ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
, καθώς .
Άλλη άσκηση:
Έστω ότι οι τρεις διαφορετικοί πραγματικοί ικανοποιούν τη σχέση για κατάλληλο . Δείξτε ότι .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
νδο. .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
1) Παρατηρήστε ότι έχουμε 9 κλάσματα τα οποία μπορεί να είναι μεγαλύτερα, μικρότερα ή ίσα της μονάδος. Αν θεωρήσουμε το πρώτο κλάσμα μεγαλύτερο της μονάδας (ισοδύναμα x > 2020), τότε προκύπτει ότι όλα τα κλάσματα είναι μεγαλύτερα της μονάδας. Όμοια αν χ < 2020 όλα τα κλάσματα προκύπτουν θετικά μικρότερα της μονάδας. Άρα αντίστοιχα η παράσταση είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από 9, οπότε μας μένει μόνο η περίπτωση χ = 2020.
2) (όμοια στα υπόλοιπα κλάσματα)
Άρα η εξίσωση μετασχηματίζεται στην κ.ο.κ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Άρα no λύσεις στο R
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ξάροπ από που βρίσκεις τις ασκήσεις που παραθέτεις?
Βιβλία άλγεβρας, κυρίως ξενόγλωσσα. Οι τελευταίες είναι από το βιβλίο Equations & Inequalities, από τη Μαθηματική Εταιρεία του Καναδά. Εννοείται ότι το βιβλίο έχει και πολλά πράγματα ανεβασμένου επιπέδου, οπότε μπαίνουν ασκήσεις που ταιριάζουν (ε, κάπως) στα πλαίσια δυνατοτήτων των μαθητών Α' Λυκείου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Στο ίδιο μοτιβω θεωρω το τριωνυμο ως προς α βγαζω ριζες , εφαρμοζω τριγωνικη και βγηκε
Καλά, κάντε και τη διαδικασία για εξάσκηση
Κάτι διαφορετικό τώρα, δείξτε ότι
Μπορεί να μου πει κάποιος μερικά πράγματα για τους μιγαδικούς?? Τι είναι, που χρησιμεύουν και πώς συνεχίζεται η διακρίνουσα με μιγαδικούς?
Από τις αλγεβρικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού / πρόσθεσης στο R προκύπτει ότι κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο στην αλγεβρική μορφή z = x+iy, όπου x,y πραγματικοί και i η φανταστική μονάδα (για την οποία αποδεικνύεται ότι ).
- Από την παραπάνω μορφή το x λέγεται και αλλιώς 'πραγματικό μέρος του z' και συμβολίζεται συνήθως με Re(z) (από το real)
- Όμοια το y λέγεται και 'φανταστικό μέρος του z' και συμβολίζεται με Im(z) (από το imaginary)
- Αν Re(z) = 0, τότε ο z = iy λέγεται και αλλιώς φανταστικός (και βρίσκεται πάνω στον y-αξονα του μιγαδικού επιπέδου)
- Αν Im(z) = 0 τότε ο z = x είναι πραγματικός αριθμός (και βρίσκεται πάνω στον x-άξονα, ή όπως είναι γνωστό σε σας τον άξονα των πραγματικών)
- Συζυγείς μιγαδικοί είναι οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει ότι έχουν ίσα πραγματικά μέρη και αντίθετα φανταστικά μέρη
- Μέτρο μιγαδικού z είναι γεωμετρικά η απόσταση της εικόνας του M(x,y) από την αρχή Ο του μιγαδικού επιπέδου. Άρα
- Ότι ισχύει για τους μιγαδικούς ισχύει και για τους πραγματικούς, αφού το R είναι υποσύνολο του C
Η χρησιμότητά τους είναι ολόκληρη ιστορία, απλά ενδεικτικά δες εδώ (https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Applications). Να πω επίσης ότι η ύπαρξή τους είναι σύμφωνη με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, που λέει ότι κάθε μη-μηδενικό πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές και βαθμό n έχει ακριβώς n ρίζες.
Όσον αφορά τη διακρίνουσα σε τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, ακολουθείται κανονικά η διαδικασία επίλυσης τριωνύμου ως προς εύρεση ριζών (όπως νομίζω μάθατε στο γυμνάσιο), απλά στην περίπτωση Δ < 0 το τριώνυμο
μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως
Άρα σε αυτήν την περίπτωση παίρνετε τις δυο συζυγείς μιγαδικές ρίζες .
