Άλλα μηνύματα του μέλους Αλεξίνοος σε αυτό το thread

Αλεξίνοος · 03-03-11

[FONT=Times New Roman, serif]Σχολιασμός του #71:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Οι “συνωμοσιολόγοι” ενήργησαν ως εξής:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εξήτασαν την εξωτερική πολιτική των ΗΠΑ, την σχετική με τον πολιτισμό των Ελλήνων (αλλ' όχι μόνον) και την απέδωσαν, ως δήλωση, εις τον υπουργό εξωτερικών τους.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αυτή η πολιτική είναι αναγκαία δια την αυτοάμυνά τους: Αφοπλισμός των άλλων λαών από ένα όπλο που οι ΗΠΑ δεν διαθέτουν και που είναι ο πολιτισμός.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Η συμπερίληψη της (Ευκλειδείου) Γεωμετρίας εις τον πολιτισμό των Ελλήνων είναι ...θεώρημα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Δεν θα το αποδείξω, αρκούμενος, μόνον, εις μία υποτυπώδη υπόδειξη:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Δεν θεωρείται (εθεωρείτο) Έλλην ο μη συμμετέχων της “Αθηναϊκής παιδεύσεως” (Ισοκράτης).[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Δεν υπάρχει παίδευση (και δη Αθηναϊκή) από την οποία απουσιάζει η φιλοσοφία (πανθομολογούμενο).[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Δεν υπάρχει φιλοσοφία άνευ γνώσεως της γεωμετρίας (Πυθαγόρας, Πλάτων κλπ).[/FONT]

Αλεξίνοος · 27-02-11

[FONT=Times New Roman, serif]Απάντηση στο #69[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]ν1 = 2 εις την 1η + 1 = 3[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]ν2 = 2 εις την 2α + 1 = 5[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Οι αριθμοί 3 και 5 είναι πρώτοι και διάφοροι αλλήλων.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αναζητούμε δύο αριθμούς α και β τέτοιους ώστε α/3 - β/5 = 1/αβ = 1/15.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ή[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](5α - 3β)/15 = 1/15 ή, 5α - 3β = 1.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]α = 2, β = 3.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Επαλήθευση:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Ας μου επιτραπεί να χρησιμοποιήσω ...“μοίρες”, δια να γίνω κατανοητός.)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]2x120 - 3x72 = 240 - 216 = 24.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]24x15 = 360.[/FONT]

Αλεξίνοος · 27 Φεβρουαρίου 2011

[FONT=Times New Roman, serif](Εάν επιτρέπεται: ) ένα θέμα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Βασιζόμενοι εις τις σχέσεις του #67, μπορούμε να αποφανθούμε εάν, το κανονικό 15-γωνο, είναι κατασκευάσιμο, με κανόνα και διαβήτη;[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Η απάντηση, εις το επόμενο (διότι εάν είναι ...“μοστραρισμένη” ίσως να προλάβει να την δει κάποιος που θα ήθελε να επιληφθεί).[/FONT]

"Κενό ασφαλείας":

[FONT=Times New Roman, serif]Παρακαλώ να μη συγχωνευθεί, το παρόν, με το επόμενο διότι η ...ερώτηση θα ...“χωνεύσει” και την απάντηση...[/FONT]

Αλεξίνοος · 26 Φεβρουαρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Ευκλειδια μαθαινουμε στις ταξεις Α & Β λυκειου.

[FONT=Times New Roman, serif]Αλλά, Αντώωωνη, στην Β Γυμνασίου, μαθαίνουμε ...Αντι-Ευκλείδεια Γεωμετρία;;;[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Η άσκηση (βλ. link του #65) δεν θα άλλαζε ούτε κατ' ελάχιστον εάν αντί του “κανονικού εννεαγώνου” είχε δοθεί ένα κανονικό οκτάγωνο ή, δεκάγωνο. Εάν υποθέσουμε ότι αυτοί που συνέταξαν το πρόβλημα δεν είναι αγράμματοι, πρέπει να συμπεράνουμε ότι ΕΠΙΛΕΓΟΝΤΑΣ, εκ των τριών αυτών κανονικών πολυγώνων, το εννεάγωνο, ΕΓΝΩΡΙΖΑΝ πως, αυτό, είναι αδύνατον να κατασκευαστεί δια της Ευκλειδείου Γεωμετρίας. [/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Τυχαίο;;;[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Δεν [FONT=Times New Roman, serif]πρέπει δε να περάσει απαρατήρητη η ΔΙΚΗ ΤΟΥΣ παρατήρηση ότι “για την λύση της άσκησης [/FONT][FONT=Times New Roman, serif]χρησιμοποιούνται στοιχεία που είναι εκτός ύλης”.[/FONT][/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif][FONT=Times New Roman, serif]Εάν είχε επιλεγεί το κανονικό οκτάγωνο, τέτοια στοιχεία δεν θα χρησιμοποιούντο... (ας μη το εξηγήσω...).[/FONT][/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Μπορεί, εγώ, να είμαι κακοπροαίρετος ή, απαισιόδοξος.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Μπορεί να συγχέω την αφέλεια (#63) (που δεν νομίζω, στ' αλήθεια, ότι έχεις) με την καλή προαίρεση (που νομίζω πως έχεις) ή, με την αισιοδοξία (που, μάλλον, νομίζεις ότι είναι καλό να έχεις).[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Άκουσε όμως τι λέγει και ο “φίλος σου”, ο Oscar Wilde, διά στόματος του Lord Henry, εις το 6ο Κεφ. του Πορτραίτου το Dorian:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]The basis of optimism is sheer terror”[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]sheer, ως επίθετο: απόλυτος, καθαρός.[/FONT]

.................

