Μαθηματικά: αντίστροφη συνάρτηση και ανίσωση

[Helen06]

Γειά σας, μπορεί κάποιος να βοηθήσει σ'αυτήν την ανίσωση;

Σε περίπτωση που χρειαστεί αυτή είναι η δοσμένη σχέση, ωστόσο σ'αυτήν ζητάει και να βρω το πεδίο ορισμού, η ερώτησή μου για το π.ο είναι το ριζα(χ-3) +1 >0 ισχύει πάντα; δηλαδή θα ήταν λάθος αν πάω το 1 στο 2ο μέλος υψώσω στο τετράγωνο κλπ;

 

[Guest 586541]

Γειά σας, μπορεί κάποιος να βοηθήσει σ'αυτήν την ανίσωση;

Σε περίπτωση που χρειαστεί αυτή είναι η δοσμένη σχέση, ωστόσο σ'αυτήν ζητάει και να βρω το πεδίο ορισμού, η ερώτησή μου για το π.ο είναι το ριζα(χ-3) +1 >0 ισχύει πάντα; δηλαδή θα ήταν λάθος αν πάω το 1 στο 2ο μέλος υψώσω στο τετράγωνο κλπ;

Βρες την f^-1 από την f, σκέψου τι συνήθως κάνουμε σε τέτοιου είδους ανισώσεις. Πρέπει το χ-3 να είναι μη αρνητικό αφού είναι κάτω από το υπόρριζο. Επειδή οι ρίζες είναι μη αρνητικές, ό,τι είναι εντός του ln είναι θετικό και μάλιστα μεγαλύτερο ή ίσο του 1, έχε το κατά νου στους περιορισμούς που θα πάρεις. Προσπάθησέ την και αν κολλάς και πάλι εδώ είμαστε.

Το να υψώσεις στο τετράγωνο δεν είναι σωστό. Για παράδειγμα, -1<0 δεν σημαίνει ότι (-1)^2<0^2 δηλαδή 1<0. Υψώνουμε σε άρτια δύναμη μόνο όταν και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά.

 

[Samael]

Γειά σας, μπορεί κάποιος να βοηθήσει σ'αυτήν την ανίσωση;

Σε περίπτωση που χρειαστεί αυτή είναι η δοσμένη σχέση, ωστόσο σ'αυτήν ζητάει και να βρω το πεδίο ορισμού, η ερώτησή μου για το π.ο είναι το ριζα(χ-3) +1 >0 ισχύει πάντα; δηλαδή θα ήταν λάθος αν πάω το 1 στο 2ο μέλος υψώσω στο τετράγωνο κλπ;

Γεια σου Ελένη.

Το πεδίο ορισμού της f είναι το x >= 3 .
Η ρίζα είναι πάντα μη αρνητική , οπότε με + 1 έχεις μια καθαρά θετική ποσότητα στο όρισμα του λογάριθμου . Επομένως για να ορίζεται η συνάρτηση το μόνο που απαιτείται είναι το υπόριζο να είναι θετικό , το οποίο φυσικά σημαίνει το x να είναι >=3 .

Η ln για την ακρίβεια είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση , οπότε η -ln είναι γνησίως φθίνουσα . Το +3 απλά κάνει μια κατακόρυφη μετατόπιση οπότε δεν επηρεάζει την μονοτονία και έτσι η f είναι γνησίως φθίνουσα .

Αυτό μπορείς να το δείξεις εύκολα . Εαν ξέρεις οτι :
g(x) = -f(x) και η f είναι γνησίως αύξουσα , τότε :

x1 < x2 => f γνησίως αύξουσα
f(x1) < f(x2) =>
-f(x1) > -f(x2) =>
g(x1) > g(x2)

Οπότε πράγματι η g είναι γνησίως φθίνουσα .
Στην ανίσωση που έχεις να λύσεις λοιπόν μπορείς να περάσεις f και στα δύο μέλη αξιοποιώντας την μονοτονία της :

f-1(x) < e² -2e +4 => f γνησίως φθίνουσα
f(f-1(x)) > f(e² -2e +4) =>
x > f(e² -2e +4) =>
x > 3 - ln( sqrt( (e - 1)²) ) + 1) = 3 - ln( e - 1 + 1 ) = 3 - lne = 2
x > 2

 

[Helen06]

x > 3 - ln( sqrt( (e - 1)²) ) + 1) = 3 - ln( e - 1 + 1 ) = 3 - lne = 2
x > 2

λίγο με έχασες εδώ, μέχρι τα πιο πάνω οκ, αρχικά και εγώ μέχρι εκεί τα έφτασα αλλα εδώ τι εννοεις;

 

[Samael]

λίγο με έχασες εδώ, μέχρι τα πιο πάνω οκ, αρχικά και εγώ μέχρι εκεί τα έφτασα αλλα εδώ τι εννοεις;

Έλα βρε , στο πιο απλό κόλλησες .

Πια πάνω καταλήγουμε στην :
x > f(e² -2e +4)

Θεώρησε τον αριθμό :
u = e² -2e + 4

Οπότε :
f(e² -2e + 4) = f(u)

Έτσι :
f(u) = 3 - ln[ sqrt( u - 3 ) + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ sqrt( e² -2e + 4 - 3 ) + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ sqrt( e² -2e + 1 ) + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ sqrt( {e - 1}²) + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ |e - 1| + 1 ] => e - 1 > 0
f(u) = 3 - ln[ e - 1 + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ e - 1 + 1 ] =>
f(u) = 3 - lne =>
f(u) = 2 =>
f(e² -2e + 4) = 2

 

[Helen06]

Έλα βρε , στο πιο απλό κόλλησες .

Πια πάνω καταλήγουμε στην :
x > f(e² -2e +4)

Θεώρησε τον αριθμό :
u = e² -2e + 4

Οπότε :
f(e² -2e + 4) = f(u)

Έτσι :
f(u) = 3 - ln[ sqrt( u - 3 ) + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ sqrt( e² -2e + 4 - 3 ) + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ sqrt( e² -2e + 1 ) + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ sqrt( {e - 1}²) + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ |e - 1| + 1 ] => e - 1 > 0
f(u) = 3 - ln[ e - 1 + 1 ] =>
f(u) = 3 - ln[ e - 1 + 1 ] =>
f(u) = 3 - lne =>
f(u) = 2 =>
f(e² -2e + 4) = 2

αααα οκει κατάλααβα, γίνεται πάντως να θέτουμε σε όποιο σημείο μας βολεύει για να συνεχίσουμε γιατί το έκανα και σε μία άλλη άσκηση με λίγη αμφιβολία. Παρόλα αυτά σ'ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σου!

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 24 Αυγούστου 2023

Το να υψώσεις στο τετράγωνο δεν είναι σωστό. Για παράδειγμα, -1<0 δεν σημαίνει ότι (-1)^2<0^2 δηλαδή 1<0. Υψώνουμε σε άρτια δύναμη μόνο όταν και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά.

Τέλεια ναι! Σ'ευχαριστώ

 

[Samael]

αααα οκει κατάλααβα, γίνεται πάντως να θέτουμε σε όποιο σημείο μας βολεύει για να συνεχίσουμε γιατί το έκανα και σε μία άλλη άσκηση με λίγη αμφιβολία. Παρόλα αυτά σ'ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σου!

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 24 Αυγούστου 2023

Τέλεια ναι! Σ'ευχαριστώ

Θέτε όπου μπορείς εαν πιστεύεις οτι βελτιώνει την αισθητική του γραπτού σου ή όταν διευκολύνει/μειώνει το γράψιμο . Μπορεί επιπλέον να αποτελέσει σημαντικό βοήθημα για να δεις πιο ξεκάθαρα ορισμένα πράγματα .

Σχετικά με την ερώτηση για το τετράγωνο...να σημειώσω οτι μπορείς να υψώσεις σε δύναμη εαν ξέρεις οτι και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά ή εαν ξέρεις οτι είναι και τα δύο αρνητικά . Λόγου χάρη :

Αν 0 <= x < y , τότε : x² < y²
Αν y < x <= 0 , τότε : x² < y²

Αν ισχύει x < 0 < y , τότε δεν μπορείς να αποφανθείς τι ισχύει για τα τετράγωνα εκτός εαν έχεις γνώση σχετικά με τις απόλυτες τιμές τους ή αν διακρίνεις περιπτώσεις :

Aν |χ| > |y| :
|χ| - |y| > 0 =>
(|χ| - |y|)(|χ| + |y|) > 0 *
|χ|² - |y|² > 0
χ² > y²

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεις οτι αν |χ| < |y| :
χ² < y²

*|χ| + |y| > 0 , εφόσον |α| >= 0 , με |α| = 0 μόνο αν α = 0 , και x,y != 0

Καλό διάβασμα

 

[Helen06]

Θέτε όπου μπορείς εαν πιστεύεις οτι βελτιώνει την αισθητική του γραπτού σου ή όταν διευκολύνει/μειώνει το γράψιμο . Μπορεί επιπλέον να αποτελέσει σημαντικό βοήθημα για να δεις πιο ξεκάθαρα ορισμένα πράγματα .

Σχετικά με την ερώτηση για το τετράγωνο...να σημειώσω οτι μπορείς να υψώσεις σε δύναμη εαν ξέρεις οτι και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά ή εαν ξέρεις οτι είναι και τα δύο αρνητικά . Λόγου χάρη :

Αν 0 <= x < y , τότε : x² < y²
Αν y < x <= 0 , τότε : x² < y²

Αν ισχύει x < 0 < y , τότε δεν μπορείς να αποφανθείς τι ισχύει για τα τετράγωνα εκτός εαν έχεις γνώση σχετικά με τις απόλυτες τιμές τους ή αν διακρίνεις περιπτώσεις :

Aν |χ| > |y| :
|χ| - |y| > 0 =>
(|χ| - |y|)(|χ| + |y|) > 0 *
|χ|² - |y|² > 0
χ² > y²

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεις οτι αν |χ| < |y| :
χ² < y²

*|χ| + |y| > 0 , εφόσον |α| >= 0 , με |α| = 0 μόνο αν α = 0 , και x,y != 0

Καλό διάβασμα

Πωω Σευχαριστώ πάρα πολυ!!

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 24 Αυγούστου 2023

Γίνεται να την λύσω έτσι: f(f-1(e^f(x)-1)=f(0)<=>e^f(x)-1=f(0) και μετα στη θέση του 0 να βάλω το f-1(0) για να βγει και να μείνει 0;

 

[Guest 586541]

Γίνεται να την λύσω έτσι: f(f-1(e^f(x)-1)=f(0)<=>e^f(x)-1=f(0) και μετα στη θέση του 0 να βάλω το f-1(0) για να βγει και να μείνει 0;

Αν η f είναι η ίδια, όχι, δεν μπορείς να περάσεις f σε πρώτη φάση γιατί το πεδίο ορισμού της είναι το [3,+oo).

Αν μπορούσες, θα έπρεπε να ισχύει f^-1(0)=0 για να κάνεις την αντικατάσταση που λες (δεν ισχύει εν προκειμένω).

Επειδή φαντάζομαι ότι η f είναι ίδια, η άσκηση λύνεται κανονικά, σκέψου πιο πονηρά. Μελέτησε την f^-1...δες τι σου έγραψα στην αρχή...

 

[Helen06]

Αν η f είναι η ίδια, όχι, δεν μπορείς να περάσεις f σε πρώτη φάση γιατί το πεδίο ορισμού της είναι το [3,+oo).

Αν μπορούσες, θα έπρεπε να ισχύει f^-1(0)=0 για να κάνεις την αντικατάσταση που λες.

Επειδή φαντάζομαι ότι η f είναι ίδια, η άσκηση λύνεται, σκέψου πιο πονηρά. Μελέτησε την f^-1...

οχι οχι ειναι άλλη άσκηση συγνωμη, η δοσμένη σχέση είναι αυτή f(f(x))-f(x)=-x

 

[Samael]

οχι οχι ειναι άλλη άσκηση συγνωμη, η δοσμένη σχέση είναι αυτή f(f(x))-f(x)=-x

Σωστή , αλλά δεν υπάρχει λόγος να αντικαταστήσεις το 0 με f-1(0) εφόσον ξέρεις οτι f(0) = 0 .

 

[Guest 586541]

οχι οχι ειναι άλλη άσκηση συγνωμη, η δοσμένη σχέση είναι αυτή f(f(x))-f(x)=-x

Ααααααα ΟΚ. Πάντως έβγαινε και στο άλλο καλό θέμα.

Φαντάζομαι για κάθε x που ανήκει στους πραγματικούς η σχέση και έβγαλες ότι είναι 1-1.

Λοιπόν, ό,τι σου είπα και πριν. Το πρώτο βήμα είναι ΟΚ, μην μπλέξεις μετά, βρες πόσο κάνει το f(0), εύκολο από 1-1 (που μάλλον το έκανες αν καταλαβαίνω καλά). Αν και σωστή είναι η αντικατάστασή σου. Στο λέω μπαίνοντας στο μυαλό αυτών που διορθώνουν, δεν θέλουν να βλέπουν πλάγιες μεθόδους αρκετοί εξ' αυτών. Κακώς βέβαια, αλλά έτσι συμβαίνει.

 

[Helen06]

f(0) = 0

Α οντως ισχυει; ουπς (δεν κάναμε πάντως παράγωγο αν τυχαία είναι σ'εκείνη την ενότητα)

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 24 Αυγούστου 2023

Το πρώτο βήμα είναι ΟΚ, μην μπλέξεις μετά, βρες πόσο κάνει το f(0), εύκολο από 1-1 (που μάλλον το έκανες αν καταλαβαίνω καλά).

ναι το ζητούσε και στο α ερώτημα της άσκησης αλλα πως βρίσκω απο 1-1 πόσο κάνει το f(0)

 

[Samael]

Α οντως ισχυει; ουπς

Φαντάζομαι απέδειξες οτι είναι 1-1 , δεν είναι δύσκολο με τον ορισμό .
Απο εκεί και πέρα εαν βάλεις όπου χ το 0 :

f(f(x)) - f(x)= -x =>
f(f(0)) = f(0) => επειδή η f είναι 1-1 όμως
f(0) = 0

 

[Helen06]

Φαντάζομαι απέδειξες οτι είναι 1-1 δεν είναι δύσκολο με τον ορισμό .
Απο εκεί και πέρα εαν έβαλες όπου χ το 0 :

f(f(x))-f(x)=-x
f(f(0)) = f(0) => επειδή η f : 1-1
f(0) = 0

αα ναι ειμαι χαζή Ευχαριστώ και τους δυο σας!!

 

[Samael]

αα ναι ειμαι χαζή Ευχαριστώ και τους δυο σας!!

Χαρά μας .
Practice makes perfect girl . Συνέχισε και θα γίνεσαι ολοένα και καλύτερη .

 

[Guest 586541]

ναι το ζητούσε και στο α ερώτημα της άσκησης αλλα πως βρίσκω απο 1-1 πόσο κάνει το f(0)

Όπως σου είπε ο @Samael.

 

[Helen06]

Μια τελευταία ερω΄τηση Έκανα τιςσ πράξεις και κατέληξα στο f(x)=0 γίνεται να πω ότι θέτω χ =f-1(x);

 

[Samael]

Μια τελευταία ερω΄τηση Έκανα τιςσ πράξεις και κατέληξα στο f(x)=0 γίνεται να πω ότι θέτω χ =f-1(x);

Μωρέ κάνε όσες θες , δεν έχει όριο .
Πιστεύω ότι ο πιο κατάλληλος τρόπος θα ήταν να πεις πως εφόσον f(0) = 0 η εξίσωση γράφεται :
f(x) = f(0)

Η f όμως είναι 1-1 , άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση το x = 0 .

Ο τρόπος που προτείνεις δεν είναι σωστός διότι τι θα γινόταν εάν η f δεν μηδενιζοταν στο x = 0 ; Αυτή η αντικατάσταση επιβάλει οτι η f μηδενίζεται απαραίτητα στο 0 , το οποίο δεν είναι υποχρεωτικό για μια τυχούσα αντιστρέψιμη συνάρτηση .

 

[Helen06]

Πιστεύω ότι ο πιο κατάλληλος τρόπος θα ήταν να πεις πως εφόσον f(0) = 0 η εξίσωση γράφεται :
f(x) = f(0)

Η f όμως είμαι 1-1 , άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση το x = 0 .

AX NAIII θεε μου τι εχω παθει