Dreamkiller
Νεοφερμένος
Για παίρνουμε ότι
, που προφανώς δεν ισχύει.
Πάντως και στον Ευκλείδη Β' το περιοδικό έτσι την έχουν δώσει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Λοιπόν μια προσπάθεια για το 1ο μέρος. Παραδόξως, χρησιμοποιώ τριώνυμο. Λοιπόν:
Η παράσταση γίνεται μέγιστη, , όταν το γίνεται ελάχιστο, και επειδή οι είναι μη αρνητικοί, η ελάχιστη δυνατή τιμή είναι το 0, δηλαδή ένας ή δυο από τους τρεις να είναι 0.
α) Αν ένας εκ των τριών είναι 0, έστω ο , έχουμε ότι . Τώρα αποδεικνύουμε την εξής:
.
Η ελάχιστη τιμή του τριωνύμου είναι με το γνωστό τρόπο η . Άρα τελειώσαμε.
β) Αν δύο εκ των τριών είναι 0, έστω ο και έχουμε ότι , άρα . Τωρα αποδεικνύουμε την εξής:
που προφανώς ισχύει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
.
Σύμφωνα με το προηγούμενο λήμμα, αρκεί να δείξω ότι
Υστερα από πράξεις παίρνουμε ότι , που ισχύει, ως γινόμενο αριθμών μικρότερων ή ίσων του 1.
Ας μείνουμε σε σχολικές ασκήσεις από εδώ και πέρα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
andreescu:
4abc(1-1/a-1/b-1/c)>=4abc(1-1/(a+b+c))=4abc(0)=0>=-1
Εδώ νομίζω ότι έχεις κάνει λάθος.
Η ανισότητα Andreescu
ισχύει για τετράγωνα στους αριθμητές, ενώ εδώ βγαίνει ότι το -1 είναι τετράγωνο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Γιατί, με την Andreescu, ενώ ξέρω 'γω πρέπει να αποδείξεις ότι , αποδεικνύεις ότι , και επειδή ισχύει ότι λές ότι ισχύει το ζητούμενο. Νομίζω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
ας βαλω και γω μια ανισοτητα αρκετα καλη θα ελεγα.
αν και ν.δ.ο
(εγω δεν εχω βρει λυση ακομα αν και εχω δοκιμασει αρκετους τροπους)(AM-GM,Cauchy, κλπ)
Θα αποδείξω το , το άλλο δεν το κοίταξα καλά.
Από τη γνωστή ανισότητα του Schur προκύπτει ότι, αν a, τότε .
Ώστε
μετά θα τα γράψω πιο αναλυτικά.
η άσκηση πάντως δεν είναι ιδιαίτερα σχολική. :p
EDIT: Λοιπόν, ας το γράψω αναλυτικά.
Η ανισότητα του Schur καταρχάς λέει ότι για όλους τους μη αρνητικούς a, b, c και το θετικό t.
Τώρα θα αποδείξω το εξής λήμμα:
Αν και τότε
Πράγματι, η ανισότητα αυτή είναι ισοδύναμη με την:
που ύστερα από πράξεις γίνεται η
που είναι η ανισότητα schur για .
Τώρα πρέπει να δείξω ότι . Ισοδύναμα:
. Σύμφωνα με το λήμμα:
.
Ώστε αρκεί τώρα να δείξω ότι .
Ύστερα από πράξεις, προκύπτει ότι που ισχύει ως άθροισμα θετικών.
p@g, πού τη βρήκες;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Έχουμε και λέμε
που ισχύει σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ABC άρα πράγματι
Ελπίζω να είναι σωστή
Νομίζω υπάρχει λάθος στο συλλογισμό σου.
Η ανισότητα , που απέδειξες, δε συνεπάγεται την .
Άσε που το δε γνωρίζουμε αν είναι θετικός.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Βάζω δυο γεωμετρικές ανισότητες τώρα.
1) Αν το ABCD είναι ένα κυρτό τετράπλευρο και M, N τα μέσα των πλευρών AD και BC αντίστοιχα να αποδείξετε ότι:
2) Αν το D είναι το μέσον της πλευράς BC ενός τριγώνουν ABC, να αποδείξετε ότι:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Έστω διαφορετικοί μεταξύ τους πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι το παρακάτω δεν ισχύει.
(από το βιβλίο του Titu Andreescu - Mathematical Olympiad Treasures)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Ποια είναι αυτή; Ο 4 εμφανίζεται και στη βάση και στον εκθέτη. Δεν ζητάει να προσθέσουμε τις ρίζες αλλά τους πραγματικούς αριθμούς που επαληθεύουν την εξίσωση.
Είναι η περίπτωση η βάση να είναι -1 και ο εκθέτης άρτιος ή μηδέν.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Για να είναι μια δύναμη =1 πρέπει η βάση της να είναι =1 ή η βάση να είναι διάφορη του μηδενός και ο εκθέτης =0.
Οταν η βάση =1 έχει ρίζες 1 και 4. οταν ο εκθέτης είναι μηδέν έχει ρίζες 3 και 4. Το ζητούμενο είναι 1+3+4=8 (Το 4 κοινό)
Ολόσωστα αυτά που λες, ξέχασες όμως μία ρίζα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Δίνεται η συνάρτηση αν και αν
Να βρεθούν τα αν
Η συνάρτηση που έβαλα είναι με πολλαπλό τύπο, αλλά δεν ξέρω πώς να τον γράψω με Latex.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
(1)
(2)
(3)
να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον εκ των x, y, z ισούται με το 0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Α =
Β=
Από τον Ευκλείδη, το περιοδικό. Το καινούργιο τεύχος.
EDIT: Βάζω και άλλη μία:
Γ= ).
*cough*
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Βάζω τη λύση παρακάτω.
Αν τότε ο είναι άρτιος. Όμως και ο είναι άρτιος. Επειδή άρτιος + άρτιος μας δίνουν άρτιο και ο είναι περιττός, έχουμε άτοπο. Άρα θα πρέπει o να είναι περιττός, που συμβαίνει μόνο όταν ο εκθέτης είναι το μηδέν, άρα .
Αντικαθιστώντας παίρνουμε:
Πρέπει να έκανα καμιά 20αριά λάθη όταν το έγραφα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Όντως gtp είναι. Της USAMO είναι άπειρα πιο δύσκολα όμως...
Αν και δεν τα ξέρω καλά, έχω ακούσει ότι οι Αμερικανοί έχουν την πιο εξαντλητική προετοιμασία για την IMO.
Σκέφτηκα κάτι το οποίο μπορεί να είναι και τελείως άσχετο αλλά θα το πω.
Αφού το 4009 είναι περιττός, θα πρέπει ένας τουλάχιστον από τους προσθετέους να είναι περιττός και ο άλλος άρτιος..
Αυτό είνααιιι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
x=2004
y=1
2^2004-2004+2*2004*1 = 1+4008=4009
Γράψε και το σκεπτικό σου
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς και έτσι ώστε να ισχύει:
Μη σας φαίνεται δύσκολη, γιατί δεν είναι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Για την αρίθμηση των σελίδων του Λεξικού της Νέας Ελληνικής Γλώσσας του καθηγητή Γ. Μπαμπινιώτη (Β' Έκδοση) χρειάστηκαν συνολικά 7149 ψηφία. Πόσες σελίδες έχει το λεξικό;
[Από το βιβλίο "Ολυμπιάδες Μαθηματικών - Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για τη Β' Γυμνασίου", του Μπάμπη Στεργίου, εκδόσεις Σαββάλας].
Βάζω τη λύση μήπως και θελήσει να την έχει κανείς. Λοιπόν:
Για τις σελίδες 1 ως 9 χρειαζόμαστε 9 ψηφία.
Για τις σελίδες 10 έως 99, που συνολικά είναι 90, χρειαζόμαστε 2 * 90 = 180 ψηφία.
Για τις σελίδες 100 ως 999, που συνολικά είναι 900, χρειαζόμαστε 3 * 900 = 2700.
Άρα, ως τη σελίδα 999 χρειαζόμαστε 9 + 180 + 2700 = 2889 ψηφία.