“[FONT=Times New Roman, serif]Εγκυκλοπαιδικά” τινά:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αποδεικνύεται (Gauss κλπ) ότι η διαίρεση ενός κύκλου σε Ν ίσα τόξα είναι δυνατή με κανόνα και διαβήτη, όταν το Ν είναι αριθμός πρώτος και της μορφής:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ν = 2α . ν1 . ν2 . ν3 ... νμ [/FONT] (το 'α' είναι εκθέτης, οι τελείες είναι γινόμενα και οι αριθμοί και το μ, δείκτες... Αν μπορεί κάποιος, ας τα διορθώσει...)
[FONT=Times New Roman, serif]όπου:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]1ον: ν1, ν2, ν3, ... νμ, πρώτοι και διάφοροι αλλήλων ή μοναδιαίοι[/FONT] (οι αριθμοί και το μ, είναι δείκτες)
[FONT=Times New Roman, serif]2ον: α, μη αρνητικός ακέραιος[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]και:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]3ον: νi = 2κ+1, όπου κ, μη αρνητικός ακέραιος [/FONT] (το 'κ' είναι εκθέτης)[FONT=Times New Roman, serif].[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Έτσι:

[/FONT] Προσοχή: Όπου κόκκινο χρώμα, είναι εκθέτης και 'χ', σύμβολο πολλαπλασιασμού.
[FONT=Times New Roman, serif]Διά μοναδιαίους νi, εκτός ενός, ήτοι: δι' ένα και μοναδικό ν = 2κ+1 (Gauss), έχομε:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 0 (και α = 0), Ν = 20+1, ίσα τόξα: 2[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 1 (και α = 0), Ν = 21+1, ίσα τόξα: 3[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 0 και α = 1, Ν = 21 x (20+1), ίσα τόξα: 4[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 2, Ν = 22+1, ίσα τόξα: 5[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 1 και α = 1, Ν = 21 x (21+1), ίσα τόξα: 6[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 0 και α = 2, Ν = 22 x (20+1), ίσα τόξα: 8[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 2 και α = 1, Ν = 21 x (22+1), ίσα τόξα: 10[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 1 και α = 2, Ν = 22 x (21+1), ίσα τόξα: 12[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 0 και α = 3, Ν = 23 x (20+1), ίσα τόξα: 16[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κ = 3 και α = 0, Ν = 24+1, ίσα τόξα: 17[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]κτλ[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Διά:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]ν1 = 22+1, ν2 = 24+1 και α = 1, έχομε:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ν = 2 x 5 x 17 = 170[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Παρατήρηση:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Το (Ν=) 9 είναι μεν της μορφής 23+1 αλλά, το 9, δεν είναι πρώτος.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Είναι και της μορφής: Ν = 2α . (21+1) . (21+1), με α = 0, αλλά οι παράγοντες του γινομένου δεν είναι διάφοροι αλλήλων.

[/FONT]

Αλεξίνοος · 25-02-11

[FONT=Times New Roman, serif]Εξ αφορμής των σχολίων από του #55 και κατόπιν:[/FONT]

