Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Τι μορφή είχε το πρώτο ερώτημα; <<Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των εικόνων z,w>> ή <<Να δείξετε ότι ο γ.τ. του w είναι η ευθεία ψ=χ-2 και ο γ.τ. του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,-2) και ρ=3>>; Λογικά πρέπει να το ρωτάει με τη δεύτερη μορφή, γιατί αν απλά σου λέει βρες τους γεωμετρικούς τόπους δε σου έρχεται με τίποτα να βρεις τον z, γιατί πρέπει να προσθέσεις 2i και να βάλεις μέτρο.Αν σου δίνει έτοιμο το γεωμετρικό τόπο, σου έρχεται πολύ πιο εύκολα...Παιδιά, παραθέτω μια άσκηση μαθηματικών, όποιος έχει χρόνο και διάθεση ας με βοηθήσει
Δινονται οι μιγαδικοί Ζ=(5κ+i)/(1+κi), κεR και w=κ(1+i)+1-i, κεR
Αρχικά ζητούνται οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων τους, που είναι κύκλος με κέντρο Κ(Ο,-2) και ρ=3 και ευθεία: y=x-2, αντίστοιχα.
Το τελευταίο ερώτημα ειναι το εξής: να δειξετε οτι υπαρχει κεR ώστε |Ζ-W|= 3
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Δεν ξέρω αν το έχετε δει, αλλά άλλο ήθελαν να βάλουν για Δ4 στον ΟΕΦΕ στα μαθ. κατ. και το άλλαξαν τελικά γιατί εκείνο και αν ήταν τραβηγμένο...
Υπαρχει δυνατοτητα να το ανεβασεις;;;(εκτος αν ειναι παρανομο λογω πνευματικων δικαιωματων κλπ...);;;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Αν αναφερεσε στο κριτηριο συγκρισης,ναι! .
Κριτηριο συγκρισης λεγεται φανταζομαι η μεθοδος την οποια προτεινα εγω με την εφαπτομενη(δεν το εμαθα με αυτον τον ορο). Εδω εννοειται, αποδειξη με κριτηριο παρεμβολης! Αλλα αναφερομουν στη μεθοδολογια που προταθηκε απο τον DumeDuke,με το ΘΜΤ. Εκεινη θελει οπωσδηποτε αποδειξη, αφου το συμπερασμα δεν ισχυει για ολες τις γνησιως αυξουσες συναρτησεις(π.χ. εξεφρασα το αντι-παραδειγμα της -1/χ)...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Τι εννοεις "μπωρει να θεωρηθει συναρτηση"?Ειναι λιγο συναρτηση και λιγο σταθερος αριθμος? .Εγω μια χαρα συναρτηση την βλεπω,δεν ξερω γιατι σε κανενα βοηθημα πλεον δεν γραφετε ως g'(k(x)),σε πιο παλια βιβλια παντως ετσι το εχουν.
Φυσικα και δεν θελω να πω αυτο, αν ειναι δυνατον! Απλα το ειπα με αυτον τον τροπο για να μην προκαλεσω συγχυση. Φυσικα και το κ ειναι συναρτηση του χ, απλα η πληροφορια αυτη δεν ξερω σε τι μπορει να μας φανει χρησιμη, αφου δε γνωριζεις για την κ(χ) τιποτα αλλο παρα μονο οτι παιρνει τιμες για καθε χ μεγαλυτερο του ξ. Ουτε τον τυπο της ξερω, ουτε αν ειναι συνεχης, ουτε αν ειναι 1-1 κλπ... Γι αυτο, εξεφρασα την αποψη πως,για ευκολια, το g'(κ) μπορουμε να το δουμε σαν παραμετρο λ... Ελπιζω παντως να συμφωνουμε στο οτι η εφαρμογη της μεθοδολογιας αυτης χρειαζεται αποδειξη...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σε ό,τι αφορά την τελευταία παράγραφο: η g'(k), από μαθηματικής άποψης, μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση. Αλλά ποιος είναι ο τύπος της, αν είναι συνεχής ή όχι κλπ δε νομίζω πως μπορούμε να το βρούμε. Πιο εύστοχο πιστεύω πως θα ήταν να τη θεωρήσεις παράμετρο λ και να μιλήσεις για παραμετρική εξίσωση λ=g(x)-g(ξ)/χ-ξ ή λ(χ-ξ)+g(ξ)=g(x). Τέτοιες εξισώσεις λύναμε σε παλαιότερες τάξεις, αλλά έδινε η άσκηση ότι το λ είναι πραγματικός αριθμός, δηλαδή <<διατρέχει το R>>. Εδώ, όμως, δε γνωρίζουμε αν αυτό ισχύει για όλα τα χ, είτε στο R είτε στο +-άπειρο.Η αλήθεια είναι ότι μας στρίμωξες πολύ άγρια με το αντι-παράδειγμα της f(x)=-1/x. Τόσο εμένα, όσο και τον καθηγητή που μου έδωσε την εν λόγω λύση...
Ξεκινώντας με ένα γεγονός, το σίγουρο είναι ότι η μεθοδολογία αυτή δεν δίνει πάντα (σωστό) αποτέλεσμα. Το αντι-παράδειγμα σου δεν έχει λάθος και το μόνο βέβαιο είναι ότι, στη συγκεκριμένη περίπτωση, η μέθοδος οδηγεί σε λάθος αποτέλεσμα.
