galois01
Νεοφερμένος
η χ^2 δεν ειναι παραγωγισιμη?? ασχετα με το αν ειναι συνθεση..
Ναι η είναι παραγωγίσιμη αλλά δεν γνωρίζουμε αν είναι και η f.
Να και ένα παράδειγμα
και
Βλέπουμε πως η f(g(x)) είναι παραγωγίσιμη όπως επίσης και η g σε όλο το R. Ωστόσο η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο μηδέν.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Nομιζω σε μια εξισωση που το ενα μελος ειναι πραγωγισιμο τοτε ειναι και το αλλο!! Αλλα η δικη σου λυση ειναι πιο σωστη νομιζω απο θεμα σιγουριας..:no1:
Αυτό ισχύει αλλά εσύ στο αριστερό μέλος δεν έχεις μια συνάρτηση αλλά σύνθεση συναρτήσεων.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Α' Τρόπος:
Παραγωγιζουμε τη δοθεισα σχεση κατα μελη:
(το πεδιο ορισμου χ>0 το δινει για να παρεις μονο για χ=3 και οχι χ=-3)
Β'Τρόπος:
θετω οπότε εχουμε
και παραγωγιζουμε:
και
για ω=9 εχουμε f'(ω)=9/2
Νομίζω οτι οι λύσεις σου είναι λάθος διότι δεν γνωρίζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη.
x>0 για χ=3 έχουμε f(9)=27.
Για να βρούμε την παράγωγο στο 9 θα δουλέψουμε με τον ορισμό.
Θέτουμε με u->3 ή u->-3.
Όταν u->3 το όριο γράφεται
Όταν u->-3 τότε το όριο βγαίνει άπειρο επομένως απορρίπτεται.
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Γραφω μια που ελυσα σημερα και μου πηρε περιπου 20 λεπτα να δω αυτο το ''κατι'' που ηθελε.
Δινεται η συνεχης f: [-π/2, π/2]->R με f(0)=1 για την οποια ισχυει:
f'(x)συνx=f(x)(συνx-ημx) για καθε χ που ανηκει στο (-π/2, π/2).
α)Να δειξετε οτι f(x)=συνx για καθε χ που ανηκει στο (-π/2, π/2).
β)νταξ το β ηταν ευκολο, δεν το γραφω.
:p
Να μια λύση και απο μένα, πιο σύντομη από αυτή του Metal-Militiaman.
Θέτουμε με
Οπότε (εφαρμογή σχολικού βιβλίου)
Επομένως
για κάθε χ στο (-π/2,π/2)
και για χ=0 στην τελευταία παίρνουμε
για κάθε χ ανήκει στο (-π/2,π/2)
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Μήπως στο τέλος αντί να λες γιά κάθε x διάφορο των ρ1,ρ2,....,ρν θέλεις να πείς ίσον ?
Εχεις δίκιο ίσον ήθελα να γράψω, μπευρδεύτικα με το απο πάνω. Πάντως δεν νομίζω να δημιουργήθηκε πρόβλημα διότι είναι προφανές αυτό που ήθελα να γράψω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Άσκηση
Μιά άσκηση που μού έβαλε πρωτοετής φοιτητής στούς ΗΜΜΥ που τους την έβαλε ο καθηγητής τους.
Αν η πολυωνυμική συνάρτηση έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και απλές, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση αν είναι οι ρίζες της τότε γράφεται
επομένως η παράγωγος της θα είναι
Έτσι έχουμε
για κάθε
Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση έχουμε
επομένως (1)
για κάθε
Όμως από τον τύπο της παραγώγου έχουμε ότι
για κάθε επομένως η (1) ισχύει για κάθε άρα το ζητούμενο έχει αποδειχθεί αφού
για κάθε
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
αν ειναι ανηκει C νδο
οπου
Υψώνωντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο και κάνοντας τις πράξεις έχουμε διαδοχικά
Aπό τη σχέση της υπόθεσης όμως η τελευταία προφανώς ισχύει άρα ισοδύναμα και η αρχική μας σχέση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
αν e C και ισχυει να δειξετε οτι
sorry παιδια!δεν το εμαθα καλα,ετσι ειναι!
Αν τότε από τη σχέση έχουμε
Επομένως με αντικατάσταση βλέπουμε πως το ζητούμενο προφανώς ισχύει.
Για από την υπόθεση έχουμε
επομένως με αντικατάσταση το
δεύτερο μέλος γράφεται
και αναπτύσσοντας τα τετράγωνα έχουμε
οπότε το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας
edit:Ευχαριστώ τον manos66 για την επισύμανση του τυπογραφικού λάθους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΛΛΗ!!!!!!!!!!!!!!
εστω οτι f:R=R ωστε το ολοκληρωμα απο X μεχρι y της f(t) ειναι μικροτερο (<) απο f(x+y) για καθε x,y εR.Ναδειξετε οτι:
1.η φ:R=R με φ(x)= e^-Χ * (επι) το ολοκληρωμα απο το 0 μεχρι x της f(t) ειναι αυξουσα στο R.
2.να αποδειξετε οτι:ισχυει 2007*το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι το ln2006 της f(t) ειναι μικροτερο (<) απο2006*το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι το ln2007 της f(t).
3.υπαρχει χε(1,2) ωστε: (χ-1)*f(x)= το ολοκληρωμα απο 0 μεχρι χ της f(t).
καλη επιτυχια!!!!
(την ελυσα σε 10λεπτα κ 26δευτερολεπτα!!!)
α)H Φ είναι παραγωγίσιμη επμένως
διότι από την υπόθεση θέτοντας y=0 παίρνουμε
Επομένως η Φ είναι γνησίως αύξουσα
β)
και επειδή η Φ είναι γνησίως αύξουσα παίρνουμε
από που προκύπτει εύκολα το ζητούμενο
γ) Θέτουμε
για χ>0 παίρνουμε Φ(χ)>0 επομένως
από την υπόθεση για y=0 και για χ=2 παίρνουμε
Eπομένως η F ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. Bolzano οπότε προκύπτει το ζητούμενο.
Χριστός Ανέστη και Χρόνια Πολλά σε όλους
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Νομίζω έχεις φάει ένα f(x0) σαν κοινό παράγοντα και πρέπει το -1 να είναι κάτω, όχι στη δύναμη. Γι αυτό δεν φαίνεται καλά το αποτέλεσμα.
Έχεις δίκιο τώρα το πρόσεξα και εγώ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Μπορείς να μας πείς πώς έβγαλες πιό πριν το 2f '(xo)(a+2-a)?
Που βέβαια κάνει 4f '(xo) και όχι 2f '(xo) όπως λες.
Aυτό δεν το γράφω πουθενά.
Αρχική Δημοσίευση από manos66:Θα μπορούσες να τη γράψεις κι έτσι
Θεωρώ συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Θ. Rolle...
Έτσι ξεπερνάμε και το πρόβλημα σχετικά με το αν μπορώ ή όχι να βγάλω το έξω από το ολοκλήρωμα.
Ωραία σκέψη:no1:Ευχαριστώ πολύ
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Μπορεί να ισχύει αυτό
(1) αλλά δεν σημαίνει ότι θα ισχύει και αυτό
γιά κάθε χ που ανήκει στο (α,α+2)
Εγώ δεν λέω ότι απλώς αντικαθιστώ το
f(x+1)-f(x) με και επομένως παίρνουμε
Αυτό εννοείται ή κατάλαβα λάθος.
edit:Αυτό που με προβληματίζει είναι αν μπορούμε να θεωρήσουμε το ώς σταθερό αριθμό και να το βγάλω από το ολοκλήρωμα.
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
απο το βιβλιο "ολοκληρωματα" του δ.νταβου αντιγραφω μια πολυ ωραια ασκηση.
εστω f παραγωγισιμη στο [α,α+3] για την οποια υποθετουμε οτι ισχυει .να δειξετε οτι υπαρχει στο (α,α+3) ωστε η εφαπτομενη της στο να ειναι παραλληλη στον αξονα x.
edit: Λύση από τους manos66 και galois01
Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θέτουμε και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης γίνονται α και α+2.Οπότε η ισότητα της υπόθεσης γίνεται
(1)
Από ΘΜΤ για την f στο [χ,χ+1] παίρνουμε
με
Οπότε η (1) γίνεται
Θεωρούμε τη συνάρτηση h (x) = f (x) - f (x+1)
H h έχει ρίζες, διότι αν δεν είχε θα διατηρούσε σταθερό πρόσημο και το τελευταίο ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό.
Άρα υπάρχει γ τέτοιο ώστε h (γ) = 0 ή f (γ) = f (γ+1)
Oπότε από το Θ. Rolle προκύπτει το ζητούμενο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
- Δεν γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο IR
- Γιατί f(0) είναι διάφορο του 0;
Για το πρώτο έχετε δίκιο από βιασύνη είδα το f'(0) και δεν πρόσεξα οτι ζητάει στο (γ) ν.δ.ο είναι παραγωγίσιμη στο R.
Δεύτερον από το (α) έχουμε f(x) διάφορη του μηδενός για κάθε χ πραγματικό.
Θα κοιτάξω τώρα ν.δ.ο είναι παραγωγίσιμη και θα το διορθώσω.
Κώστας
edit:το διόρθωσα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, με f΄(0)=2 και ισχύει , για κάθε
α) Ν.δ.ο. , για κάθε
β) Ν.δ.ο. f(0) = 1.
γ) Ν.δ.ο. η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f΄(x) = 2 f(x) (x+1), για κάθε
δ) Να βρεθεί ο τύπος της f.
Αρχικά θα δείξω οτι η f είναι παραγωγίσιμη στο R
για το τυχαίο
θέτουμε με h->0 και χρησιμοπούμε τη σχέση της υπόθεσης οπότε το όριο γίνεται
στη συνέχεια προσθαφαιρούμε το
και τελικά παίρνουμε ότι το αρχικό όριο γίνεται
Άρα
(α) Παραγωγίζουμε την σχέση της υπόθεσης ως προς χ και παίρνουμε
(2) για κάθε χ πραγματικό
Υποθέτουμε οτι υπάρχει τέτοιο ώστε
Για η (2) μας δίνει
για κάθε χ πραγματικό
Η τελευταία για μας δίνει που είναι άτοπο από την υπόθεση αφού .