“[FONT=Times New Roman, serif]Νήφε και μέμνησο απιστείν”[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Να είσαι νηφάλιος και να θυμάσαι να απιστείς.”[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Επίχαρμος.)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Η νηφαλιότης του αναγνώστη ενός βιβλίου απαιτείται, όταν η τοιαύτη του συγγραφέως αμφισβητείται...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν ο συγγραφεύς βιβλίου “Ευκλειδείου Γεωμετρίας” γράφει σε μία σελίδα του (την 11η) ότι τα μόνα χρησιμοποιούμενα όργανα είναι ο κανών και ο διαβήτης και, σε όλο το βιβλίο, χρησιμοποιεί το μοιρογνωμόνιο, αυτό, συνιστά παραφροσύνη, η οποία όμως, δεν εξηγεί και ...την γκαντεμιά του:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εις την 129η σελίδα του βιβλίου της Α και Β, Γενικού Λυκείου υπάρχουν αναγεγραμμένες επί σχημάτων δέκα γωνίες, εκφρασμένες σε “μοίρες” οι εξής:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]35, 50, 140, 40, 40, 60, 50, 70, 25, 70.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εξ αυτών μόνον μία, (60) κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Επειδή, όπως έχω εξηγήσει (#50), οι γωνίες που είναι πολλαπλάσια των 3 μοιρών κατασκευάζονται, δεν θα χρειαζόταν πολύ μυαλό ώστε όλες οι προηγούμενες γωνίες να ήταν κατασκευάσιμες (παρά το γεγονός ότι η “μοίρα” είναι μέτρο ασύστατο). Ιδού:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]36, 51, 141, 39, 39, 60, 51, 69, 24, 69.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Δεν θα χρειαζόταν μεγάλη τύχη ώστε τουλάχιστον τρεις από αυτές (μία στις τρείς) να ήταν κατασκευάσιμες.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Η σελίδα αυτή (η 129η) περιέχει ένα κατάλογο γωνιών το 90% των οποίων ΑΔΥΝΑΤΟΥΜΕ να κατασκευάσουμε διά της Ευκλειδείου Γεωμετρίας. Δυνάμεθα όμως να το πράξουμε με κάποια από τα γνωστά σχεδιαστικά προγράμματα.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αυτό είναι ένα γεγονός φανερό αλλά, από μόνο του, δεν μας επιτρέπει να εφαρμόσουμε την προτροπή του Σόλωνος:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Τα αφανή τοις φανεροίς τεκμαίρου”[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αλλ', εις την 323η σελίδα βλέπουμε ορισμένα κανονικά πολύεδρα σχεδιασμένα από κάποιον αδέξιο σχεδιαστή ενώ, εις την επομένη της, βλέπουμε ορισμένα πολύεδρα καλοσχεδιασμένα από ένα γνωστό πρόγραμμα, το οποίο επιθυμώ να μην αναφέρω.[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Τεχνολογία - Ευκλείδιος Γεωμετρία: 2-0” [/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Τώρα, ας φύγουμε από την γεωμετρία και ας πάμε εις την άλγεβρα της Α Λυκείου.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εκεί εις την 45η σελίδα θα δούμε το εξής:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]ΠΡΟΣΟΧΗ ...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]... δεν επιτρέπεται, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό να γράψουμε “έκτη ρίζα 1000000 = -10”[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Διά τί εις παλαιότερα βιβλία της Αλγέβρας επετρέπετο αυτό και, τώρα, απηγορεύθη;;; Ποίας θεωρίας αποτέλεσμα υπήρξε αυτή η απαγόρευση;;;[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ααα... την απάντηση δεν την έχει η επιστήμη αλλά μπορεί (λέμε: “μπορεί”) να την έχει ...μία μικρή SOFT:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Η αριθμομηχανή των Windows, δίδει μόνον μία ρίζα... Καλά... αλλά αδυνατεί να δώσει ρίζες περιττής τάξεως αρνητικών αριθμών (π.χ. του -8 )...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν, μετά ταύτα, εξετάσουμε τον ορισμό της ν-στής ρίζας που υπάρχει εις την προηγουμένη σελίδα του βιβλίου θα διαπιστώσουμε ότι είναι ψευδής και παραπλανητικός: Ομιλεί περί ριζών μη αρνητικών αριθμών και χρησιμοποιεί το παράδειγμα του κύβου (ε, δεν υπάρχει αρνητικός κύβος...).[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Τώρα ας επιστρέψουμε εις την Ευκλείδειο Γεωμετρία και ας διατυπώσουμε μία υπόθεση, την οποία ας αποκαλέσουμε: “τρελή” (διά να μη χρειαστεί να εξετάσουμε (προς το παρόν) τους λόγους), την εξής:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Το Υπουργείο “Παιδείας” θέλει να καταστρέψει την Ευκλείδειο Γεωμετρία ή, να την καταργήσει.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Πώς πρέπει να ενεργήσει;[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Μάλλον) όχι να την απαγορεύσει, διά τον φόβον του κραξίματος... και όχι μόνον.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Τί απομένει;[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν διερευνήσουμε το πρόβλημα θα δούμε ότι η καταλληλοτέρα μέθοδος είναι η παραποίηση.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν η υπόθεσή μας ερμηνεύει άπαντα τα “λάθη” και τις “αβλεψίες” των βιβλίων και αν ερμηνεύει τις χειροτερεύσεις από έκδοση εις έκδοση, τότε, υπέχει θέση θεωρίας...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ήδη ελέχθη (εις αυτό το νήμα) ότι οι καθηγητές των μαθηματικών διδάσκουν την γεωμετρία (μόνον) με τις γνώσεις που απέκτησαν εις το σχολείο.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αποτέλεσμα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Μαθηταί αμαθέστεροι αμαθών διδασκάλων έσονται αμαθείς διδάσκαλοι αμαθεστέρων μαθητών.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Ωραίον, ε... και αρχαιοπρεπές!)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο αμαθέστερος είναι ένα σκαλοπάτι κάτω από τον αμαθή. Το σκαλοπάτι είναι το φανερό αλλά η σκάλα είναι αφανής, εις εκείνον ο οποίος δεν τεκμαίρεται.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Και ας ...”μαλλιάζει” η γλώσσα του Σόλωνος:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Τα αφανή τοις φανεροίς τεκμαίρου”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Όμως ας μη σας κουράζω περισσότερο... Άλλωστε, και εγώ, δεν επιθυμώ συνομιλητές φιλόπονους αλλά, φίλεργους...[/FONT]

Αλεξίνοος · 24-02-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Πισω απο τη συγγραφη βρισκονται τα καταχθονια σχεδια των βριλ!