Ας γυρίσουμε στο Δ3 όμως. Η g(x) είναι παραγωγίσιμη στο (ξ,χ), υποσύνολο του R. Από το ΘΜΤ, στο διάστημα [ξ,χ], προέκυψε ότι υπάρχει g'(κ)=[g(x)-g(ξ)]/[χ-ξ]. Το ΘΜΤ ορίζει ότι η εξίσωση αυτή θα έχει τουλάχιστον μία λύση, στο διάστημα (ξ,χ) (την κ). Επίσης, η σχέση αυτή ισχύει για κάθε χ, με την g'(κ) να αλλάζει αριθμητική τιμή, καθώς το χ κινείται στο R. Άμα δώσω αριθμητική τιμή στο χ=1.000.000, θα υπάρχει κ<1.000.000 που θα επαληθεύει την εξίσωση. Άμα δώσω χ=1.000.000^2, και πάλι θα έχω λύση. Όσο και να αυξάνω απεριόριστα το χ, θα υπάρχει πάντα λύση στην εξίσωση.
Θεωρώ συνάρτηση k(x)=[g(x)-g(ξ)]/[χ-ξ] και ψάχνω να βρω το όριο της στο +[FONT="]∞[/FONT]. Έχω το δικαίωμα αυτό, καθώς το πεδίο ορισμού της k(x) είναι το R-{ξ}.
Επομένως, καθώς το χ αυξάνεται απεριόριστα (τείνει στο +[FONT="]∞[/FONT]), η συνάρτηση k(x) παίρνεις μια οριακή τιμή w (η οποία μπορεί να είναι αριθμός στο R ή [FONT="]∞[/FONT]). Την ίδια στιγμή, η παράσταση g'(κ) παίρνει την ίδια τιμή w. Επομένως η έννοια του ορίου στο +[FONT="]∞[/FONT] έχει νόημα.
Πίσω στην συνάρτηση f(x)=-1/x. ΘΜΤ στο [1,χ].
f'(κ)=[f(x)-f(1)]/[x-1]=[-1/x-1]/[x-1]=[1+1/x]/[1-x]. Παίρνοντας το όριο στο +[FONT="]∞ [/FONT]παρατηρούμε ότι ισούται με 0 (1/-[FONT="]∞[/FONT] ).
Λύνοντας ως προς f(x) και παίρνοντας το όριο στο +[FONT="]∞[/FONT] δημιουργείται απροσδιοριστία της μορφής (0)(+[FONT="]∞[/FONT]).
Σίγουρα υπάρχει κάτι μπαγκό, άμα επιχειρήσουμε ΘΜΤ στην f(x) και πάρουμε όριο στο +[FONT="]∞[/FONT]. Ίσως να είναι αυτό.
Όσον αφορά την άσκηση αυτή, καθώς και άλλες που έχω λύσει με αυτή τη μεθοδολογία, είχαν δύο κοινά στοιχεία:
1ον Σε υποερώτημα, πριν αυτό το ορίου, ζητούσαν να βρεθεί η κυρτότητα (Δ1). Συγκεκριμένα, η πρώτη παράγωγος έβγαινε γνησίως μονότονη συνάρτηση (δεν υπήρχαν ακρότατα στην πρώτη παράγωγο).
2ον Αν η συνάρτηση ήταν κυρτή, ζητούνταν όριο στο +[FONT="]∞[/FONT]. Αν ήταν κοίλη, στο -[FONT="]∞[/FONT].
Αυτό φαίνεται να έχει σημασία διότι:
Βρήκαμε ότι η g'(ξ)=0 και ότι g'(x) είναι γνησίως αύξουσα. Άρα η g'(x) δεν μπορεί να έχει ασύμπτωτη στο +[FONT="]∞[/FONT] την y=0. (Αποδεικνύεται και ίσως να το έχει και ο Παπαδάκης).
Διευκρινίζοντας, απλώς, το πρόσημο της παραγώγου και λύνοντας ως προς g(x), μπορείς να πάρεις όριο στο [FONT="]∞[/FONT], αφού η κυρτότητα σου έχει εξασφαλίσει ότι η g' δεν τείνει σε (θετικό ή αρνητικό) μηδέν. Άρα, δεν δημιουργείται απροσδιοριστία και το όριο βγαίνει σωστά. Ενδέχεται να χρειάζεται να προστεθεί η απόδειξη με την κυρτότητα.
Ωστόσο, σε περιπτώση που το πρόσημο της δεύτερη παραγώγου συμφωνεί με το πρόσημο του απείρου, στο όριο, η λύση που βγαίνει είναι σωστή. Σε κάθε άλλη περίπτωση...
Θεωρείται, λοιπόν, η g'(κ) συνάρτηση? Δεν ξέρω... 4 μήνες τώρα την μεταχειριζόμουν ως αριθμό. Η αλήθεια είναι ότι είναι πολύ ευκολότερο να το χρησιμοποιήσεις ως αριθμό, παρά ως συνάρτηση διπλής μεταβλητής. Ειδικά άμα σκεφτείς ότι δεν είχαμε αντιπαράδειγμα, όπως αυτό που έδωσες.