Τώρα αν μιλάμε για τριώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές, η διαδικασία αλλάζει, θα τα πούμε άλλη φορά...
Επίσης σημαντικό: γενικά δε νοείται διάταξη των μιγαδικών, αφού είναι σημεία στο επίπεδο και δε βρίσκονται σε συγκεκριμένο άξονα όπως οι πραγματικοί (δηλ. δεν μπορείς να πεις ότι αυτός ο μιγαδικός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Κι ένα άλλο πάνω στα τρίγωνα: Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου, δείξτε ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
τότε πρέπει ν.δ.ο. , όπου
Ισχύει ότι (1)
Επίσης ,
,
Άρα η (1) γράφεται ως
, ο.ε.δ.
Και για την (2)
Από εδώ λαμβάνουμε ότι , ή , ή
Άρα για περιττά n θα ισχύει ότι κ.ο.κ.
Από εδώ και πέρα το αποτέλεσμα είναι προφανές, λχ. αν a = -b τότε
.
Και μια νέα:
Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου, τότε
(Υποδ.: Θεωρήστε τριώνυμο ως προς )
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
2) Να δείξετε ότι αν οι πραγματικοί a,b,c ικανοποιούν τη σχέση , τότε για κάθε περιττό φυσικό n ισχύει .
(γνωστή άσκηση η 2)
Όσον αφορά τον ορισμό του δεύτερου ριζικού, κανονικά μια χαρά είναι, εφόσον μιλάμε για περιττής τάξεως ρίζα (άρα είναι ο πραγματικός αριθμός που υψωμένος στην τρίτη θα μας δώσει μείον δύο ένατα). Για κάποιο λόγο στην ελληνική βιβλιογραφία επιμένουν να διώχνουν τα αρνητικά πρόσημα από τα ριζικά. Θεωρήστε ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Χρησιμοποιώντας την πρώτη σχέση θέτουμε κι έχουμε
. (x>0)
Αν τώρα θέτουμε κι έχουμε
.
i) Από Bernoulli, .
ii) Η ανισότητα γράφεται ως
Από την Bernoulli είναι .
iii) Κάνοντας όμοια πράξεις θα αναχθείτε στην που επίσης ισχύει από Bernoulli.
Από τη διωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε:
Παρατηρούμε ότι κάθε όρος γράφεται ως
άρα για κάθε i = 0,1,2,...k προκύπτει το ζητούμενο
Από εκεί προφανώς αφού
προκύπτει .
Μια άλλη ερώτηση τώρα. Αν έχουμε n 3αρια στον αριθμό και n-1 4άρια στον αριθμό , ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Αρα: x+y+z >= 3 επι την 3η ριζα του xyz
x+y+z <= 3 επι 3η ριζα του 1/8 (που ισουται με 1/2)
Εδώ υπάρχει ένα θέμα. Έχεις δείξει ότι και
αλλά δεν συνεπάγεται από αυτά το δεύτερο σκέλος! Είναι σα να λες
(γενικά η παραπάνω ανισότητα μάλλον ξεφεύγει κατά πολύ από το τόπικ)
Τάσο καλή η επαγωγή αλλά δες τι μπορείς να κάνεις και με τη βοηθητική σχέση που γράφω πάνω-πάνω. (και πρόσεξε ότι x > -1 και όχι απλά x > 0)
Δε νομίζω οι παραπάνω ανισότητες να χρειάζονται απόδειξη (τουλάχιστον η Cauchy-Schwarz που είναι η βασικότερη μάλλον)! Εκτός αν χρησιμοποιείται κάποια ανισότητα άγνωστη, εκεί ίσως χρειαστούν δυο λόγια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Για παράδειγμα, ένα 2x2 τετράγωνο περιέχει μέσα του και ένα x τετράγωνο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
και να βρούμε το σημείο της με τη μικρότερη δυνατή διανυσματική ακτίνα....με άλλα λόγια αρκεί να βρούμε την απόσταση της αρχής των αξόνων Ο από την ευθεία, κάτι που απλά αποτελεί εφαρμογή του τύπου
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν , τότε έχουμε από την παραπάνω
Επομένως αρκεί ν.δ.ο.