[FONT=Times New Roman, serif]Τίνος σχεδίου αποτέλεσμα υπήρξε η αφέλεια με την οποία ερωτάς εάν δεν κατασκευάζεται η γωνία των 40 “μοιρών”.[/FONT]

Αλεξίνοος · 24-02-11

Αρχική Δημοσίευση από garch:
1ον: Δεν ξέρω σε ποιο βιβλίο συγκεκριμένα αναφέρεσαι,...
...
2ον: Τώρα οι συγγραφείς να αποσκοπούν κάπου με το να αποκρύψουν εσκεμμένα από 17χρονα άτομα (που πραγματικά αν εξαιρέσουμε 2-3 ανά τάξη δεν τους νοιάζει κιόλας) ότι είναι αδύνατη η κατασκευή κανονικού 9γώνου το βρίσκω κάπως υπερβολικό

[FONT=Times New Roman, serif]1ον: Βιβλίο Α και Β, Γενικού Λυκείου, έκδοση 2008, σελιδα 27.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]2ον: Εάν λοιπόν (κατά την γνώμη σου) δεν ενεργούν σκοπίμως, ενεργούν ασκόπως...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Πάντως, προτού να τους θεωρήσεις άσκοπους, σκέψου ότι μπορεί να υπάρχει και άλλη σκοπιμότητα από αυτήν που αναφέρεις...[/FONT]

Αλεξίνοος · 24-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξίνοος:
[FONT=Times New Roman, serif]
[/FONT] [FONT=Times New Roman, serif]Εξ αιτίας παρομοίων φαινομένων πρότεινα κι' εγώ, εις όποιον θέλει να μάθει γεωμετρία, αντί των ψευδεπωνύμων “συγγραφών” να επιλέξει τα Στοιχεία του Ευκλείδη (#24).[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Ένα γεγονός και δύο ερωτήματα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Το γεγονός:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εις την 27η σελίδα του σχολικού βιβλίου της γεωμετρίας ο μαθητής βλέπει, σε μία εφαρμογή, ένα κύκλο κέντρου Ο και ένα τόξο του (ΓΑ), τέτοιο ώστε 9(ΓΑ) να ισούνται με 360 “μοίρες”, ενώ στο τέλος της εφαρμογής βλέπει και ότι, η γωνία ΓΟΑ, είναι (βεβαίως) 40 “μοιρών”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]1ον ερώτημα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν, κατόπιν αυτού, ο μαθητής νομίσει πως, το κανονικό εννεάγωνο, κατασκευάζεται (όπως το οκτάγωνο και το δεκάγωνο), δεν θα έχει πέσει θύμα παραπλάνησης;[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]2ον ερώτημα:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν οι συγγραφείς δεν ενεργούν ασκόπως, εις τί αποσκοπούν;[/FONT]

Αλεξίνοος · 24 Φεβρουαρίου 2011

[FONT=Times New Roman, serif]Εξ αφορμής του #53 και όχι μόνον:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ουδείς υποχρεούται να αναγιγνώσκει μετά προσοχής αυτά που γράφω. Εγώ όμως απαντώ μόνον επί θεμάτων εις τα οποία δεν έχω απαντήσει ήδη (ή, δεν τα έχω διευκρινίσει ικανοποιητικώς).[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Ο Ευκλείδης δεν λέγει “σημείον εστί ου μέγεθος ουθέν”, ούτε λέγει: “σημείον εστί ου οσμή ουδεμία”, ούτε οτιδήποτε άλλο από αυτά που ο καθείς μπορεί να νομίσει ότι δεν είναι χαρακτηριστικά του σημείου. [/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν κάποιος έβλεπε τον όρο (ορισμό): “σημείον εστί ου μέρος ουθέν” και “ερμήνευε”: “σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει οσμή”, εγώ, θα θεωρούσα αυτή την ερμηνεία τόσο απίθανη όσο και την ερμηνεία “σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέγεθος”, η οποία υπάρχει εις το σχολικό βιβλίο που ανέφερα (#49) (κυκλοφορούσε γύρω στο '90).[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Και αν κάποιος τρίτος με ειρωνευόταν λέγοντάς μου: “να ένα σημείο με ...οσμή”, θα με άφηνε άναυδο...)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο Ευκλείδης - όπως προείπα (#47) - δίδει ένα ορισμό κατάλληλο διά την θεωρία του: Δηλαδή, όταν, εν συνεχεία, θα πει: “Ητήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν αγαγείν” (1ον αίτημα), να μη τον ερωτήσει κάποιος:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Από ποία μεριά του σημείου να αχθεί η γραμμή; Από δώθε του σημείου ή, από κείθε;”[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Οι απίθανες “ερμηνείες” είναι συνέπεια της αγνοίας της ελληνικής (άμα τε και της γεωμετρίας) η οποία χαρακτηρίζει ορισμένους “συγγραφείς”:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Π.χ. εις το βιβλίο που προανέφερα, υπάρχει και μία άλλη ...απιθανότερη “ερμηνεία”:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Ευθεία γραμμή είναι εκείνη που απέχει εξ ίσου από τα άκρα της”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Άρα τα άκρα της απέχουν εξ ίσου από αυτήν.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν τα άκρα της γραμμής κείνται επ' αυτής ήτοι οι ίσες αποστάσεις είναι μηδενικές, τότε, σύμφωνα με την “ερμηνεία”, η κάθε γραμμή είναι ευθεία.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν οι ίσες αποστάσεις δεν είναι μηδενικές τότε τα άκρα της ευθείας ...δεν κείνται επ' αυτής. Σαν να λέμε: “Τράβα στη γωνία να δεις αν έρχομαι...”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο ορισμός του Ευκλείδη είναι:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Ευθεία γραμμή εστίν ήτις εξ ίσου κείται (όχι απέχει) τοις εφ' εαυτής σημείοις”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν αυτός ο ορισμός “είναι σκοτεινός” όπως δηλώνει και ο Ευάγγελος Σταμάτης εις την σελίδα 29 του πρώτου τόμου των Στοιχείων, τότε, οι καλοί συγγραφείς, καλά θα κάμουν να τον αφήσουν στη ...σκοτεινιά του και να μη διατυπώνουν μπουρδολογικές ερμηνείες.[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Οι συγγραφείς του τωρινού βιβλίου... δεν γράφουν ουδέν περί των επιμάχων ορισμών και έχουν το κεφαλάκι τους ήσυχο. Διευκρινίζουν βέβαια ότι οι ορισμοί (π.χ.) του σημείου και της ευθείας δεν χρησιμοποιούνται εις τις αποδείξεις. Ο ισχυρισμός αυτός είναι ψευδής:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Π.χ. στην τέταρτη κιόλας αποδεικτική πρόταση ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την κοινή έννοια ότι “δύο ευθείαι χωρίον ου περιέχουσιν”. Λέγει δηλαδή, ότι εάν τα άκρα δύο ευθειών (αυτό που, εμείς, λέμε “ευθύγραμμο τμήμα”) ταυτιστούν τότε και οι ευθείες ταυτίζονται διαφορετικά θα περιείχαν χωρίο “όπερ εστίν αδύνατον”. Η εν λόγω έννοια η οποία χρησιμοποιείται εις την απόδειξη, θεωρείται κοινή μόνον επειδή προκύπτει εκ του ορισμού της ευθείας τον οποίο έχει προθέσει. (Ειδεμή θα την περιελάμβανε εις τα αιτήματα).
Αλλά, και αν ακόμη, ο ισχυρισμός των συγγαφέων, ήταν αληθής, θα ήταν σαν να λέγουν ότι όταν πέσεις στο κενό χρειάζεσαι το αλεξίπτωτο και όχι τον ορισμό του. Βέβαια, αλλά τον ορισμό τον χρειάζεσαι και μάλιστα εκ των προτέρων, διά να μη πάρεις το ...αλεξήλιο και νομίζεις ότι κρατάς αλεξίπτωτο...
...
[/FONT] [FONT=Times New Roman, serif]Εξ αιτίας παρομοίων φαινομένων πρότεινα κι' εγώ, εις όποιον θέλει να μάθει γεωμετρία, αντί των ψευδεπωνύμων “συγγραφών” να επιλέξει τα Στοιχεία του Ευκλείδη (#24).[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif]Σημείωση:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Την ερμηνεία του Ευκλειδείου ορισμού της ευθείας θα την πραγματευτώ εάν εκδηλωθεί σχετικό ενδιαφέρον.[/FONT]

