Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για
Πάντως και στον Ευκλείδη Β' το περιοδικό έτσι την έχουν δώσει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Λοιπόν μια προσπάθεια για το 1ο μέρος. Παραδόξως, χρησιμοποιώ τριώνυμο. Λοιπόν:
Η παράσταση
α) Αν ένας εκ των τριών είναι 0, έστω ο
Η ελάχιστη τιμή του τριωνύμου
β) Αν δύο εκ των τριών είναι 0, έστω ο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σύμφωνα με το προηγούμενο λήμμα, αρκεί να δείξω ότι
Υστερα από πράξεις παίρνουμε ότι
Ας μείνουμε σε σχολικές ασκήσεις από εδώ και πέρα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
andreescu:
4abc(1-1/a-1/b-1/c)>=4abc(1-1/(a+b+c))=4abc(0)=0>=-1
Εδώ νομίζω ότι έχεις κάνει λάθος.
Η ανισότητα Andreescu
ισχύει για τετράγωνα στους αριθμητές, ενώ εδώ βγαίνει ότι το -1 είναι τετράγωνο.
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Γιατί, με την Andreescu, ενώ ξέρω 'γω πρέπει να αποδείξεις ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
ας βαλω και γω μια ανισοτητα αρκετα καλη θα ελεγα.
ανκαι
ν.δ.ο
(εγω δεν εχω βρει λυση ακομα αν και εχω δοκιμασει αρκετους τροπους)(AM-GM,Cauchy, κλπ)
Θα αποδείξω το
Από τη γνωστή ανισότητα του Schur προκύπτει ότι, αν a
Ώστε
μετά θα τα γράψω πιο αναλυτικά.
η άσκηση πάντως δεν είναι ιδιαίτερα σχολική. :p
EDIT: Λοιπόν, ας το γράψω αναλυτικά.
Η ανισότητα του Schur καταρχάς λέει ότι
Τώρα θα αποδείξω το εξής λήμμα:
Αν
Πράγματι, η ανισότητα αυτή είναι ισοδύναμη με την:
που ύστερα από πράξεις γίνεται η
που είναι η ανισότητα schur για
Τώρα πρέπει να δείξω ότι
Ώστε αρκεί τώρα να δείξω ότι
Ύστερα από πράξεις, προκύπτει ότι
p@g, πού τη βρήκες;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έχουμε και λέμε
που ισχύει σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ABC άρα πράγματι
Ελπίζω να είναι σωστή![]()
Νομίζω υπάρχει λάθος στο συλλογισμό σου.
Η ανισότητα
Άσε που το
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Βάζω δυο γεωμετρικές ανισότητες τώρα.
1) Αν το ABCD είναι ένα κυρτό τετράπλευρο και M, N τα μέσα των πλευρών AD και BC αντίστοιχα να αποδείξετε ότι:
2) Αν το D είναι το μέσον της πλευράς BC ενός τριγώνουν ABC, να αποδείξετε ότι:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έστω
(από το βιβλίο του Titu Andreescu - Mathematical Olympiad Treasures)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Ποια είναι αυτή; Ο 4 εμφανίζεται και στη βάση και στον εκθέτη. Δεν ζητάει να προσθέσουμε τις ρίζες αλλά τους πραγματικούς αριθμούς που επαληθεύουν την εξίσωση.
Είναι η περίπτωση η βάση να είναι -1 και ο εκθέτης άρτιος ή μηδέν.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για να είναι μια δύναμη =1 πρέπει η βάση της να είναι =1 ή η βάση να είναι διάφορη του μηδενός και ο εκθέτης =0.
Οταν η βάση =1 έχει ρίζες 1 και 4. οταν ο εκθέτης είναι μηδέν έχει ρίζες 3 και 4. Το ζητούμενο είναι 1+3+4=8 (Το 4 κοινό)
Ολόσωστα αυτά που λες, ξέχασες όμως μία ρίζα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δίνεται η συνάρτηση
Να βρεθούν τα
Η συνάρτηση που έβαλα είναι με πολλαπλό τύπο, αλλά δεν ξέρω πώς να τον γράψω με Latex.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον εκ των x, y, z ισούται με το 0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Α =
Β=
Από τον Ευκλείδη, το περιοδικό. Το καινούργιο τεύχος.
EDIT: Βάζω και άλλη μία:
Γ=
*cough*
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Βάζω τη λύση παρακάτω.
Αν
Αντικαθιστώντας παίρνουμε:
Πρέπει να έκανα καμιά 20αριά λάθη όταν το έγραφα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Όντως gtp είναι. Της USAMO είναι άπειρα πιο δύσκολα όμως...![]()
Αν και δεν τα ξέρω καλά, έχω ακούσει ότι οι Αμερικανοί έχουν την πιο εξαντλητική προετοιμασία για την IMO.
Σκέφτηκα κάτι το οποίο μπορεί να είναι και τελείως άσχετο αλλά θα το πω.
Αφού το 4009 είναι περιττός, θα πρέπει ένας τουλάχιστον από τους προσθετέους να είναι περιττός και ο άλλος άρτιος..
Αυτό είνααιιι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
x=2004
y=1
2^2004-2004+2*2004*1 = 1+4008=4009![]()
Γράψε και το σκεπτικό σου
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς
Μη σας φαίνεται δύσκολη, γιατί δεν είναι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για την αρίθμηση των σελίδων του Λεξικού της Νέας Ελληνικής Γλώσσας του καθηγητή Γ. Μπαμπινιώτη (Β' Έκδοση) χρειάστηκαν συνολικά 7149 ψηφία. Πόσες σελίδες έχει το λεξικό;
[Από το βιβλίο "Ολυμπιάδες Μαθηματικών - Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για τη Β' Γυμνασίου", του Μπάμπη Στεργίου, εκδόσεις Σαββάλας].
Βάζω τη λύση μήπως και θελήσει να την έχει κανείς. Λοιπόν:
Για τις σελίδες 1 ως 9 χρειαζόμαστε 9 ψηφία.
Για τις σελίδες 10 έως 99, που συνολικά είναι 90, χρειαζόμαστε 2 * 90 = 180 ψηφία.
Για τις σελίδες 100 ως 999, που συνολικά είναι 900, χρειαζόμαστε 3 * 900 = 2700.
Άρα, ως τη σελίδα 999 χρειαζόμαστε 9 + 180 + 2700 = 2889 ψηφία.
Τα υπόλοιπα 7149 - 2889 = 4260 ψηφία τα χρησιμοποίησαμε για να αριθμήσουμε τις υπόλοιπες σελίδες. Προφανώς, το βιβλίο δεν μπορεί να έχει πάνω από 10000 σελίδες. Άρα οι αριθμοί είναι τετραψήφιοι. Συνεπώς:
4260 : 4 = 1065 σελίδες
Άρα, το βιβλίο έχει συνολικά 999 + 1065 = 2064 σελίδες
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
άσχετο αλλά θα δώσει κανένας σας amc-10?
Πες περισσότερα, αν μπορείς. Πού γίνεται ο διαγωνισμός;
-Συγκρινεις τα τριγωνα που δημιουργουνται απο τα ισα υψη, τις ισες διαμετρους και μερος της βάσης.
Τι ακριβώς εννοείς;
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Νομίζω σωστή είναι η απόδειξή μου. Μπορεί και οχι.
https://img221.imageshack.us/my.php?image=18112008087au9.jpg
Για τις ιδιότητες του βαρυκέντρου πηγαίνετε σελίδα 107 στη Γεωμετρία του σχολείου.
Σωστός
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
[Από το βιβλίο "Ολυμπιάδες Μαθηματικών - Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για τη Β' Γυμνασίου", του Μπάμπη Στεργίου, εκδόσεις Σαββάλας].
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
όπου t η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
Btw, όποιος έχει καμιά καλή άσκηση Γεωμετρίας, ας τη βάλει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην
ab+bc+ac >= 9abc
διαιρώντας με abc έχουμε να δείξουμε ότι (1/a)+(1/b)+(1/c) >= 9
πού είναι παρόμοια με μιά άσκηση την οποία είχε θέσει ο mostel παλιότερα.
Πού αποδεικνύεται με την ανισότητα cauchy
(a+b+c)/3 >= 3/[(1/a)+(1/b)+(1/c)]
Αποτελειώστε την βάζοντας a+b+c=1 καί κάντε χιαστί.
Ναι, έτσι ακριβώς την έλυσα κι εγώ.
Το πρόβλημα όμως είναι ότι την βρήκα στο Internet ως άσκηση για παιδιά της Α' Λυκείου, η οποία δεν έχει στην ύλη βέβαια την ΑΜ - ΓΜ. Φανταζόμουν, λοιπόν, ότι λύνεται και με πιο εύκολο τρόπο και γι' αυτό την έβαλα. Όποιος τον βρει ας τον γράψει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
:no1:Σύμφωνα με τη τριγωνική ανισότητα έχουμε χωριστά για την κάθε πλευρά:
Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει:
Τώρα νομίζω ότι είναι ok.
Πάντως, αν δεν ήθελες να μπλέξεις με την απόλυτη τιμή [παρ' ότι εδώ είναι τετράγωνο και φεύγει] θα μπορούσες να υπέθετες στην αρχή ότι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,
EDIT: Γιατί δεν εμφανίζεται σωστά το latex στην παράθεση;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
EDIT: Άλλη μια άσκηση [ευχαριστώ πολύ etrygeom].
Αν
Η ισότητα ισχύει όταν
EDIT: Εύκολο είναι Shadowfax
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Η λύση που έχει στο βιβλίο και μ' άρεσε είναι η εξής:
Συνεπώς,
Βάζω κι άλλη μία από το ίδιο βιβλίο:
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
A =
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Dreamkiller
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Την παρακάτω άσκηση τη βρήκα στο βιβλίο "Η Άλγεβρα στις Μαθηματικές Ολυμπιάδες" του Σωκράτη Ρωμανίδη. Δεν είναι δύσκολη, απλά θέλει λίγη φαντασία.
Αν για τους πραγματικούς αριθμούς
να υπολογίσετε το
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.