Τα υπόλοιπα 7149 - 2889 = 4260 ψηφία τα χρησιμοποίησαμε για να αριθμήσουμε τις υπόλοιπες σελίδες. Προφανώς, το βιβλίο δεν μπορεί να έχει πάνω από 10000 σελίδες. Άρα οι αριθμοί είναι τετραψήφιοι. Συνεπώς:
4260 : 4 = 1065 σελίδες
Άρα, το βιβλίο έχει συνολικά 999 + 1065 = 2064 σελίδες
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
άσχετο αλλά θα δώσει κανένας σας amc-10?
Πες περισσότερα, αν μπορείς. Πού γίνεται ο διαγωνισμός;
-Συγκρινεις τα τριγωνα που δημιουργουνται απο τα ισα υψη, τις ισες διαμετρους και μερος της βάσης.
Τι ακριβώς εννοείς;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Νομίζω σωστή είναι η απόδειξή μου. Μπορεί και οχι.
https://img221.imageshack.us/my.php?image=18112008087au9.jpg
Για τις ιδιότητες του βαρυκέντρου πηγαίνετε σελίδα 107 στη Γεωμετρία του σχολείου.
Σωστός
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
[Από το βιβλίο "Ολυμπιάδες Μαθηματικών - Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για τη Β' Γυμνασίου", του Μπάμπη Στεργίου, εκδόσεις Σαββάλας].
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Προσθαφαιρώ το 8x^3 να βγει Euler, βγάζω κοινό παράγοντα το 3(χ-y)(x+y), η παρένθεση βγαίνει 0 και μένει το 8χ^3.
Θα τη γράψω αναλυτικά το βράδι.
ΥΓ: Τώρα που είδα τις απαντήσεις νιώθω λίγο χαζούλης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
όπου t η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
Btw, όποιος έχει καμιά καλή άσκηση Γεωμετρίας, ας τη βάλει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην
ab+bc+ac >= 9abc
διαιρώντας με abc έχουμε να δείξουμε ότι (1/a)+(1/b)+(1/c) >= 9
πού είναι παρόμοια με μιά άσκηση την οποία είχε θέσει ο mostel παλιότερα.
Πού αποδεικνύεται με την ανισότητα cauchy
(a+b+c)/3 >= 3/[(1/a)+(1/b)+(1/c)]
Αποτελειώστε την βάζοντας a+b+c=1 καί κάντε χιαστί.
Ναι, έτσι ακριβώς την έλυσα κι εγώ.
Το πρόβλημα όμως είναι ότι την βρήκα στο Internet ως άσκηση για παιδιά της Α' Λυκείου, η οποία δεν έχει στην ύλη βέβαια την ΑΜ - ΓΜ. Φανταζόμουν, λοιπόν, ότι λύνεται και με πιο εύκολο τρόπο και γι' αυτό την έβαλα. Όποιος τον βρει ας τον γράψει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
:no1:Σύμφωνα με τη τριγωνική ανισότητα έχουμε χωριστά για την κάθε πλευρά:
Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει:
Τώρα νομίζω ότι είναι ok.
Πάντως, αν δεν ήθελες να μπλέξεις με την απόλυτη τιμή [παρ' ότι εδώ είναι τετράγωνο και φεύγει] θα μπορούσες να υπέθετες στην αρχή ότι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, .
EDIT: Γιατί δεν εμφανίζεται σωστά το latex στην παράθεση;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
EDIT: Άλλη μια άσκηση [ευχαριστώ πολύ etrygeom].
Αν πλευρές τριγώνου να δείξετε ότι:
Η ισότητα ισχύει όταν
EDIT: Εύκολο είναι Shadowfax
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Η λύση που έχει στο βιβλίο και μ' άρεσε είναι η εξής:
Συνεπώς,
Βάζω κι άλλη μία από το ίδιο βιβλίο:
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
A =
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
Την παρακάτω άσκηση τη βρήκα στο βιβλίο "Η Άλγεβρα στις Μαθηματικές Ολυμπιάδες" του Σωκράτη Ρωμανίδη. Δεν είναι δύσκολη, απλά θέλει λίγη φαντασία.
Αν για τους πραγματικούς αριθμούς και έχουμε ότι
, και
να υπολογίσετε το .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.