Αλεξίνοος · 24-02-11

Απάντηση στο #51:
Ο όρος (ορισμός) είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη διά το οριζόμενο.
Όταν λέγομε “μη περιγραφικός ορισμός”, δεν εννοούμε ένα ορισμό ...απερίγραπτο, ήτοι το οξύμωρον: “όρος άνευ ορισμού”.
Ο ορισμός (π.χ.) του “σημείου” που δίδει ο Ευκλείδης προϋποθέτει την καταφατική απάντηση εις τις ερωτήσεις σχετικές με την “βασική γλώσσα” - όπως ανέφερα:
-Γνωρίζεις τι σημαίνει η λέξη: “εστί”;
-Γνωρίζεις τι σημαίνουν οι λέξεις: “ος, η, ο”;
-Γνωρίζεις τι σημαίνει η λέξη: “μέρος”;
-Γνωρίζεις τι σημαίνει η λέξη: “ουθέν” (“ου δε εν”);
(Η ερώτηση: “γνωρίζεις ότι η λέξη “μέρος” σημαίνει άλλο από την λέξη “μέγεθος” (ή, ...“αχλάδι” κτλ)”, δεν περιλαμβάνεται, διότι ο Ευκλείδης ήταν μαθηματικός και όχι ...προφήτης, ώστε να γνωρίζει το πως θα τον 'ερμήνευαν' σήμερα...)
-Αφού τις γνωρίζεις, τότε αντιλαμβάνεσαι τι σημαίνει ο όρος (ορισμός):
“Σημείον εστί ου μέρος ουθέν”.
Εάν δεν γνωρίζεις (π.χ.) τι είναι ο “μέρος” τότε μπορείς να θεωρήσεις, αυτό, ως “όρο άνευ ορισμού” αλλ', όχι το “σημείο”.
...
Εξ άλλου, όποιος ακούει: “όρος άνευ ορισμού”, ουδέν αντιλαμβάνεται (ούτε καν το οξύμωρο του πράγματος) εάν δεν έχει ένα ορισμό του ονόματος: “όρος” ή/και του ρήματος: “ορίζω”.
Εάν θεωρήσουμε όλους του όρους ως “άνευ ορισμού” (και δη τους “δομικούς”), τότε, θα πρέπει να συνενοούμεθα με γρυλίσματα, οπότε μπορούμε να καταργήσουμε κάθε ορισμό (π.χ. της τραγωδίας) και να κάψουμε και τα λεξικά, διότι εις αυτά ...δεν βρίσκεις άκρη: Αναζητάς ερμηνεία διά το “υιός”, ευρίσκεις ότι είναι το γεννηθέν άρρεν τέκνον ως προς τον πατέρα του. Αναζητάς ερμηνεία διά το “πατήρ”, ευρίσκεις ότι είναι το ο γεννήτωρ ως προς τα τέκνα του... Π.χ. δεν μπορείς να κατανοήσεις ένα αγγλικό κείμενο χρησιμοποιώντας ΜΟΝΟΝ ένα αγγλαγγλικό λεξικό...
Ε, αυτά βλέπει και ο Hilbert και λέγει: “αυτά τα διακριτά πράγματα (σημεία, ευθείες, επίπεδα) ΔΕΝ τα ορίζω”.
Καλά, αλλά πρέπει να μας ορίζει (π.χ.) τι εννοεί λέγοντας “διακριτά” (κτλ, κτλ)... και όχι “περιγραφικά”, όπως θα έλεγες κι' εσύ.
Φαίνεται πως, ο δρόμος της επιστροφής προς την μη λεκτική ανθρώπινη επικοινωνία, είναι στρωμένος με επιφάσεις αφαιρετικότητας...