EDIT: Λάθος στις πράξεις. Αν λύνεται έτσι θα ανεβάσω τη λύση αργότερα, αλλιώς θα την αποσύρω
Δεν μου αφήνει περιθώριο για επεξεργασία, οπότε εδώ συνεχίζω τη λύση...(ελπίζω να μην υπάρχουν άλλα λάθη στις πράξεις)
.
Μένει μόνο να ελέγξουμε αν ισχύει η αρχική ανισότητα όταν .
Όμως τότε έχουμε , άρα
.
Και μερικές ακόμη ασκήσεις πάνω στις ανισότητες.
(όπου a,b,c, > 0 και x,y,z πραγματικοί)
1.
(*)2.
3.
(*)4.
5.
(*)6.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Για την τελευταία δείτε και αυτό :
(αφού ανάγεται στην )
και δουλέψτε κυκλικά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Η δεύτερη από Andreescu είναι .
Θα έβαζα νέες ασκήσεις αλλά βλέπω ότι σχεδόν ό,τι έχω προτείνει έχει μείνει άλυτο, οπότε τα ξαναβάζω μήπως δεν τα έχει δει κάποιος και μετά, αν είναι, θα δώσω λύσεις για όποιον ενδιαφέρεται.
(i)
(ii)
(iii)
(iv) (*)
(*) Θεωρείται δύσκολη
ν.δ.ο.
."
2. Αν α,β μη-μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε
1.
(*) 2. (Αρχιμήδης 2008, 2ο πρόβλημα στους μεγάλους)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Κατ' αρχάς η παράσταση δεν νομίζω να έχει την παραπάνω μορφή, αφού σχετικά απλά μπορείς να γράψεις
Για να μιλήσουμε αυστηρά, η παραπάνω σειρά στον εκθέτη δεν συγκλίνει ούτε στο άπειρο, αλλά ούτε στο μηδέν (όπως μάλλον εννοείς), αλλά στο ένα (όπως πολύ έξυπνα απέδειξε και ο Gauss σε νεαρή ηλικία).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
1ο Κεφάλαιο - Ανακεφαλαίωση θεμάτων του προηγούμενου βιβλίου με νέα θέματα
2ο Κεφάλαιο - Μεθοδολογία αντιμετώπισης ανισοτήτων (πχ. παρεμβολή, επαγωγή κτλ.)
3ο Κεφάλαιο - Ανισότητες Jensen, Muirhead, Popoviciu, Newton, McLaurin και άλλες που δεν θυμάμαι, καθώς και γενικεύσεις γνωστών ανισοτήτων πχ. Holder, Andreescu
4o Κεφάλαιο και μετά - Ασκήσεις
Ένα ακόμη πράγμα να σκεφτείτε:
Πόσο κάνει ? (η διαδικασία επαναλαμβάνεται άπειρες φορές)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Λίγα λόγια για τη Muirhead, από ένα ενδιαφέρον άρθρο πάνω σε ανισότητες σαν κι αυτή, στο spoiler.
1. και
2. Για κάθε ισχύει
3.
Τότε λέμε ότι ,
δηλαδή ότι η ακολουθία (α) μεγιστοποιεί την ακολουθία (β)
Πχ. (4,0,0,0) > (1,1,1,1) διότι
1. 4 > 0=0=0, 1=1=1=1,
2. 4+0 = 4+0+0 > 1+1+1 > 1+1 > 1,
3. 4 = 1+1+1+1
Για n=2 και για θετικούς x,y παίρνουμε
Όμοια και για περισσότερους από δύο όρους, αρκεί να προσέχουμε ότι το άθροισμα είναι απόλυτα συμμετρικό (και όχι κυκλικά), πχ. για τρεις όρους (τρεις εκθέτες δηλαδή) θα είχαμε όλες τις δυνατές μετατοπίσεις εκθετών, δηλαδή όρους σε κάθε μέρος της ανισότητας.
(όμοια και για τέσσερις όρους)
Η άσκηση που έδωσα "λιώνεται" επίσης σε μία γραμμή από τη Muirhead, επίσης η γενικευμένη ΑΜ-ΓΜ αποδεικνύεται από τη Muirhead, αν θέλετε να ξέρετε έναν τρόπο εκτός από επαγωγή.
