Άλλα μηνύματα του μέλους Semfer σε αυτό το thread

Semfer · 2009-09-01T22:24:51+0300

και οι δυο τροποι ειναι σωστοι...

Semfer · 2009-09-01T21:35:20+0300

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

Με θ. Fermat

$h(x)=f(x)-g(x)-x^2\leq h(1)$ για καθε x?R.

Αρα απο το θ. Fermat εχουμε

$h'(1)=0$

Semfer · 2009-08-18T14:01:42+0300

Ωραία τότε. Βρήκα μια λύση αλλά υποψιάζομαι ότι θα υπάρχει πιο απλή...

$S(x,n)=2\sum_{i=1}^n\frac{d(x^i)}{dx}=2\frac{d}{dx}\left(\sum_{i=1}^n x^i\right)=2\frac{d}{dx}\left[\frac{x(x^n-1)}{x-1}\right]$

Και τελικα $S(x,n)=\frac{2-2(1+n)x^n+2nx^{1+n}}{(x-1)^2}$

Αρα $S=S(2,2009)=2 (1 - 2^{2009} + 2009\cdot 2^{2009})$

Semfer · 2009-08-18T13:18:57+0300

Αρχική Δημοσίευση από giannis:
Υπολογίστε το άθροισμα

$S=2+2 cdot 2^{2} +3 cdot 2^{2}+...+2009 cdot 2^{2009}$

hint : Χρησιμοποιήστε παραγώγους

Μαλλον εκανες ενα typo στο αθροισμα.
Πρεπει να ειναι $S=2+2 \cdot 2^{2} +3 \cdot 2^{3}+...+2009 \cdot 2^{2009}$ ?

Semfer · 2009-01-02T14:16:06+0200

Για να βρεις τον τύπο της f(x) πρέπει να λύσεις την διαφορική εξίσωση $xf '(x)-2f(x)=x$ . Έτσι θα βρεις ένα σύνολο συναρτήσεων. Μετά θα χρησιμοποιήσεις την συνθήκη f(1)=0 για να βρεις την f(x) της άσκησης.

Η διαφορική εξίσωση λύνεται ως εξής:

είναι της μορφής $f'(x)+p(x)f(x)=k$

Ψάχνουμε να βρούμε μια συνάρτηση q(x) τέτοια ώστε $(q(x)f(x))'=q(x)f'(x)+q'(x)f(x)$ . Αν πολλαπλασιάσεις και τα δυο μέλη της $f'(x)+p(x)f(x)=k$ με την q(x) θα έχεις $q(x)f'(x)+q(x)p(x)f(x)=q(x)k$ .
Επομένως θέλεις $q'(x)=q(x)p(x)$ δηλαδή $q(x)=e^{\int p(x)dx}$ (integrating factor).

Άρα η γενική λύση της διαφορικής θα είναι

$f(x)=\frac{1}{q(x)}\int kq(x)dx+\frac{c}{q(x)}$

Από την συνθήκη που έχεις βρίσκεις την c και τελείωσες.

Είναι $f(x)=x^2-x$

Semfer · 2008-12-09T23:34:25+0200

Semfer · 2008-11-17T19:33:25+0200

Θεωρούμε g (x) = f (x) - f (x + π/2)
g (0) = f (0) - f (π/2)
g (π) = f (π) - f (3π/2) = f (π) - f (π/2) = - g (0)
Είναι g (0)g (π) <= 0
...

Semfer · 9 Νοεμβρίου 2008 στις 19:33

$\lim_{x\to-1}\frac{x^3-2x-1}{-x^3-5x-6}=-\frac{1}{8}$
-----------------------------------------

Εχεις απροσδιοριστη μορφη 0/0 οποτε εφαρμοζεις το De L' Hospital.
Αλλιως κανεις την απλοποιηση

$\frac{x^3-2x-1}{-x^3-5x-6}=\frac{(1+x)(-1-x+x^2)}{-(1+x)(6-x+x^2)}$

Semfer · 8 Νοεμβρίου 2008 στις 19:39

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Τότε μπορούμε να ορίσουμε το γινόμενο πινάκων σειράς με σειρά ή στήλη με στήλη αντίστοιχα. Εν γένει, δεν ισχύει πως αν Α,Β πίνακες: $vec Acdot vec B=0$ συνεπάγεται $vec A=0$ ή $vec B=0$ .