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξίνοος:
[FONT=Times New Roman, serif]Αλλά σήμερα οι άσχετοι συγγραφείς αναφέρουν και γωνίες συγκεκριμένων μοιρών (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ) οι οποίες είναι αδύνατον να κατασκευαστούν:
“59” (σ. 48 ).
“65”, (σ. 82).
“50”, “55”, “20” (σ. 87).[/FONT]

Παρότι η “μοίρα” είναι μέτρο ανύπαρκτο η γωνία των τριών “μοιρών” κατασκευάζεται εάν με αυτό εννοούμε το 1/120 των τεσσάρων ορθών. Συμβολίζω 1/120 C. Αυτό προκύπτει δι' αφαιρέσεως του 1/12 C από το 1/10 C (επίκεντροι γωνίες κανονικού δωδεκαγώνου και κανονικού δεκαγώνου αντιστοίχως) και διχοτομήσεως του υπολοίπου, ήτοι:
1/10-1/12=6/60-5/60=1/60
(1/60)/2=1/120.
Άρα οι γωνίες οι οποίες είναι πολλαπλάσια του 1/120 C είναι κατασκευάσιμες.
Εάν σε ένα σχήμα εμφανίζεται μία γωνία 21 ή, 51 ή, 54 ή, 57, ή 66 κτλ “μοιρών”, αυτό συνιστά “μόνον” σφαλερή ή, μάλλον, ασύστατη διατύπωση.
Εάν σε ένα σχήμα εμφανίζεται μία γωνία 20 ή, 50 ή, 55 ή, 59, ή 65 κτλ “μοιρών”, αυτό συνιστά ψεύδος ή/και παραφροσύνη...

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:
Αυτό περίμενα και εγώ. Θα μου ορίσεις επακριβώς το "δεν μερίζεται";
Επακριβώς, όχι περιγραφικά.

Οι ορισμοί διατυπώνονται με την βασική γλώσσα ή, με την βοήθεια όρων που έχουν ορισθεί πρότερον.
Το “μέρος” είναι στοιχείο της βασικής γλώσσας, δηλαδή, περιέχεται εις άπαντα τα λεξικά.
Εγώ διευκρίνισα (“δεν μερίζεται” και ότι δεν έχει [FONT=Times New Roman, serif]“επάνω μέρος” ή, “...δεξί” κτλ.[/FONT]) διότι έχω δει σε παλαιότερο βιβλίο σχολικής γεωμετρίας την απίθανη ερμηνεία: “Σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέγεθος”.

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:
Mπορούμε τότε, να ορίσουμε το σημείο; Σε παρακαλώ να αποπειραθείς

[FONT=Times New Roman, serif]Έχω ήδη αναφέρει τον ορισμό του Ευκλείδη (#43). Τον γράφω επακριβώς:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Σημείον εστί ου μέρος ουθέν”: Αυτό το οποίο δεν έχει μέρος, δεν μερίζεται, δεν μπορείς να πεις περί αυτού: “το επάνω μέρος” ή, “...το δεξί” κτλ.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Ο Πυθαγόρας το ορίζει διαφορετικά: “μονάδα θέσιν έχουσα”.)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο ορισμός του Ευκλείδη αρκεί διά την δουλειά εις την οποία θέλει να το χρησιμοποιήσει...[/FONT]