Από δω και στο εξής, δε νομίζω πως έχει νόημα να το αναλύσουμε βαθύτερα, διότι έχω την εντύπωση πως ξεφεύγει από την ύλη του σχολικού βιβλίου. Ένα είναι, πάντως, το σίγουρο: τη μεθοδολογία αυτή, αν θέλεις να τη χρησιμοποιήσεις, πρέπει να γράψεις πρώτα κάποια απόδειξη. Δε γνωρίζω αν σας την έχει δείξει ο καθηγητής σου ή αν υπάρχει στο βοήθημα του Παπαδάκη(στου Στεργίου, πάντως, δε θυμάμαι να υπήρχε). Πάντως, αν το γράψεις έτσι αυθαίρετα, δε νομίζω να σου δώσουν μονάδες, παρόλο που το όριο όντως βγαίνει σωστό. Αν τώρα δεν αισθάνεσαι σίγουρος για τη μεθοδολογία αυτή, είτε επειδή ίσως ξεφεύγει από την ύλη του λυκείου, είτε επειδή είναι μακροσκελής, είτε για οποιονδήποτε άλλο λόγο, θα σου πρότεινα να χρησιμοποιήσεις τη μεθοδολογία με την εφαπτομένη, η οποία υπάρχει σε όλα τα βοηθήματα(τουλάχιστον εγώ την έκανα στο φροντιστήριο και από τον Στεργίου) και τη θεωρώ <<standard>>.
Αυτή τη μεθοδολογία, πιστεύω, ήθελαν και αυτοί να εξετάσουν αν τη γνωρίζει ο υποψήφιος ή όχι. Γι αυτό το λόγο εξακολουθώ να θεωρώ ότι το Δ3 ήταν, για κάποιον καλά προετοιμασμένο μαθητή, βατό και γνωστό. Δεν πρόκειται ποτέ να σου βάλουν θέμα το οποίο να λύνεται μόνο με τη μεθοδολογία που πρότεινες εσύ ή ο καθηγητής σου, ούτε στις Πανελλήνιες, ούτε από τον ΟΕΦΕ. Ακόμα και να μη σου έδινε τη g'(2): μπορείς να πεις ότι, αφού η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα και μηδενίζει στο ξ, για κάθε χ>ξ η παράγωγος είναι μεγαλύτερη του 0. Άρα, παίρνεις τυχαίο α>ξ και λες ότι, αφού η g είναι παραγωγίσιμη στο α, ορίζεται πλάγια εφαπτομένη σε αυτό(νομίζω ότι αυτό ισχύει, αν και δε θυμάμαι αν το λέει ακριβώς έτσι στο βιβλίο), η οποία έχει μορφή: h(x)=g'(a)(x-a)+g(a). Αφού η g είναι κυρτή(πρέπει να σου δίνει ή να έχεις βρει κυρτότητα), ισχύει g(x)>=h(x) σε όλο το πεδίο ορισμού της g. Το όριο της h στο συν άπειρο είναι το συν άπειρο(αφού ξέρω ότι g'(a)>0), άρα η h, κοντά στο συν άπειρο, είναι μεγαλύτερη του μηδέν, άρα και η g(αφού είναι μεγαλύτερη ή ίση της h). Δηλαδή ισχύει g(x)>=h(x)>0 ή(έχω δικαίωμα να αντιστρέψω) 0<1/g(x)<=1/h(x), κοντά στο συν άπειρο. Από το κριτήριο παρεμβολής βλέπω ότι το όριο της 1/g(x) στο συν άπειρο ισούται με μηδέν και, επειδή(το απέδειξα πριν) η g είναι θετική κοντά στο συν άπειρο, το όριο της g στο συν άπειρο είναι συν άπειρο.
Όπως βλέπεις, ό,τι έκανα στη μέθοδο αυτή το αιτιολόγησα με βάση κανόνες του σχολικού βιβλίου ή τελοσπάντων κανόνες που έχω διδαχθεί καθ΄ όλη τη διάρκεια των σχολικών μου ετών.
Υ.Γ.: αν σε το ρωτήσουν αυτό στις πανελλήνιες, κατά πάσα πιθανότητα θα σου ζητήσει σε προηγούμενο βοηθητικό ερώτημα να βρείς την ανίσωση της συνάρτησης με την εφαπτομένη, οπότε μην ανησυχείς...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σωστό αυτό, αλλά εδώ δεν τίθεται θέμα <<διάθεσης>>. Οι διορθωτές, πόσο μάλλον οι μαθηματικοί, αξιολογούν τα γραπτά με βάση κάποιους κανονισμούς. Και, στη συγκεκριμένη περίπτωση, είναι υποχρεωμένοι να πάρουν την απάντηση αυτή ως σωστή.Κανόνας: ποτέ δε βασίζεσαι στις διαθέσεις των μαθηματικών :p
Εύχομαι καλή επιτυχία(αν είσαι υποψήφιος)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Προσωπικά, όταν ήμουν υποψήφιος, δεν κοιτούσα θέματα από το διαδίκτυο. Υπάρχουν χιλιάδες ιστοσελίδες με σκόρπιες ασκήσεις, που δε νομίζω πως θα είχε νόημα να δουλεύω ένα-ένα τα θέματα και να μην τελειώνουν ποτέ, με αποτέλεσμα να μην έχω χρόνο να κάνω επανάληψη τα όσα έχω επεξεργαστεί ήδη... Προτιμούσα να <<λιώσω>> Στεργίου και αυτά που κάναμε στο φροντιστήριο, και όντως έπεσαν πράγματα που είχα δει αρκετές φορές(εκτός Β3, στο οποίο, όμως, νομίζω πως πήρα 6 στις 8 μονάδες). Δηλαδή, μπορεί να πέσει θέμα που να ήρθε <<απ΄ τα σύννεφα>>, αυτό δε σημαίνει πως, αν δεν το έχω δει, δεν μπορώ να το λύσω κιόλας. Για ΄μένα η σωστή προετοιμασία δεν είναι του τύπου<<κοιτάω άπειρα δύσκολα θέματα, το καθένα από μια φορά>>, αλλά εμβαθύνω μέχρι ένα σημείο και αυτά που έχω επεξεργαστεί είμαι 100 τοις 100 σίγουρος ότι, αν πέσουν, θα τα λύσω... Βέβαια, ο καθένας έχει την άποψή του ως προς αυτό...Ναι, βέβαια υπάρχουν εναλλακτικές λύσεις , όπως αυτή που παρέθεσε ο Dream Theater και είναι απόλυτα αποδεδειγμένες.
