Μαθηματικά γ λυκείου (Σύνολο τιμών)

[Helen06]

Και ναι, ακόμα η αρχή και δυσκολεύομαι Θα ήθελα αν μπορεί κάποιοςνα λύσει αυτα γιατί τόση ώρα προσπαθώ και έχω φάει το κεφάλι μου.1)f(x)=(e^x + 1)/(e^x - 1)
2)f(x)=ln(e^x-1) εδώ βέβαια βρήκα αυτό μου κάνει και για σωστό

3)φ(χ)=lnx/lnx-1

 

[Helen06]

Παιδιά μόλις τ έλυσα, απίστευτο. Το μόνο που θέλωνα ρωτήσω είναι αν ισχύει lnx=y/y-1 <=> lnx=lne^y/(y-1)

 

[Guest 749981]

Πεδίο ορισμού φ: (0, e) U (e, άπειρο).

lnx/(lnx - 1) = y <=> lnx = y(lnx - 1) <=> lnx = ylnx - y <=> lnx(1-y) = y <=> lnx = y/(1 - y) <=> x = e^(y/(1-y)), y ≠ 1.

 

[Helen06]

Αχ τελειαααα δεν υπάρχει καλύτερη ευτυχία απ'το να βγαίνουν ασκήσεις μαθηματικών αλήθεια

 

[iiTzArismaltor_]

Απ' ό,τι καταλαβαίνω, θες να βρεις το πεδίο ορισμού μίας αντίστροφης συνάρτησης, έτσι; Για να το κάνεις αυτό, έχεις 2 επιλογές:

1) Βρίσκεις μονοτονία για την f και μετά βρίσκεις το σύνολο τιμών παίρνοντας όρια. Φαντάζομαι ότι δεν έχεις μάθει ακόμα παράγωγο, οπότε τη μονοτονία τη βρίσκεις από τον ορισμό. Πρέπει, βέβαια, οι συναρτήσεις να είναι γνησίως μονότονες.

2) Αν δεν είναι γνησίως μονότονη, τότε αποδεικνύεις αρχικά ότι είναι αντιστρέψιμες (1-1) μέσω του ορισμού (δηλαδή ότι για οποιαδήποτε x1, x2 που ανήκουν Af, αν f(x1)=f(x2), τότε x1=x2). Μετά, για να βρεις την αντίστροφη, γράφεις κανονικά y=f(x) όπως έχεις κάνει κι εσύ. Ωστόσο, για το πεδίο ορισμού της αντίστροφης, τώρα θα πρέπει να παίρνεις περιορισμούς ως προς το y σε κάθε σειρά και στο τέλος να βρεις σε ποιο διάστημα (ή ένωση διαστημάτων), συναληθεύουν.


Στο 1ο παράδειγμα, έχεις f(x)=(e^x+1)/(e^x-1), x≠0.
Πάμε να το λύσουμε με τον 2ο τρόπο.

Λέμε, έστω x1, x2€Af με
f(x1)=f(x2) <=>
(e^x1+1)/(e^x1-1)=(e^x2+1)/(e^x2-1)

Αν κάνεις χιαστί και συνεχίσεις λίγο τις πράξεις, θα καταλήξεις ότι x1=x2. Άρα, η f είναι αντιστρέψιη.

Πάμε να βρούμε και τον τύπο της αντίστροφης. Για την αντίστροφη, ξέρουμε ότι y=f(x) <=> f¯¹(y)=x. Επίσης, η αντίστροφη, σύμφωνα με τη θεωρία, έχει ως σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της f και ως πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f. Πρέπει, λοιπόν, να λύσουμε ως προς x. Άρα, λέμε

y=f(x)
y = (e^x+1)/(e^x-1)
ye^x - y = e^x +1
ye^x - e^x = y + 1
e^x(y-1) = y + 1
e^x = (y+1)/(y-1)
x = ln[(y+1)/(y-1)]

Όμως, σύμφωνα με το πεδίο ορισμού της f, ισχύει ότι x≠0. Άρα,
ln[(y+1)/(y-1)] ≠ 0
ln[(y+1)/(y-1)] ≠ ln1
(y+1)/(y-1) ≠ 1
y+1 ≠ y - 1
2 ≠ 0, που ισχύει.
Άρα, δεν βρήκαμε κάποιον περιορισμό ως προς y. Επομένως, το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι όλο το R.