Άρα για κάθε χ πραγματικό
(Θα μπορούσαμε να παραγωγίσουμε και ως προς α και να θέσουμε μετα κτλ.)
(β) Για χ=α=0 η σχέση της υπόθεσης μας δίνει
και από το (α) παίρνουμε
(γ) Παραγωγίζουμε την σχέση της υπόθεσης ως προς χ και στη συνέχεια θέτουμε χ=0 όποτε προκύπτει
f΄(α) = 2 f(α) (α+1), και στη συνέχεια θέτουμε χ=α
(δ)Από το (α) μπορούμε να διαιρέσουμε με f(x) και κατα τα γνωστά προκύπτει
P.S Νομίζω τώρα οτι δεν υπάρχει κάποιο άλλο λαθος
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Φίλε Κώστα,εμένα μου άλλαξε την άσκηση εντελώς ξαφνικά (καψόνι!!).
-----------------------------------------
Ακολουθώντας αυτή τη φορά άλλο τρόπο λύσης,η μέγιστη τιμή του a μου βγαίνει .Η λύση μου έχει ως εξής:
Έστω ένα τυχαίο b>0.Έτσι έχουμε τη σχέση: ------> -------------> --------> .
Παίρνω και μελετώ τη μονοτονία της συνάρτησης g(b)=.Παρατηρώ ότι παρουσιάζει μέγιστο στο b= την τιμή a=.
Άρα ισχύει: .
Πολύ ωραία λύση φίλε Κώστα.:bravo: Ωστόσο δεν μπορώ να καταλάβω πως
εμείς θα είμαστε σίγουροι οτι βρήκαμε την μέγιστη τιμή που ζητάμε.Με τη
λύση που έδωσα πιο πάνω βγάζω ότι ενώ
εσύ βγάζεις . Πως γίνεται επομένως να
ισχύουν και τα δύο?
P.S προκύπτει και αν θεωρήσουμε και ολοκληρώσουμε όπως κάναμε προηγουμένως.
Φιλικά Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Δείτε και αυτό
Αν να βρεθεί η μέγιστη τιμή του α αν .
Συγνώμη για την αρχική έκφραση
H απάντηση που βρήκα είναι διαφορετική από αυτη του kvgreco, βρήκα max(a)=4017.Να η λύση μου
Ισχύει επομένως
επομένως με πράξεις
βρίσκουμε
Επομένως για να ισχύει
για κάθε χ στο [0,1] παίρνουμε
επομένως max(a)=4017
Αν έχω λάθος διορθώστε με.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Σωστός Κώστα
Εξήγησε αν θέλεις την επιλογή
Τυχαία;
Αρχικά δοκίμασα(αφού ξέραμε και το ολοκλήρωμα από μηδέν έως ένα f(x)dx) με αλλά είδα ότι δεν βγαίνει και απλά στη συνέχεια παρατήρησα πώς βγαίνει αν αντι για f(x)-1 είχαμε f(x)-2.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Πολυ σωστα!!απλα μια διορθωσουλα στο παραπανω...Στο (α) ερωτημα εχεις καταληξει οτι f(x)=g(x)+1....Mια χαρα ειναι η διαδικασια σου απλα πρεπει να αποδειξεις οτι f(x)=g(x)+x...απλα αλλαξε το 1 και καν το x..
Ευχαριστώ για την παρατήρηση μόλις το διόρθώσα Λάθος λόγω βιασύνης
@manos66:Μάνο τώρα διάβασα το μήνυμά σου αλλά δεν προλαβαίνω να γράψω τώρα τη λύση γιατί έχω έκθεση σε λίγο(μπλιαχ). Μόλις τελειώσω τα φροντιστήρια θα τη γράψω.
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Για τις συναρτήσεις f , g ισχύουν :
Ν' αποδειχθεί ότι :
- f , g παραγωγίσιμες στο R
- f΄(x + y) - g΄(x + y) = f΄(y) - g΄(y), για κάθε x , y πραγματικούς
- f (0) = g (0)
- f (1) = g (1) + 1
α. f (x) = g (x) + x, για κάθε x πραγματικό
β. οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των f και g στα σημεία με κοινή τετμημένη, τέμνονται πάνω στον άξονα y΄y.
(α) Θέτοντας y=0 παίρνουμε
επομένως
για κάθε
Θέτοντας στην τελευταία x=0 παίρνουμε c=0, επομένως για κάθε
Θέτοντας τώρα x=1 παίρνουμε
Τελικά παίρνουμε
(β) Οι εφαπτομένες στα και είναι
Λύνοντας την εξίσωση σε συνδιασμό με το (α) για x=x0 προκύπτει x=0
οπότε τελειώσαμε.
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
6) Υπολογίστε το
Θέτουμε
από που παίρνουμε ότι
οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται
και αντικαθιστούμε το u ...
Έλπίζω να μην έχω κάποιο λάθος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
galois01
Νεοφερμένος
Κώστας
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.