Σαφώς και θα επιλέξεις τη λύση που μπορείς να αποδείξεις παρά εκείνη που δε μπορείς.
Όπως και στον κύκλο προτιμώ πάντα αλγεβρικές λύσεις.
Αυτή η άσκηση κυκλοφορούσε όλη τη χρονιά, δηλαδή την είχα δει και σε μεγάλo site.
Δεν νομίζω να ρθε απ τα σύννεφα...
Όσο για το να αιτιολογήσω όσο το δυνατόν πιο αναλυτικά την απάντησή μου έχεις φυσικά δίκιο. Αλλά αφού τόσο οι καθηγητές όσο και τα βοηθήματα προτείνουν σε ασκήσεις με ανισότητες και γεωμετρικές λύσεις σημαίνει πως είναι 100 τοις 100 αποδεκτές, αν και όχι πλήρως αιτιολογημένες. Γι αυτό το λόγο, δε νομίζω πως θα μου έκοβαν μονάδες αν έγραφα αυτό με την εφαπτομένη, αφού ομολογώ πως αυτό μου ήρθε ως πρώτη σκέψη...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σωστό αυτό, αλλά θέλει απόδειξη. Εγώ σου λέω ότι δεν είναι αυτή η ελάχιστη απόσταση. Τι θα μου πεις για να με διαψεύσεις;
Οι περισσότεροι το έγραψαν έτσι διαισθητικά, χωρίς καμία αιτιολόγηση.
Κανονικά θέλει, αλλά πιστεύω πως και χωρίς θα το πάρουν σωστό, αφού δεν εξετάζεσαι στη γεωμετρία. Για παράδειγμα, και η ελάχιστη απόσταση ευθείας-κύκλου, που πέφτει συχνά, κανονικά χρειάζεται απόδειξη, αλλά στο πλαίσιο των εξετάσεων δε νομίζω πως είναι απαραίτητο να τη γράψεις...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Ναι το χ είναι μικρότερο του 2 όμως η g είναι αύξουσα στο (ξ,2) και φθίνουσα πριν το ξ.Αν το ξ είναι τόσο κοντά στο 2 ακόμα και από την τιμή που τείνει το όριο τότε η g θα αλλάζει μονοτονία στο (χ,2) οπότε πως ξέρουμε ότι g(x)>-2;
Παρότι δεν είμαι μαθηματικός, θα κάνω μια προσπάθεια, προσεγγίζοντάς το κάπως έτσι:
Έτσω ότι ισχύει αυτό που λες, δηλαδή ότι το ξ βρίσκεται πιο κοντά στο 2 απ΄ ότι το χ στο όριό μου. Δηλαδή, αφού το χ μου τείνει στο 2 από τα αριστερά, τότε και το ξ θα τείνει στο 2 από τα αριστερά. Άρα, αφού g συνεχής στο ξ, g(ξ)=lim(x-->ξ)g(x)=lim(ξ-->2-)g(ξ)=g(2), αφού g συνεχής στο 2. Δηλαδή g(ξ)=g(2)=g(ρ)=-2. Βρήκαμε σε προηγούμενο ερώτημα ότι g'(ξ)=0, και επειδή η g' είναι γνησίως αύξουσα, μηδενίζει μόνο στο ξ, ενώ δεξιά του ξ είναι θετική και αριστερά του αρνητική. Δηλαδή, η g είναι γνησίως φθίνουσα για τιμές μικρότερες του ξ και γνησίως αύξουσα για τιμές μεγαλύτερες του ξ. Επομένως, η g έχει στο χ μοναδικό ολικό ελάχιστο, το -2. Δηλαδή, για κάθε χ διάφορο του ξ η g παίρνει τιμές μεγαλύτερες του -2. Απέδειξα, όμως, πρίν ότι τόσο στο 2 όσο και στο ρ παίρνει την τιμή -2, άρα αναγκαστικά ισχύει ρ=2=ξ. Αν ίσχυε αυτό, τότε εξαρχής δεν είχα δικαίωμα να χρησιμοποιήσω το θεώρημα Rolle, αφού το [ρ,2] δεν είναι διάστημα.
Πιστεύω πως, εφόσον έχω βρει το ξ από το θεώρημα Rolle, εννοείται ότι ξ μικρότερο 2 και μικρότερο από κάθε χ που τείνει στο 2 από τα αριστερά(δηλαδή κάθε χ που είναι σχεδόν 2).
Μπορεί, όμως, να έχω κάνει κάποιο λάθος...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Μια ερώτηση (ίσως λίγο χαζή) για το Δ3 του ΟΕΦΕ.Πως γνωρίζουμε ότι το ξ που έχουμε βγάλει από το Rolle είναι μικρότερο από την τιμή στην οποία τείνει το όριο ώστε να αποδείξουμε ότι g(χ)>-2;
Οταν λες οριο της g στο δυο, εννοειται πως οσα γραφεις ισχυουν ΚΟΝΤΑ στο δυο, οποτε σιγουρα χ μεγαλυτερο του ξ. Επειδη λεει οριο στο δυο πλην, οσα γραφεις ισχυουν κοντα στο δυο ΑΠΟ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ, οποτε χ μικροτερο του 2.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Γιατι να μη σκεφτεις αυτο με το ΘΜΤ; Ηταν σε μορφη που παρακινουσε να το χρησιμοποιησεις, εμεις την ειχαμε κανει στο φροντιστηριο και υπηρχε τουλαχιστπν 5-6 φορες ως λυμενο στο βοηθητικο μου αυτη η ιδεα...Περα απτο β3 , δλδ θα ησασταν σε θεση στο 4ο να θεωρησετε διαστημα δικο σας για θμτ, να βγει αυτο που σας καυλωσε για να βγει κυρτη?εγω βλεπω οτι τα δυο τελευταια χρονια μαθηματικα τα γαμησαν ολα.
Συγκρινετε το 4ο του 10 με το περυσινο η το προπερσινο.
Βεβαια τα μαλακιστηρια του οεφε βαζοντας τετοια θεματα δειχνουν πως υποτιθεται διδαχτηκαν στα φροντιστηρια, με αποτελεσμα η επιτροπη να κρινει εσφαλμενα.
Μπορεί κάποιος να λύσει το 2ο και το 3ο θέμα του οεφε 2014 στα μαθηματικά κατεύθυνσης ή έστω να μας πει πως βγαινει περιπου το αποτέλεσμα?
Δεν εχω τα θεματα μπροστα μου, αλλα απο το β αυξημενης δυσκολιας ηταν η ανισοτητα και απο το γ το οριο, απ οτι θυμαμαι. Στο β λες οτι η ελαχιστη αποσταση ειναι αυτη της ευθειας που βρηκες απο την ευθεια η οποια ειναι παραλληλη σε αυτη και εφαπτεται στην παραβολη. Στο γ διαιρεις και πολλαπλασιαζεις με χ+2/x+1 - 1, οποτε φευγει το χ+1 μπροστα απο την g και το λυνεις με ορισμο της παραγωγου. Πρεπει απο την αρχη, δηλαδη, να πονηρευτεις οτι θα το λυσεις με ορισμο παραγωγου...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Και εγω πιστευω οτι η λυση στο δ3 ειναι λαθος,για αλλο λογο βεβεα τον οποιο βαριεμαι να ξαναγραψω,και η δικη σου σκεψη νομιζω ειναι σωστη.
Αυτο εγραψα πριν μερες : "Em ναι για το ξ δικιο εχεις πρεπει να ειδα λαθοσ διαστημα,το ξ ειναι αριθμος ναι.Το g'(k) ομως ΔΕΝ ειναι αριθμος,ειναι συναρτηση του χ.Δεν ειμαι σιγουρος αν ειναι σωστο να γραψεις με τετοια "Ευκολια" οτι δεν επηρεαζει την τιμη του οριου(το οποιο δεν συμβαινει καθως το επηρεαζει).."
Το θέμα είναι πως αυτό που βρήκα από το ΘΜΤ είναι εξίσωση και όχι ο τύπος της g. Στην περίπτωση αυτή τα όρια συμπτωματικά συμπίπτουν, αυτό όμως δε σημαίνει πως η λογική είναι σωστή. Αν πω π.χ. ότι <<υπάρχει κοινό σημείο της g με την ευθεία ψ=χ+2, δηλαδή ότι η εξίσωση g(x)=χ+2 έχει λύση>> δεν μπορώ να πω ότι το όριο της g στο άπειρο ισούται με το όριο του χ+2 στο άπειρο και άρα είναι συν άπειρο. Ακριβώς με την ίδια(λανθασμένη) λογική δούλεψα κι αυτή τη στιγμή...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Φυσικά ισχύει αυτό. Μα δεν ψάχνω το όριο της παραγώγου στο άπειρο, αλλά το όριο της f στο άπειρο. Δες λίγο τη λύση που πρότεινε ο DumeNuke στο Δ3... Για να βρεί το όριο της g στο άπειρο, δε χρησιμοποίησε τη μονοτονία της παραγώγου, αλλά μόνο τη μονοτονία της g(γνησίως αύξουσα στο (ξ,συν άπειρο)). Αν η λύση αυτή είναι αποδεκτή, τότε μπορώ να ισχυριστώ ότι κάθε γνησίως αύξουσα συνάρτηση έχει όριο στο συν άπειρο το συν άπειρο. Η συνάρτηση στο παράδειγμά μου είναι γνησίως αύξουσα στο (ξ,συν άπειρο), κι όμως, το όριό της στο συν άπειρο ισούται με μηδέν.Στο παράδειγμα που αναφέρεις πάντως, αν σχεδιάσεις την f', θα δεις ότι στο +οο τείνει στο 0.
Με το Θ.Μ.Τ., δηλαδή, ο DumeDuke απλώς απέδειξε πως, όταν η παράγωγος της g πάρει την τιμή κ, ισούται με (g(x)-g(ξ))/χ-ξ, για οποιοδήποτε χ>ξ. Η g του θέματος Δ3 θα μπορούσε κάλλιστα να είναι η -1/χ, αφού είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα (ξ, συν άπειρο), με ξ>0. Τότε, εξισώνοντας, παίρνω -1/χ=g'(k)(x-ξ)+g(ξ), και, παίρνοντας τα όρια, βγαίνει 0=συν άπειρο, κάτι το οποίο προφανώς δεν ισχύει!
Όπως είπα και πριν, όμως, ίσως να κάνω κάπου λάθος, γι αυτό διατηρώ τις επιφυλάξεις μου και δε βάζω το χέρι μου στη φωτιά...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Χωρίς να έχω θυμάμαι ακριβώς την άσκηση, όλα τα ερωτήματα,κτλ, ο καθηγητής μου στο Δ3 βρει το όριο χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη. Γιατί να μην επιτρέπεται να πάρεις όριο; Και άλλες ασκήσεις έτσι τις λύνουμε (πω πω,τι κατατοπιστική που είμαι!) Η g είναι κυρτή νομίζω και πάνω από την εφαπτομένη, άρα, αν η εφαπτομένη τείνει στο +oo, τότε και η g θα τείνει στο +οο.
Ναι, αυτος ειναι ο σωστος τροπος που λες, και αυτον προτεινα κι εγω. Λεω για τον αλλο τροπο λυσης που προταθηκε, με το ΘΜΤ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Καλησπέρα,Λύση στο Δ1.
Λύση στο Δ2.
Λύση στο Δ3.
Λύση στο Δ4. Συνοδευτικό σχήμα.
Διευκρινήσεις και σχόλια δεκτά.
Ευχαριστούμε νίκο για τα θέματα!
edit: Διόρθωση στο Δ1 και στο Δ3.
edit: Διόρθωση στο Δ4. Προσθήκη γραφήματος.
ρίχνοντας στη λύση που πρότεινες στο Δ3 μια δεύτερη ματιά, νομίζω πως δεν είναι σωστή, εννοείται χωρίς να βάλω το χέρι μου στη φωτιά.
Η g'(κ)=(g(x)-g(ξ))/χ-ξ ή g(x)=g'(κ)*(χ-ξ)+g(ξ) είναι μια εξίσωση, όχι ο τύπος της g. Επομένως, δεν είσαι σίγουρος αν η εξίσωση αυτή έχει λύση κοντά στο συν άπειρο, άρα δεν έχεις δικαίωμα και να πάρεις όριο στο άπειρο.
Θα παρουσιάσω ένα παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση f(x)=-1/x, που ορίζεται στο R*. Η παράγωγός της είναι η f'(x)=1/x² και είναι θετική στο R*. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στα ανοικτά διαστήματα πλην άπειρο μέχρι μηδέν και μηδέν μέχρι συν άπειρο. Παίρνω, τώρα, ένα ξ το οποίο είναι ανάμεσα στο μηδέν και το συν άπειρο και ένα σταθερό χ>ξ, πάλι ανάμεσα στο μηδέν και στο συν άπειρο. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Δ=[ξ,χ]. Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ για την f στο Δ, άρα υπάρχει κ στο (ξ,χ) τέτοιο, ώστε f'(κ)=(f(x)-f(ξ))/χ-ξ ή f(x)=f'(κ)(χ-ξ)+f(ξ)(1). Αν πάω τώρα με τη λογική που πρότεινες, το όριο της f στο συν άπειρο, σύμφωνα με την (1), είναι συν άπειρο, αφού f'(κ)>0. Αλλά, τόσο αλγεβρικά όσο και από τη γραφική παράσταση της f βλέπεις ότι το όριο της f στο συν άπειρο ισούται με μηδέν...
Ξαναλέω ότι δεν έιμαι μαθηματικός και ότι υπάρχει πιθανότητα να έχω κάνει κάποιο λογικό(ίσως και γελοίο) λάθος στην επιχειρηματολογία μου ή να μην έχω δει το θέμα από τη σωστή πλευρά κλπ... Γι αυτό, αν μπορείς, ρώτα κάποιον καθηγητή σου αν θέλεις να είσαι σίγουρος...
Εννοείται πως κάθε υπόδειξη ή σχόλιο από οποιονδήποτε User του ischool είναι δεκτή...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Εντάξει στανταρισμένα δεν τα λες αλλά όντως δεν τα λες και από άλλον πλανήτη.Βασικά τώρα που τα ξαναβλέπω το Δ1 και το Δ2 δεν ήταν δύσκολα.Το Δ4 δεν πρόλαβα να το κάνω γιατί άμα δεις όλο το διαγώνισμα είχε πάρα πολλά και είχε δύσκολα ερωτήματα στο δεύτερο και στο τρίτο θέμα.Το Δ3 όμως πραγματικά ξέφευγε.Το βοήθημα του Στεργίου όχι μόνο το έχω αλλά το έχω λιώσει κιόλας αλλά ερώτημα σαν το Δ3 δεν νομίζω να έχει.
Κι εγώ το βοήθημα το είχα λιώσει, όταν ήμουν υποψήφιος, όπως κι εσύ. Αυτόν τον τρόπο που πρότεινα με την εφαπτομένη στο Δ3 τον έχει, αν θυμάμαι καλά, μόνο στα άλυτα, δεν το έχει σαν λυμένο. Τώρα δεν μπορώ να σου πω ακριβώς σελίδα, γιατί το βιβλίο το έχω δώσει σε έναν φίλο. Ακριβώς ίδιο με το Δ3 δεν έχει, αλλά όλα τα εργαλεία που χρειάζεσαι για να λύσεις το θέμα αυτό υπάρχει στο βοήθημα, απλώς πρέπει να τα συνδυάσεις. Από τα υπόλοιπα έχω δει μόνο το Β, αλλά όσον αφορά το χρόνο το καταλαβαίνω, η κυριότερη δυσκολία στα θέματα του ΟΕΦΕ είναι η ποσότητα των θεμάτων...
ΟΚ, απόψεις είναι αυτές...Τον Στεργίου δεν τον θεωρώ δύσκολο. Τον 2ο τόμο τον θεωρώ απογοητευτικό.