Επομένως, για τον τύπο της αντίστροφης, ισχύει f¯¹(y) =x ή f¯1(y) = ln[(y+1)/(y-1)], y€R. Βέβαια, μετά μπορείς να αλλάξεις μεταβλητή, διότι είτε x είτε y το ίδιο είναι, εφόσον έχεις μόνο έναν άγνωστο. Τελικά, προκύπτει ότι:

f¯1(x) = ln[(x+1)/(x-1)], x€R.
Με αντίστοιχο τρόπο βγαίνουν και τα υπόλοιπα. Καλή συνέχεια!

 

[Helen06]

Απ' ό,τι καταλαβαίνω, θες να βρεις το πεδίο ορισμού μίας αντίστροφης συνάρτησης, έτσι; Για να το κάνεις αυτό, έχεις 2 επιλογές:

1) Βρίσκεις μονοτονία για την f και μετά βρίσκεις το σύνολο τιμών παίρνοντας όρια. Φαντάζομαι ότι δεν έχεις μάθει ακόμα παράγωγο, οπότε τη μονοτονία τη βρίσκεις από τον ορισμό. Πρέπει, βέβαια, οι συναρτήσεις να είναι γνησίως μονότονες.

2) Αν δεν είναι γνησίως μονότονη, τότε αποδεικνύεις αρχικά ότι είναι αντιστρέψιμες (1-1) μέσω του ορισμού (δηλαδή ότι για οποιαδήποτε x1, x2 που ανήκουν Af, αν f(x1)=f(x2), τότε x1=x2). Μετά, για να βρεις την αντίστροφη, γράφεις κανονικά y=f(x) όπως έχεις κάνει κι εσύ. Ωστόσο, για το πεδίο ορισμού της αντίστροφης, τώρα θα πρέπει να παίρνεις περιορισμούς ως προς το y σε κάθε σειρά και στο τέλος να βρεις σε ποιο διάστημα (ή ένωση διαστημάτων), συναληθεύουν.


Στο 1ο παράδειγμα, έχεις f(x)=(e^x+1)/(e^x-1), x≠0.
Πάμε να το λύσουμε με τον 2ο τρόπο.

Λέμε, έστω x1, x2€Af με
f(x1)=f(x2) <=>
(e^x1+1)/(e^x1-1)=(e^x2+1)/(e^x2-1)

Αν κάνεις χιαστί και συνεχίσεις λίγο τις πράξεις, θα καταλήξεις ότι x1=x2. Άρα, η f είναι αντιστρέψιη.

Πάμε να βρούμε και τον τύπο της αντίστροφης. Για την αντίστροφη, ξέρουμε ότι y=f(x) <=> f¯¹(y)=x. Επίσης, η αντίστροφη, σύμφωνα με τη θεωρία, έχει ως σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της f και ως πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f. Πρέπει, λοιπόν, να λύσουμε ως προς x. Άρα, λέμε

y=f(x)
y = (e^x+1)/(e^x-1)
ye^x - y = e^x +1
ye^x - e^x = y + 1
e^x(y-1) = y + 1
e^x = (y+1)/(y-1)
x = ln[(y+1)/(y-1)]

Όμως, σύμφωνα με το πεδίο ορισμού της f, ισχύει ότι x≠0. Άρα,
ln[(y+1)/(y-1)] ≠ 0
ln[(y+1)/(y-1)] ≠ ln1
(y+1)/(y-1) ≠ 1
y+1 ≠ y - 1
2 ≠ 0, που ισχύει.
Άρα, δεν βρήκαμε κάποιον περιορισμό ως προς y. Επομένως, το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι όλο το R.

Επομένως, για τον τύπο της αντίστροφης, ισχύει f¯¹(y) =x ή f¯1(y) = ln[(y+1)/(y-1)], y€R. Βέβαια, μετά μπορείς να αλλάξεις μεταβλητή, διότι είτε x είτε y το ίδιο είναι, εφόσον έχεις μόνο έναν άγνωστο. Τελικά, προκύπτει ότι:

f¯1(x) = ln[(x+1)/(x-1)], x€R.
Με αντίστοιχο τρόπο βγαίνουν και τα υπόλοιπα. Καλή συνέχεια!

Καλέ δε φτάσαμε ακόμα αντίστροφες. Ουσιαστικά ήθελε να βρω το σύνολο τιμών των συναρτήσεων Αλλά όπως και να χει τα ψιλοκατάλαβα σευχαριστώ πάρα πολύ για την απάντηση τα ανάλυσες πολύ ωραία