Και μια άλλη (γνωστή) άσκηση:
Για ποιούς ακεραίους οι παρακάτω παραστάσεις είναι πρώτοι αριθμοί;
1.
(*) 2. (Αρχιμήδης 2008, 2ο πρόβλημα στους μεγάλους)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
i) Αν δύο ή τέσσερις εκ των a,b,c,d αρνητικοί, τότε στη θέση κάθε αρνητικού, πχ. του a, θέτουμε a = - k και παρατηρούμε ότι η ανισότητα δεν αλλάζει αφού και στο δεξί μέρος έχουμε πολλαπλασιασμό άρτιου πλήθους αρνητικών (δηλαδή καταλήγουμε πάλι στο αρχικό δεξί μέρος της ανισότητας με μη αρνητικούς όρους αυτή τη φορά)
iii) Αν τουλάχιστον ένας από τους a,b,c,d ισούται με μηδέν, τότε έχουμε να δείξουμε ότι , που προφανώς ισχύει (με ισότητα για a=b=c=d=0)
iv) Έστω
Επειδή ,
η ανισότητα Muirhead μας δίνει
,
με ισότητα για a=b=c=d
Άλλη άσκηση:
Αν φυσικοί με , να ελέγξετε αν ισχύει
για όλους τους θετικούς α,β.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
.
Όμως από την ανισότητα Andreescu σε συνδυασμό με την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου έχουμε ότι
,
άρα η ανισότητα αποδείχτηκε (και μάλιστα δεν χρειάζεται να ισχύει μόνο
,
αλλά
.)
Επίσης, μια πιο στοιχειώδης απόδειξη μπορεί να δοθεί λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι
,
και συνεχίζοντας κανονικά με ανισότητες των μέσων.
Μου φαίνεται τώρα ότι οι τρόποι αντιμετώπισης που πρότεινα πιο πριν (να κάνουμε τις μεταβλητές από τρεις, δύο / να θέσουμε κατάλληλες μεταβλητές για να 'φύγει' η συνθήκη) μάλλον πιο πολύ δυσκολεύουν τα πράγματα παρά διευκολύνουν.
Ο πρώτος τρόπος θέλει αρκετό πραξολόι, ενώ για το δεύτερο διαβλέπω μια χρήση της ανισότητας της αναδιάταξης αλλά δεν έκατσα κάτω να το δω, οπότε δεν το 'χω και σίγουρο.
Και κάποιες γενικεύσεις πάνω στην ανισότητα (για ν - όρους υψωμένους στο τετράγωνο και στην k-οστή δύναμη), για όποιους ενδιαφερόμενους.
τότε
1)
2)
3)
Οι αποδείξεις είναι εντελώς όμοιες με την αρχική (γίνεται και χρήση της γενικευμένης Andreescu)
Μια πιο δύσκολη άσκηση, πάνω σε αυτό το θέμα, είναι η εξής.
"Αν και ,
ν.δ.ο.
."
(νομίζω ότι ήταν και η τελευταία-τελευταία άσκηση σε κάποιο από τα βιβλία ανισοτήτων του Στεργίου)
Προτείνω, αν κάποιος θέλει να 'μπει' πιο πολύ στην ιδέα των ανισοτήτων δυσκολότερου επιπέδου, να ασχοληθεί με τις παρακάτω ασκήσεις για αρχή. (είναι και ξεκάθαρα μέσα στα πλαίσια της Α' Λυκείου)
1.
2.
(ενν. α,β,γ πραγματικοί)
Όσοι θέλουν κάτι πιο δύσκολο, έχω δύο ωραίες (και απλές για τους έμπειρους) ανισότητες προς απόδειξη.
(θυμίζει κάτι από την ανισότητα του δρ. τάσου)
2. Αν α,β μη-μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε
Νομίζω ότι και οι δύο ανισότητες είχαν τεθεί παλιότερα σε κάτι βαλκανικούς, πχ. JBMO.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Φιλε Τασο,ΑΝ καταλαβα καλα αυτος ο ισχυρισμος δεν ευσταθει.Αν παρουμε την σχεση με το a ,τοτε αφου το a απο την εκφωνιση ειναι θετικος πραγματικος,τοτε γινεται η απλοποιηση της ανισοτητας χωρις να αλλαξει η φορα της ,οποτε προκυπτει οτι a>=1 κατι το οποιο δεν αναφερεται στην εκφωνιση.Επισης,δεν χρησιμοποιηθηκε η ισοτητα abc=1 σχεση η οποια πρεπει να αξιοποιηθει στην αποδειξη του ζητουμενου.