και παλι δεν θα ειναι απο R στο R.

Semfer · 7 Νοεμβρίου 2008 στις 08:27

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Οκ. Ειναι

$frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{x-1}=frac{x^{n+1}-nx-x+n}{x-1}$

$=frac{xcdot x^n-x-n(x-1)}{x-1}=frac{x(x^n-1)-n(x-1)}{x-1}$

$=frac{(x-1)[(x(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)-n]}{x-1}$

$=x(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)-n$

Οποτε το οριο ειναι

$lim_{xto 1}[x(x^{n-1}+x^{n-2}+...+n+1)-n]=n-n=0$

Ισχυει η ταυτοτητα

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$

Αρα $(x^n - 1)=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)$

Μετα στο οριο εχεις

$\lim_{x\to 1}[x(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)-n]=1\cdot(1^{n-1}+1^{n-2}+...+1+1)-n]=(n-1+1)-n=n-n=0$

ΥΓ. ειχα κανει ενα typo στο οριο και το διορθωσα

Semfer · 7 Νοεμβρίου 2008 στις 01:59

Οκ. Ειναι

$\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{x-1}=\frac{x^{n+1}-nx-x+n}{x-1}$

$=\frac{x\cdot x^n-x-n(x-1)}{x-1}=\frac{x(x^n-1)-n(x-1)}{x-1}$

$=\frac{(x-1)[(x(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)-n]}{x-1}$

$=x(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)-n$

Οποτε το οριο ειναι

$\lim_{x\to 1}[x(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)-n]=n-n=0$

Semfer · 7 Νοεμβρίου 2008 στις 01:33

Αρχική Δημοσίευση από apagal:
Δεν μπορώ να καταλάβω πώς λύνεται η άσκηση 1 στη 175 σελιδα του σχολικού βιβλίου δεύτερο ερώτημα.Όποιος μπορεί να με βοηθήσει...Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Η ασκηση 1 της Β' ομαδας?

Semfer · 7 Νοεμβρίου 2008 στις 00:00

Αρχική Δημοσίευση από theodora:
θελω βοηθεια

δινεται η f(x)=(x^2-ax+b)/x^2+1.να βρειτε τα ,b ανηκουν στ R αν ειναι γνωστο οτι η f εχει συνολο τιμων το διαστημα [0,2]

Λυνεις την εξισωση $f'(x)=0$ και θα βρεις δυο $x_1$ και $x_2$ που θα ειναι συναρτησεις των $a$ και $b$ .

Μετα λυνεις το συστημα

$f(x_1)=2$
$f(x_2)=0$

και τελικα πρεπει να βρεις $(a,b)=(-2,1)$ ή $(a,b)=(2,1)$

Semfer · 2008-10-29T18:00:26+0200

sorry λαθος...

Semfer · 2008-08-31T13:33:30+0300

$I_1=\int_{a}^{b}xf(x)dx=\int_{a}^{b}xf(a+b-x)dx$

θετουμε $u=a+b-x$ οποτε

$I_1=(a+b)\int_{a}^{b}f(x)dx-I_1\Leftrightarrow$

$I_1=\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx$

Επισης

$I_2=\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx=\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}f(a+b-x)dx$

θετω και παλι $u=a+b-x$ οποτε

$I_2=\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}f(x)dx$

Επομενως

$I_1=\frac{a+b}{2}\left(\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx+\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}f(x)dx\right)=\frac{a+b}{2}(I_2+I_2)\Leftrightarrow$

$I_1=(a+b)I_2$

Semfer · 2008-08-30T22:26:30+0300

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:
$gif.latex$
, n φυσικος
δεν λυνονται οπως οι εκθετικες;και αφου n φυσικος ειναι αδυνατη..που ειναι το λαθος στο συλλογισμο μου;

Σκεψου οτι παρολο που $1^2=1^3$ δεν συνεπαγεται οτι $2=3$

Το ιδιο ισχυει και για την "φανταστικη μοναδα" $i$ .