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αγαπητέ Rempeske (#44)
[FONT=Times New Roman, serif]Εάν δεν ορίζονται οι αρχικές έννοιες δεν ορίζονται ούτε οι παράγωγες αυτών...
Η πεποίθηση ότι η γεωμετρία μπορεί να οικοδομηθεί με αόριστα δομικά στοιχεία και η αοριστία γενικότερα νομίζω ότι δεν είναι ό,τι καλλίτερο διά μαθητές εις την εφηβεία...
Κατά τα άλλα... ούτε εγώ θέλω να συγκρίνω τον Hilbert με τον Ευκλείδη.
Πάντως, οι “ψευδεπώνυμοι συγγραφείς” για τους οποίους έκαμα λόγο στο #24 δεν επιδεικνύουν ουδένα σεβασμό ούτε στον ένα ούτε στον άλλο...
Εκεί πρότεινα, για αρχική μελέτη της γεωμετρίας, τα στοιχεία του Ευκλείδη. Όχι επειδή νομίζω πως είναι αλάθητος, όπως μου παρατηρείς στο #28, αλλά διότι θεωρώ τα στοιχεία του ως κατάλληλα δια την απόκτηση των στοιχειωδών γεωμετρικών γνώσεων... Εννοείται ότι, εις αυτά, δεν υπάρχει όλη η γεωμετρία... Πως να υπάρχει (π.χ.) η μέθοδος μέτρησης του κύκλου αφού ο Αρχιμήδης είναι μεταγενέστερος του Ευκλείδη;...
Στο #27 εξειδίκευσα ότι, λέγοντας “ψευδεπώνυμες “συγγραφές”, εννοώ τα σχολικά βιβλία εις τα οποία (συν τοις άλλοις) αναφέρεται ως μονάδα μέτρησης των γωνιών η ...μοίρα κάτι το οποίο δεν κατασκευάζεται ούτε με τα αξιώματα του Hilbert ούτε με τα αιτήματα του Ευκλείδη.
Αυτό, δεν είναι μόνο τωρινό φαινόμενο. Αλλά σήμερα οι άσχετοι συγγραφείς αναφέρουν και γωνίες συγκεκριμένων μοιρών (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ) οι οποίες είναι αδύνατον να κατασκευαστούν:
“59” (σ. 48 ).
“65”, (σ. 82).
“50”, “55”, “20” (σ. 87).[/FONT]

Αλεξίνοος · 23-02-11

Αγαπητέ Rempeske (#42)
Ο Hilmert αποκαλεί τα Σημεία, τις Ευθείες και τα Επίπεδα ως “πράγματα”, άνευ ουδενός ορισμού.
Άνευ ορισμού χρησιμοποιεί και τις έννοιες “ανήκειν”, “κείσθαι”, “μεταξύ” κτλ, τις οποίες χρησιμοποιεί εις τα αξιώματα, συνδέσεως κτλ.
Είναι οι γνωστοί “όροι άνευ ορισμού” και έχει χυθεί πολύ μελάνι προκειμένου να καταστεί “έλλογο” το οξύμωρο.
Πώς να ορισθεί, άλλωστε, το τι σημαίνει “μεταξύ” δύο σημείων Α και Β “κειμένων” επί ευθείας α κτλ, όταν δεν έχει ορισθεί ούτε η ευθεία ούτε το σημείο;
Ο Ευκλείδης, ο οποίος ...δεν είχε πληροφορηθεί ότι, τα “πράγματα” αυτά, δεν ορίζονται... τα ορίζει.
Όταν λέγει ότι σημείο είναι αυτό που δεν μερίζεται, δεν έχει εξασφαλίσει την ύπαρξή του δι' ενός αξιώματος. Δεν έχει πει δηλαδή ότι “το σημείο, το οποίο ορίζω... υπάρχει”. Φαίνεται πως εννοεί ότι δεν θα ήταν δυνατόν να ορίσει ένα ανύπαρκτο “πράγμα”.
Όταν λέγει ότι ευθεία γραμμή είναι εκείνη που κείται ομοιοτρόπως (εξ ίσου) τοις εφ' εαυτής σημείοις, θεωρεί (ως φαίνεται) περιττό να δηλώσει ότι αυτά τα σημεία υπάρχουν επί της ευθείας - διότι εάν δεν υπήρχαν δεν θα ήταν “εφ' εαυτής”...
Δεν αρνούμαι ότι οι ορισμοί του Ευκλείδη επιδέχονται κριτική ή/και βελτιώσεις.
Αλλά, η κατάργηση των ορισμών, δεν είναι βελτίωση (“πονάει δόντι, κόψε κεφάλι”).
Εάν “αρχή πάσης επιστήμης” είναι “η των ονομάτων επί σκέψις”, δεν δύναται να θεωρηθεί επιστημονικό κάτι που αρχίζει από την μέση...

Αλεξίνοος · 19-02-11

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:
O Ευκλείδης δεν ορίζει καν τι σημαίνει πως ένα σημείο βρίσκεται ανάμεσα σε δύο άλλα.

[FONT=Times New Roman, serif]Αυτό ουδείς το ορίζει.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο Hilbert σε ένα από τα αξιώματά του “αξιώνει” την ύπαρξη σημείου Μ επί ευθείας (α) και μεταξύ δύο σημείων αυτής, Α και Β, διαφόρων αλλήλων, αλλά δεν ορίζει ούτε την “ευθεία[/FONT][FONT=Times New Roman, serif]”,[/FONT][FONT=Times New Roman, serif] ούτε το [/FONT][FONT=Times New Roman, serif]“[/FONT][FONT=Times New Roman, serif]σημείο[/FONT][FONT=Times New Roman, serif]”,[/FONT][FONT=Times New Roman, serif] ούτε το “μεταξύ”...[/FONT]

Αλεξίνοος · 14 Φεβρουαρίου 2011

[FONT=Times New Roman, serif]Προς Dias (#26)
[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εις το βιβλίο της “Ευκλείδειας” γεωμετρίας, Α' και Β λυκείου και εις την σελίδα 11 (τέλος) γράφεται:[/FONT]
“[FONT=Times New Roman, serif]Δεχόμαστε ότι κάθε τμήμα έχει μοναδικό μέσον”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο μαθητής (εκείνη την στιγμήν) καλείται να το δεχθεί αναποδείκτως, ασχέτως του αν εις την σελίδα 67 υπάρχει κάποια σχετική κατασκευή (πλην, ανευ αποδείξεως της μοναδικότητος).[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Το να δέχεσαι αναποδείκτως είναι, πράγματι, μία "προσαρμογή εις τα σημερινά δεδομένα".[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ο Ευκλείδης, ΠΟΤΕ, δεν διαπράττει τέτοια πράγματα (εξαιρούνται τα αιτήματα).[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εξ ου (και όχι μόνον εξ αυτού) και αποκαλώ την εν λόγω συγγραφήν “ψευδεπώνυμη”[/FONT]

