Άλλα μηνύματα του μέλους Nalfein σε αυτό το thread

εσυ με bolzano εδειξες οτι εχει τουλάχιστον μια ρίζα, και μετα είπες οτι η f δεν ειναι σταθερή άρα ειναι γνησίως αυξουσα αφου f'>=0 και εδειξες ετσι τη μοναδικότητα.

Εγώ σου απέδειξα οτι υπάρχουν άπειρες σταθερές συναρτήσεις που θα μπορούσαν να είναι η f

διαβασε το ποστ μου απο πανω, αυτο απέδειξα, οτι η c=x-xlnx εχει μια ακριβως ρίζα για κάθε 0<c<1

η τεκμηρίωση που ειπα ειναι για μετά το bolzano που είπες, χρησιμοποιώ την ίδια συνάρτηση g που έθεσες

Επιπλέον, οταν λέω σταθερή δεν ενοώ f(x)=0 αλλα f(x)=c (τουλάχιστον εγω αυτό ξερω οτι σημαίνει σταθερά, διόρθωσέ με αν ειμαι λάθος, δεν ασχολούμαι καιρό με μαθηματικα).

έστω οτι f(x)=c Οπου c σταθερά με 0<c<1
τοτε g(x)=xlnx-x+c
g συνεχής στο [1,e]
g(1)=c-1 <0
g(e)=c >0
αρα g(1)g(e)<0
bolzano => υπαρχει ξ στο ανοιχτο τετοιο ωστε g(ξ)=0

g'(x)=lnx >0 για καθε x στο (1,e), αρα αυξουσα και το ξ μοναδικό
Επομένως, έδειξα οτι η άσκηση ισχύει για κάθε σταθερά συνάρτηση f με 0<f(x)<1
Για ολες αυτές τις άπειρες συναρτήσεις ,λοιπόν, ισχύει οτι f'(x)=0 για καθε χ στο [1,e], επομένως η λύση σου δεν ισχύει

PS. δε μιλάω επιθετικά (αν φαινεται τιποτα τέτοιο απο το "η λύση σου δεν ισχύει"), παραγωγική συζήτηση κανω. Αν εχω πουθενά λάθος πες μου, οπως ειπα δεν εχω και φοβερή μαθηματική εμπειρια

Αρχική Δημοσίευση από mostel:

Καταρχήν θεωρείς τη συνάρτηση:



Έχουμε:

(αφού )

και

, για τον ίδιο λόγο.

Έτσι

Και επειδή είναι συνεχής, υπάρxει ένα τουλ. , από Θ. Bolzano, τ.ώ. .

Όμως , που σημαίνει ότι η είναι γνησίως αύξουσα (δε μηδενίζεται σε οποιοδήποτε σημείο του Π.Ο. της, άρα δεν είναι σταθερή, άρα και η πρώτα παράγωγος μηδενίζεται σε πεπερασμένα σημεία).

Αντίστοιχα παραγωγίζουμε τη G και βγάζουμε ότι είναι γν. αύξουσα. Άρα και η λύση είναι μοναδική!


Στέλιος

Click για ανάπτυξη...

Η τεκμηρίωση μετα το bolzano είναι λάθος, μπορει να ειναι f(x)=1/2 σταθερή απο τα δεδομένα που έχουμε. Μια καλύτερη τεκμηρίωση είναι οτι G(x) παραγωγίσιμη στο [1,e] με G'(x)=f'(x)+lnx+1-1=f'(x)+lnx
- Για x στο (1,e),
lnx>0 (1)
f'(x)>=0 (2)

(1)+(2) => G'(x)>0 για καθε x στο (1,e)

Έτσι, G'(x)>0 για καθε x στο (1,e) και G συνεχής στο [1,e] άρα G γνησίως αύξουσα στο [1,e], αρα και στο (1,e).Επομένως η ρίζα που βρέθηκε ειναι μοναδική στο (1,e)