Και εγώ έχω δουλέψει δύσκολα θέματα και όχι από βοηθήματα που χρησιμοποιούνται από όλους όπως π.χ. Μπάρλας και όντως, όταν βλέπω κάτι περίεργο δεν... πελαγώνω αμέσως. Απλά, αυτά που έπρεπε να κάνεις στο τρίτο υποερώτημα κυρίως, ήταν...πολλά. Δεν λέω, τέταρτο θέμα είναι, λογικό να είναι δύσκολα. Απλά νομίζω ότι εκείνη την ώρα, όσο ψύχραιμοι και να ήμασταν στα διαγωνίσματα του φροντιστηρίου, στις ασκήσεις που λύναμε στο σπίτι, κτλ, δεν θα μπορέσουμε να είμαστε τόσο ψύχραιμοι. Στις εξετάσεις εξάλλου υπάρχουν πολλοί παράγοντες που μπορεί να επηρεάσουν την ψυχολογία σου. Μπράβο σου που το έλυσες εκείνη τη στιγμή που έγραφες τα θέματα, αλλά το γεγονός ότι πολλοί ακόμα μαθητές αλλά και καθηγητές, βρήκαν το Δ3 λίγο τραβηγμένο ή δεν πρόλαβαν να το γράψουν, αποδεικνύει ότι δεν είναι και τόσο απλό (και για αυτό μπράβο σου και πάλι!) Τέλος πάντων, με λίγα λόγια, αυτό που εννοώ είναι ότι τώρα μπορεί να μας φαίνονται "στανταρισμένα" και απλά, αλλά εκεί δεν ξέρεις πως θα το πάρεις. Καλή επιτυχία εύχομαι.Πάω να τελειώσω ένα σχέδιο τώρα
Και σ εσένα εύχομαι καλή επιτυχία! Δεν είμαι φετινός υποψήφιος, οπότε δεκτό και λογικό να ισχυριστείς πως τα λύνω <<εκ του ασφαλούς>>. Πάντως όταν έπρεπε να τα λύσω(πέρσι δηλαδή), τα έλυσα... Απλώς τώρα που βλέπω τα θέματα και τα χαρακτηρίζουν όλοι δύσκολα, ενώ εμένα ας πω πως μου φάνηκαν γνωστά και μέτρια προς το δύσκολο, βλέπω για άλλη μια φορά ότι, ως υποψήφιος, είχα κάνει την απόλυτα σωστή προετοιμασία. Αλλά, όπως είπες πολύ σωστά, η επιτυχία εξαρτάται και από άλλους παράγοντες εκτός από την προετοιμασία. Επίσης έχεις δίκιο όσον αφορά το χρόνο, η κυριότερη δυσκολία των θεμάτων του ΟΕΦΕ είναι η ποσότητά τους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Nαι, σκεφτείτε πόσο θα αποδίδατε σε ένα τέτοιο θέμα σαν το τέταρτο του οεφε (σε κάποια συγκεκριμένα ερωτήματα βασικά) στις εξετάσεις, κάτω από το άγχος και την ψυχολογική πίεση, ειδικά αν δεν είχατε λύσει και κανένα ακόμα ερώτημα, και μετά παίξτε το άνετοι.. Ωραία σαν άσκηση, δεν λέω, αλλά δεν νομίζω πως στις πανελλαδικές θα μπορούσαμε να τη βγάλουμε τόσο άνετα όσο τη συζητάμε εδώ. Εκτός και αν είστε κορυφαία μυαλά,τι να πω,κι αυτή η περίπτωση υπάρχει, πάω πάσο τότε. Αλλά ας είμαστε και λίγο ρεαλιστές.
Ισα ισα, το να εχεις δουλεψει ολο το χρονο ιδια και πιο δυσκολα θεματα απο βοηθηματα(εγω τα εκανα π.χ. απο του Στεργιου) βοηθαει κυριως ψυχολογικα, αφου μολις βλεπεις ενα δυσκολο θεμα, δεν τα χανεις, παραμενεις ψυχραιμος και το λυνεις με πολλη περισσοτερη ανεση απο τους υπολοιπους. Τα θεματα επιμενω πως, αντικειμενικα, δεν ειχαν κατι το υπερβολικα δυσκολο και πονηρο, ενας μαθητης του 20, με προυποθεση να εχει καθαρο μυαλο,επρεπε να τα ειχε λυσει.Μπορει να απαιτειται μια ευστροφια και σκληρη προετοιμασια για να τα λυσεις, αλλα οχι να εισαι ο επομενος Αινσταιν. Οσο για το ρεαλιστες, ο μονος τροπος να φτασεις στην κορυφη της κοινωνικης πυραμιδας ειναι ακριβως το να σκεφτεσαι σε διαστασεις που ειναι στο οριο του ρεαλιστικου, ισως και να το υπερβαινουν. Οι ρεαλιστες ειναι συνηθως οι ηττημενοι,τουλαχιστον κατα τη δικη μου αντιληψη...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Περισσότερο με ενδιαφέρει αν έχεις εναλλακτική μέθοδο στο Δ4.
Το όλο θέμα, έτσι όπως το έλυσα, βασίζεται στο να πάρεις σωστά διαστήματα για το ΘΜΤ. Οκ, εγώ έβαλα τις συναρτήσεις στο geogebra και βγήκε τσακ-μπαμ. Αλλά να κάνεις μελέτη συνάρτησης, να τις ζωγραφίσεις όλες σε κοινό σύστημα, για να δεις ποια διαστήματα δεν συμπίμπτουν... Είναι ένα ολόκληρο υποερώτημα από μόνο του.