Semfer · 2008-08-23T17:20:50+0300

ρε συ, σου εγραψα την λυση πιο πανω...

Απο το πρωτο υποερωτημα εχει

$36e67accd8b93997746a55917fd066e5.gif$

Μετα χρησιμοποιεις την σχεση

$tan(a-b)=\frac{tana-tanb}{1+tana\cdot tanb}$

δηλαδη

$tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1-tanx}{1+tanx}$

Οποτε

$2b4bdefb464df2a9b18566d30a032f02.gif$

$9b24be70569bdb9ab062ede392585aeb.gif$

απλα τα πραγματα...

Semfer · 2008-08-23T16:47:45+0300

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Όχι στο δεύτερο είναι $frac{pi^2}{4}$ και το έχω βγάλει.

Στο πρώτο δεν κατάλαβα τι κάνουμε. Μπορείς να τα γράψεις λίγο αναλυτικότερα;

ναι εχεις δικιο, στο δευτερο

$eqlatexI5Cfrac5Cpi25Cint_05Cpi205Cfracsi-1.gif$

μετα θετεις $u=cosx$ και το λυνεις πολυ ευκολα...

Για το πρωτο τι ακριβως δεν καταλαβες?

Semfer · 2008-08-23T16:01:35+0300

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Δε νομίζω να βοηθήσει να δώσω και το δεύτερο υποερώτημα, αλλά οκ: $int_{0}^{pi} frac{xsinx}{1+cos^2x}dx$ .

Για το δευτερο ολοκληρωμα εχεις

$I=\int_{0}^{\pi} \frac{xsinx}{1+cos^2x}dx=\int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x)sinx}{1+cos^2x}dx\Leftrightarrow I=\pi\int_{0}^{\pi} \frac{sinx}{1+cos^2x}dx-I$

Οποτε $I=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{sinx}{1+cos^2x}dx$

Semfer · 2008-08-23T14:56:57+0300

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Εγώ φέτος έδωσα πανελλήνιες απλώς δεν είχα διαβάσει ολοκληρωτικό λογισμό...
---
Semfer, δεν είναι αυτή η λύση. Η λύση είναι $frac{pi}{8}ln2$ .
Δε νομίζω να βοηθήσει να δώσω και το δεύτερο υποερώτημα, αλλά οκ: $int_{0}^{pi} frac{xsinx}{1+cos^2x}dx$ .

ναι ειναι $\frac{\pi}{8}ln2$ . H λυση μου ειναι σωστη απλα εκανα ενα μικρο λαθακι στις πραξεις...

ειναι

$2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}ln2dx=\frac{\pi}{4}ln2 \Leftrightarrow I=\frac{\pi}{8}ln2$

Semfer · 2008-08-23T10:57:01+0300

Οκ, νομιζω οτι την ελυσα.

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tanx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} ln\left(1+tan(\frac{\pi}{4}-x)\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}ln2dx-I$

γιατι $tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1-tanx}{1+tanx}$

$2I=ln2\Leftrightarrow I=\frac{ln2}{2}$

Semfer · 2008-08-23T10:39:05+0300

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Μία ακόμη άσκηση:
Έδειξα στο πρώτο υποερώτημα ότι ισχύει $int_{0}^{a} f(x)dx = int_{0}^{a} f(a-x)dx$ και μετά ζητάει να υπολογιστούν δύο ορισμένα ολοκληρώματα.

Να το ένα: $int_{0}^{frac{pi}{4}} ln(1+tanx)dx$ Χρησιμοποιώ το πρώτο υποερώτημα, αλλά δεν καταλήγω σε κάτι που μπορώ να ολοκληρώσω...

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Γραψε ολοκληρη την ασκηση μπας και σε βοηθησουμε.

Semfer · 2008-08-18T11:37:53+0300

$sin(x^2)$ ή $(sinx)^2$ ?

Άλλα μηνύματα του μέλους Semfer σε αυτό το thread

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος