, όπως και σε κάθε άλλο σημείο του πεδίου ορισμού της, δηλαδή του .
Απλά δεν καταλαβαίνω τί ρόλο παίζει η f εδώ. Το ότι η f είναι συνεχής δεν έχει σημασία για τη συνέχεια της g.
Πρόσεξε ότι στο αρχικό πρόβλημα με την τυχούσα η ακολουθία δεν είναι κατ'ανάγκην συγκλίνουσα, πχ. αν , φυσικά η ακολουθία αυτή δεν συγκλίνει. Δεν έχει καν συγκλίνουσα υπακολουθία. Όμως η f είναι συνεχής γιατί μεταφέρει συγκλίνουσες ακολουθίες σε συγκλίνουσες: Οι μόνες ακολουθίες φυσικών που συγκλίνουν είναι οι τελικά σταθερές. Η απαίτηση της συνέχειας ισχύει με έναν εντελώς τετριμμένο τρόπο, αλλά ισχύει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Εδώ, για ε=1/3, η ανοικτή περιοχή είναι ακριβώς το μονοσύνολο .Για να είναι συνεχής μία συνάρτηση F στο x0 του πεδίου ορισμού της πρέπει να είναι ορισμένη τουλάχιστον σε ένα διάστημα της μορφής (α,x0], [x0,β) ή μπορεί να είναι ορισμένη στο (α,β) όπου α<x0<β.
Σε αυτό συμφωνώ απόλυτα, άλλωστε ο λόγος που κάνουμε αυτή τη συζήτηση είναι ότι δεν έχετε κατανοήσει σε βάθος την έννοια αυτή. Από ότι βλέπω οι σχολές σας (Φυσικό και Πολ. Μηχανικοί), αν και χτίζουν ένα πολύ καλό μαθηματικό υπόβαθρο, δεν υπεισέρχονται (και δικαιολογημένα άλλωστε) σε λεπτομέρειες σε θεμελιώδη θέματα ανάλυσης. Ακόμα και αρκετοί συνάδελφοί μου μαθηματικοί θα μπερδεύονταν εύκολα στο συγκεκριμένο.θέλει κατανόηση του ορισμού του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης.
Τέλοσπάντων, αυτό για την f από το Ν στο R μπορείτε να το ελέγξετε και στις σημειώσεις του κυριού Γιαννόπουλου, σελίδα 28, Παραδείγματα 2.2.2, β), όπου γράφει Χ εννοεί μετρικό χώρο, πχ. το R είναι μετρικός χώρος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Τα συνήθη θεωρήματα, όταν μιλούν για συνέχεια, εννοούν πάντα συνέχεια σε διάστημα
Δεν το εννοούν απλά, χρειάζεται να το δηλώνουν ρητά στις υποθέσεις, γιατί αλλιώς δεν είναι αυτονόητο, πχ. στο θ. Μπολζάνο που αναφέρεις "Έστω f συνεχής στο διάστημα [α,β]...". Στη συνάρτηση του qwerty δεν μπορείς να εφαρμόσεις θ. Μπολζάνο στο [-1,5] επειδή η συνάρτηση δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μπολζάνο στο διάστημα αυτό (δεν είναι συνεχής στο [-1,5] αφού δεν ορίζεται σε αυτό).
Είναι λοιπόν καθαρά θέμα ορισμών και όχι ουσίας.
Ο ορισμός της συνέχειας συναρτήσεων είναι ένας και αν θες να δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής ή όχι, θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις είτε αυτόν, είτε κάποιον από τους ισοδύναμους χαρακτηρισμούς του. Το να κατανοήσεις τον ορισμό είναι το πιο ουσιαστικό βήμα για να προχωρήσεις στην απόδειξη ενός ισχυρισμού.
Για να επανέλθουμε στο αρχικό ερώτημα του qwerty,
ναι είναι συνεχής παντού στο πεδίο ορισμού της. Ένα άλλο παράδειγμα είναι να θεωρήσεις τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού τους φυσικούς για την οποία . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής παντού στο . Γενικώς, οποιαδήποτε συνάρτηση είναι συνεχής στο .Στο πεδίο ορισμού της είναι συνεχής;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
dark_knight
Νεοφερμένος
α) Αυτή η συνάρτηση ΔΕΝ ορίζεται στο (0,1) και συνεπώς δεν μπορείς να μιλάς για όριο από τα θετικά στο 0. Σε αυτήν την περίπτωση το όριο στο 0 είναι όσο είναι το όριο από τα αρνητικά. Η f δηλαδή τείνει στο 5 για χ->0.
Αυτό που έγραψε στο β), όπως σωστά παρατήρησες, δεν ισχύει (μάλλον θα μπήκε από αβλεψία του exc, αφού άλλωστε έρχεται σε αντίθεση με όσα έγραψε στο α). Εδώ σου αρκεί να πάρεις το ένα πλευρικό όριο, αφού το άλλο δεν έχει νόημα. Το (0,1) δεν υπάρχει στον χώρο σου, δουλεύεις στο R\(0,1) και η συνάρτησή σου είναι συνεχής παντού στο R\(0,1).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.