Δεν πιστεύω πως χρειάζεται να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις... Στην πρώτη περίπτωση είναι 0<χ<1, οπότε το 1+χ-χ³ είναι μεγαλύτερο του 1 και το χ μεγαλύτερο του χ³, άρα παίρνω ΘΜΤ στα διαστήματα [1,1+x-x³] και [x³,x]. Είναι χ<1 και χ³<1, άρα το δεύτερο διάστημα δεν έχει κοινό σημείο με το πρώτο. Όμοια και στην περίπτωση χ>1: διαστήματα [1+x-x³,1] και [x,x³]. Είναι χ>1 και χ³>1, οπότε τα διαστήματα πάλι δεν έχουν κοινό σημείο. Στην πρώτη περίπτωση, δηλαδή, το δεύτερο διάστημα βρίσκεται αριστερά του πρώτου, ενώ στη δεύτερη περίπτωση δεξιά του, αλλά και στις δύο περιπτώσεις είναι ξένα μεταξύ τους. Κάπως έτσι θα το έγραφα εγώ, αν ήμουν υποψήφιος...
Μιλας για το κριτ.συγκρισης φανταζομαι.Πολυ καλη αυτη η λυση μπραβο σου φιλε!πραγματικα εξυπνη!
Βασικά αν σου ζητάει στο <<ξεκάρφωτο>> να βρεις όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο συνήθως πάει το μυαλό σε αυτό το κριτήριο, αν έχεις λύσει πολλές τέτοιες ασκήσεις. Αλλά στις πανελλαδικές, αν βάλουν τέτοιο ερώτημα, κατά πάσα πιθανότητα θα έχεις βρει από προηγούμενο <<βοηθητικό>> ερώτημα την ανισοτική σχέση συνάρτησης-εφαπτομένης. Έχουν δικαίωμα να το ρωτήσουν και χωρίς, απλά μετά είναι πολύ δύσκολο να το σκεφτείς αν δεν έχεις λύσει αρκετά παρόμοια θέματα...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Εχεις τεσσερα ακρα διαστηματος 1,χ,χ^3,1+χ-χ^3 κανεις ΘΜΤ στα δυο διαστηματα που σχηματιζονται απο αυτους τους τεσσερις αριθμους αλλα πρεπει να παρεις περιπτωσεις για να τους διαταξεις.Οταν βρω χρονο θα το προσπαθησω προς το παρον παω να διαβασω ΑΟΔΕ.
Οι περιπτώσεις είναι χ>1 και 0<χ<1. Και στις δύο εύκολα αποδεικνύεις ότι τα άκρα των δύο διαστημάτων δεν συμπίπτουν για κανένα χ. Επομένως, μιλάμε για ξένα διαστήματα, οπότε η εξίσωση για x διάφορο του 1 είναι αδύνατη(η g' είναι "1-1").
Λύση στο Δ1.
Λύση στο Δ2.
Λύση στο Δ3.
Λύση στο Δ4. Συνοδευτικό σχήμα.
Διευκρινήσεις και σχόλια δεκτά.
Ευχαριστούμε νίκο για τα θέματα!
edit: Διόρθωση στο Δ1 και στο Δ3.
edit: Διόρθωση στο Δ4. Προσθήκη γραφήματος.
Στο Δ1 μπορούσες να πάρεις απευθείας συνάρτηση f, πηγαίνοντας όλα στο πρώτο μέρος της ανίσωσης. Στο Δ2 πρέπει να κάνεις και μια μικρή και εύκολη απόδειξη ότι οι εξισώσεις f(ρ)=0 και g(ρ)=-2 είναι ισοδύναμες(λες έστω g μεγαλύτερη του -2 και ύστερα έστω μικρότερη του -2, και στις δύο περιπτώσεις η f βγαίνει μεγαλύτερη και μικρότερη του 0 αντίστοιχα). Το Δ3 εγώ κάθισα και το έλυσα χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της g στο 2(έχω από προηγούμενο ερώτημα ότι g'(2)>0) και το ότι, αφού η g' είναι γνησίως αύξουσα, η g είναι κυρτή, άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο 2 εκτός από το σημείο επαφής τους(χρειάζεται όμως να κάνεις και μια μικρή απόδειξη, χρησιμοποιώντας το Κριτήριο Παρεμβολής, για να βρεις ότι το όριο της g στο άπειρο είναι και αυτό συν άπειρο).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Νομάρχης
Εκκολαπτόμενο μέλος
Β2:
Θεωρείς τυχαίο σημείο Μ(Xo, - (Xo^2)/2) της παραβολής.
Εφαρμόζεις τον τύπο απόστασης σημείου από ευθεία για το σημείο Μ και την ευθεία του ερωτήματος Α.
Στον αριθμητή προκύπτει τριώνυμο του οποίου βρίσκεις ελάχιστη τιμή.
Αντικαθιστάς την τιμή στον τύπο και βγαίνει το ζητούμενο.
Εγώ κάθισα και το έλυσα ως εξής: η ελάχιστη απόσταση της ευθείας ε: x-y+4=0 από την παραβολή x²+2y=0(έστω g(x)=-x²/2) ισούται με την απόσταση της ε από την ευθεία ε1, η οποία είναι παράλληλη στην ε και αποτελεί εφαπτομένη σε ένα σημείο της παραβολής. Δηλαδή, βρίσκω την τετμημένη α για την οποία ισχύει g'(a)=1, οπότε η ε1 έχει μορφή y-g(a)=g'(a)(x-a). Παίρνω τυχαίο σημείο Α της ε1 και υπολογίζω την απόσταση του Α από την ε. Νομίζω πως και αυτός ο τρόπος είναι αποδεκτός...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.