Αν και ειμαι "σκουριασμενος" απο τα μαθηματικα λογω Πανελλαδικων(αποτοξινωση ) κοιταξα την ασκηση και ελπιζω να μην την απογοητευσα
Λοιπον:
Ειναι a²+b²+c²>=(a+b+c)²-2(ab+cb+ac)>=(a+b+c)² (1),αφου a,b,c θετικοι,αρα και ab+ac+cb>0
Επισης a+b+c>=1(2),διοτι εστω οτι δεν ισχυει,τοτε a+b+c<1,οποτε και a<1 και b<1 και c<1(a,b,c, θετικοι,αλλιως δεν ισχυει αυτο) ατοπο,αφου abc=1.
Ετσι απο την 1,2<=> a²+b²+c²>=(a+b+c)* η ισοτητα αν και μονο αν a=1,b=1,c=1
*Αν x>1,τοτε χ²>χ.Για αποδειξη φερνεις το χ στο πρωτο μελος ,βγαζεις κοινο παραγοντα,απαλοιφεις το χ αφου ειναι θετικο(χ>1)και μενει χ>1 κατι τ οποιο ισχυει απο την υποθεση.
Αυτα
Diagoras13, η άσκηση δεν λύνεται τόσο απλά (τουλάχιστον όχι με τον τρόπο που έγραψες). Κάποιες παρατηρήσεις (πάνω σε αυτά που γράψατε εσύ και ο dr. tasos)
1. Προφανώς ισχύει
,
σε καμία περίπτωση όμως δεν ισχύει
με θετικά α,β,γ, αφού προκύπτει
.
2. Δεν ισχύει απλά
,
αλλά
,
από υπόθεση.
3. Αν για θετικούς α,β,γ ισχύει
δεν ισχύει απαραίτητα
,
για παράδειγμα, αν
τότε έχουμε
,
ενώ ταυτόχρονα
και
(δηλαδή επαληθεύουν την ανισότητα προς απόδειξη).
Προτού αντιμετωπίσει κανείς την ανισότητα του dr. tasos, καλύτερα να ασχοληθεί με μια παρόμοια ανισότητα δύο μεταβλητών, πχ. να τσεκάρει αν ισχύει για θετικούς α,β με
ότι
(σαν πιο εύκολο θέμα).
Επίσης για τέτοιου είδους ανισότητες 'υπό συνθήκη', βολεύει καμιά φορά να "εξαφανίσουμε" αυτή τη συνθήκη με 'νέες μεταβλητές', και να επιχειρήσουμε να αποδείξουμε μια νέα ανισότητα χωρίς συνθήκη (χωρίς δηλαδή να μας βασανίζει το ερώτημα "πού θα τη χρησιμοποιήσω τη συνθήκη? Πόσες φορές?")
Τι εννοώ:
Η ανισότητα του dr. tasos μπορεί να γίνει ανισότητα δύο μεταβλητών.
Θέτουμε
(από υπόθεση)
και έχουμε να αποδείξουμε ότι
με α,β να είναι οποιοιδήποτε θετικοί αριθμοί.
Επίσης, χωρίς να βλάψουμε τη γενικότητα, θεωρούμε
με x,y,z > 0
Τότε έχουμε
και η ανισότητα προς απόδειξη γίνεται
χωρίς τα x,y,z να πληρούν κάποια συνθήκη.
Υπάρχουν και άλλοι τρόποι αντιμετώπισης τέτοιων ανισοτήτων, δύο παραδείγματα έφερα απλά. Μπορεί για κάποιον καινούριο σε όλα αυτά να φαντάζουν υπερβολικά δύσκολα και δυσνόητα τα παραπάνω, αλλά όπως είπαμε μιλάμε για ανισότητες σε 'ανώτερο' του σχολικού επίπεδο.
___________________________________________________________________________________________________________
να βρειτε τις πραγματικες ριζες της εξισωσης
Και μια άλλη λύση...
Παρατηρούμε ότι το
δεν αποτελεί λύση της εξίσωσης, άρα πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με
και προκύπτει , (2)
αφού απαιτούμε .
Όσες πραγματικές λύσεις έχει η (2), τόσες θα έχει και η αρχική μείον τον περιορισμό που έχουμε βάλει.
Θέτουμε στην αρχική και διαπιστώνουμε ότι όντως αποτελεί (τη μόνη) πραγματική ρίζα της εξίσωσης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ουσιαστικά έχουμε να επιλύσουμε την με
- Αν , τότε έχουμε ως γινόμενο θετικών, αφού για θετικό a.
- Αν , τότε έχουμε ως γινόμενο ετερόσημων, αφού για θετικό a.
Άρα υποχρεωτικά ισχύει .
Το πρόβλημα εδώ δεν είναι αν η άσκηση μπορεί να λυθεί με γνώση Α' Λυκείου και κάτω, αλλά το ότι γενικά δεν θεωρείται άσκηση Α' Λυκείου και ότι το παραπάνω σκεπτικό δύσκολα το ακολουθεί κάποιος που μόλις ξεκίνησε την Α' Λυκείου. Συνήθως αρχίζουν με κάποιες ταυτότητες, ορισμούς δυνάμεων, απόλυτες τιμές κτλ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Επίσης οι παραπάνω ασκήσεις δεν απαιτούν κάτι παραπάνω με το σκεπτικό του μετασχηματισμού εξίσωσης (πχ. θέτουμε a + 1 = b ή τίποτα άλλο), το οποίο υπάρχει ως θέμα ασκήσεων στην Α' Λυκείου (διτετράγωνες εξισώσεις) - μην λέτε κάθε φορά που βλέπετε άγνωστο στον εκθέτη "α, θέλει ln, θέλει θεωρία λογαρίθμων που διδάσκεται στο τέλος της Β' Λυκείου" και άλλα διάφορα.
Όμως οι ασκήσεις αυτές δεν θεωρούνται ασκήσεις για την Α' Λυκείου (που να αφορούν δηλαδή στην ύλη και θεωρία της Α' Λυκείου) - τουλάχιστον συνηθισμένες ασκήσεις ή ασκήσεις εξάσκησης για να βελτιώνεται όποιος θέλει στην 'Αλγεβρα της Α', που είναι και ο σκοπός του thread.
Νομίζω έχει ξαναειπωθεί, αν θέλετε να βάζετε ασυνήθιστες ή και δύσκολες ασκήσεις, προειδοποιήστε τον ανυποψίαστο έστω με ένα αστεράκι (*) ή βάλτε όσες ασκήσεις / προκλήσεις θέλετε σε γενικότερα threads μαθηματικών, πχ. αυτό της ΕΜΕ, εκεί όπου μπαίνει όποιος έχει όρεξη να παλέψει κάτι πιο 'ανεβασμένο'.
(ΥΓ. Διορθώνω τον εαυτό μου για μια παρατήρηση που έκανα πιο πίσω, το πρόβλημα της ανισότητας δεν ήταν από τη ΒΜΟ 2006 αλλά από τη ΒΜΟ 2001. Στη ΒΜΟ 2006 είχε επίσης τεθεί μια εύκολη ανισότητα)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
.
Επίσης το 2ο βήμα έχει λογικό λάθος, αφού
Δείτε εδώ.
https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=349004&p=1875661#p1875661
Το θέμα είχε τεθεί στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2006, και, όσο εύκολο και αν είναι για αυτού του επιπέδου διαγωνισμούς, σε καμία περίπτωση δεν θεωρείται σχολικό - το θέμα έχει ξεφύγει.
Αν θέλετε να βάζετε ασκήσεις - προκλήσεις επιπέδου διαγωνισμών καλύτερα να γράφετε εδώ https://ischool.e-steki.gr/μαθητικοί-διαγωνισμοί/συλλογή-ασκήσεων-για-την-μαθηματική-εταιρία-63302/ παρά σε αυτό το τόπικ, που αφορά μόνο στην Α' Λυκείου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Δεν νομιζω να χρειαζεσαι λεξικο.Αν δεις μια σελιδα πριν θα καταλαβεις το γιατι.
Ξεφευγει απο το επιπεδο της Α'λυκειου η ανισοτητα α+β ≥ 2√αβ? Εισαι σιγουρος?
Επισης,πιστευω πως τα παιδια που τετοια εποχη ανατρεχουν σε θεματα με ασκησεις ,αναζητουν κατι παραπανω,κατι ποιο δυσκολο το οποιο να διαφερει απο αυτο που μας πλασαρουν στο σχολειο.
Ετσι,δεν βρισκω τον λογο να δημιουργηθει νεο θεμα.Ουτε αστρονομικες ασκησεις βαζουμε,και διαθεση να τα αναλυουμε και να τα εξηγουμε εχουμε.
Στην Α' Λυκείου, η παραπάνω ανισότητα παρουσιάζεται με τη μορφή δύο όρων και μόνο (άντε τριών αν συνδυαστεί και η ταυτότητα Euler και την βάλει ο καθηγητής ως 'ανεβασμένη' άσκηση), δηλαδή στον πίνακα γραμμένο θα δουν οι μαθητές το
και πολύ λίγοι θα κάτσουν να ασχοληθούν πιο πολύ. Διαφορετικές εκφράσεις αυτής της ανισότητας (πχ. αυτή που έχεις γράψει για θετικούς α,β) προφανώς δεν διαφέρουν, αυτό όμως που νομίζω ότι πείραξε περισσότερο το Δία ήταν οι αναφορές στην επαγωγή, στην (όχι απόλυτα) γενικευμένη ανισότητα των μέσων, στη χρήση θεωρίας πολυωνύμων κ.α. (ό,τι θυμάμαι λέω) που ξεφεύγει από τα πλαίσια της Α' Λυκείου. Μπορεί κάποιοι που θα πάνε τώρα Α' Λυκείου να τα ξέρουν όλα αυτά και ακόμη παραπάνω - δεν μας ενδιαφέρει αυτό, υπάρχει ήδη τόπικ διαγωνισμών λυκείου όπου εκεί βάζεις ό,τι θες - σωστό θεωρώ όμως εδώ να μπαίνουν ασκήσεις που λύνονται με γνώσεις Γ' Γυμνασίου - Α' Λυκείου (το σχολικό βιβλίο δηλαδή) (οι οποίες μπορούν να γίνουν τόσο δύσκολες ώστε να φτάνουν και το επίπεδο ΙΜΟ, μη νομίσει κανείς ότι θεωρία κατώτερων τάξεων ισοδυναμεί με πιο εύκολα θέματα).
Επίσης καλό είναι να δηλώνουμε πότε και ποια άσκηση θεωρείται δύσκολη σε σχέση με τα σχολικά δεδομένα, για να ξέρει όποιος μπαίνει και διαβάζει ποιο είναι (πιθανώς) το πιο απλό και ποιο το πιο δύσκολο (φαντάζομαι όλοι σας έχετε / βλέπετε τη λύση ενός θέματος προτού το ανεβάσετε)
My two cents. Βλέπω ότι στο τόπικ έχουν μείνει ξεχασμένες κάποιες ασκήσεις εξισώσεων με ριζικά που είχα βάλει το Νοέμβριο (!), οπότε αυτή τη φορά θα βάλω πιο απλές.
Να λυθούν στο R:
(i)
(ii)
(iii)
(iv) (*)
(*) Θεωρείται δύσκολη
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ισχύει για α,β θετικούς.
- Αν α=β, τότε η ισότητα παραπάνω είναι προφανής.
- Αν α>β τότε η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναμα που ισχύει αφού α-β > 0
- Αν α<β τότε η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναμα που ισχύει αφού β-α > 0
Με πολλαπλασιασμό των προκύπτει το ζητούμενο με ισότητα για .
(ΥΓ. ξεφεύγουμε λίγο από το σχολικό επίπεδο; Αν μη τι άλλο, μην απογοητευτεί όποιος μπαίνει στο τόπικ και προετοιμάζεται για την α' λυκείου)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Η πρώτη σχέση γράφεται ισοδύναμα (1)
Η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε γράφεται ισοδύναμα ,
που ισχύει από (1).
Αυτό που δεν κατάλαβαν οι περισσότεροι (αναφερόμενος στην άσκηση με το σύστημα) ήταν η χρήση του σταυροειδούς πολλαπλασιασμού, μια μέθοδος αντιμετώπισης συστημάτων κ.α. Δεν θέλει πολλή θεωρία, αφού η (γενική) απόδειξη της μεθόδου αυτής απλά θέλει λίγα παραπάνω βήματα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.