[FONT=Times New Roman, serif](Συνέχεια του προηγουμένου.)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Διά την επίλυση των γεωμετρικών προβλημάτων ακολουθούμε τέσσαρα βήματα, τα εξής.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Ανάλυση, Σύνθεση, Απόδειξη, Διερεύνηση.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Εις το σημερινό βιβλίο παραλείπεται το πρώτο βήμα... εις πείσμα των μεγαλοστομιών περί ανάπτυξης της αναλυτικής σκέψης των μαθητών...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αυτό συνιστά καταστροφικό ακρωτηριασμό της γεωμετρίας.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Δυστυχώς, αυτά είναι τα "σημερινά δεδομένα"...[/FONT]

Αλεξίνοος · 05-02-11

[FONT=Times New Roman, serif]Τα προηγούμενα μηνύματα (με αρχικό το #20) με κάνουν να θεωρήσω επιτρεπτή την προτροπή που ακολουθεί:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αγαπητοί φίλοι, μάθετε την Ευκλείδειο Γεωμετρία, από τον ίδιο τον Ευκλείδη, όχι από ψευδεπώνυμες “συγγραφές”.[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Θα βρείτε ενδιαφέροντα και ...παράξενα πράγματα... όπως (π.χ.) ότι ο Ευκλείδης δεν είχε αντιληφθεί πως το σημείο η ευθεία και το επίπεδο δεν ορίζονται... ή, μήπως αυτοί που γράφουν τα βιβλία δεν καταλαβαίνουν το τι λέγει;;;...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Αυτά μπορούμε να τα συζητήσουμε εν καιρώ...[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Προς το παρόν, δίδω τον τίτλο του βιβλίου και μία (από τις πολλές) διεύθυνση στο Ιντερνετ:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Τίτλος:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]ΣΤΟΙΧΕΙΑ[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Περιέχει το αρχαίο κείμενο και την μετάφραση.)[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]Διεύθυνση:[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif]https://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/book1/oroi1.html[/FONT]
[FONT=Times New Roman, serif](Περιέχει το αρχαίο κείμενο και την μετάφραση πλην μόνο στις αποδεικτικές προτάσεις.)[/FONT]

Αλεξίνοος · 15-12-10

Αγαπητέ Δία,
δυστυχώς είμαι υποχρεωμένος να επισημάνω την παχυλή άγνοια των νυν μαθηματικών-καθηγητών, αν όχι την σκόπιμη αποσιώπηση του γεγονότος ότι, η “γεωμετρία” που διδάσκουν, ονομάζεται, ψευδεπωνύμως, “Ευκλείδεια”, ενώ συνιστά καταστροφή της. Μία σύγκριση των διδασκομένων βιβλίων προς τα “Στοιχεία” του Ευκλείδου το αποδεικνύει... πλην, ένα απλό παράδειγμα αρκεί:

Η κατασκευή γωνίας μίας “μοίρα” είναι αδύνατη (με κανόνα και διαβήτη). Επομένως δεν είναι δυνατόν, αυτή, να θεωρηθεί ως μονάδα μέτρησης, όπως αναφέρει το βιβλία Α' και Β' Γενικού Λυκείου (σ. 26), ούτε είναι δυνατόν να “σχεδιάσουμε” τρίγωνο με γωνία ...59 μοιρών (σ. 48 ).

Οι συγγραφείς των σχολικών βιβλίων, είτε ενεργούν ...ασκόπως, είτε αποσκοπούν εις την παρεμπόδιση της γεωμετρικής γνώσης.
Η γεωμετρική γνώση - βλέπεις - προκαλεί ...την κακή συνήθεια να μη δεχόμεθα τίποτε άνευ αποδείξεως...
Ενώ το καλό βιβλίο μας διδάσκει να ...“δεχόμαστε”. Π.χ.:
“Δεχόμαστε ότι κάθε τμήμα (ΑΒ) έχει ένα μέσο.”
(“Σιγά το δύσκολο”: Τομή του ΑΒ μετά της ευθείας που ορίζουν οι τομές δύο κύκλων με ακτίνα ΑΒ και κέντρα τα Α και Β.)

Εάν το σχολείο δεν απέκρυπτε την γνώση και εάν δεν την υποκαθιστούσε με την εμπέδωση της ακρισίας, η εκπαίδευση δεν θα ήταν υποχρεωτική...
Η ανακάλυψη της γνώσης και η ανάπτυξη της κρίσης είναι η μόνη έλλογη αντίσταση...

Μόλις δω μία ...κατάληψη σχολείου με αυτό το περιεχόμενο θα αισιοδοξήσω...

Άλλα μηνύματα του μέλους Αλεξίνοος σε αυτό το thread

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Αλεξίνοος

Νεοφερμένος

Λοιπές Σελίδες