Άσκηση στις ανισότητες και ολοκληρώματα

[Guest 831328]

Μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και έχει συνεχή και θετική δεύτερη παράγωγο στο διάστημα [0, 2π] Να αποδείξετε ότι
Ολοκληρώμα 0 εως 2π (f(x)*συνχ)>0

Μπορείτε να με βοηθήσετε σε αυτή την άσκηση έχω κολλήσει λίγο..

 

[Samael]

Μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και έχει συνεχή και θετική δεύτερη παράγωγο στο διάστημα [0, 2π] Να αποδείξετε ότι
Ολοκληρώμα 0 εως 2π (f(x)*συνχ)>0

Μπορείτε να με βοηθήσετε σε αυτή την άσκηση έχω κολλήσει λίγο..

Λοιπόν :

f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και f''(x) > 0 , συνεχής στο [0,2π].
(Τα ολοκληρώματα που ακολουθούν είναι απο 0 εως 2π και το S σημαίνει ολοκλήρωμα) :

Sf(x)συνx dx = f(x)ημx| - Sf'(x)ημxdx => f(2π)ημ(2π) = f(0)ημ(0) = 0
Sf(x)συνx dx = Sf'(x)[συνx]'dx =>
Sf(x)συνx dx = f'(x)συνx| - Sf''(x)συνx dx =>
Sf(x)συνx dx = f'(2π) - f'(0) - Sf''(x)συνx dx

Όμως :
-1<συνx<1 => f''(x) >0 , για κάθε χ Ε [0,2π]
-f''(x) < f''(x)συνx < f''(x)

Ολοκληρώνουμε απο 0 εως 2π(επιτρέπεται εφόσον η f'' είναι συνεχής) :
-Sf''(x) dx < Sf''(x)συνx dx < Sf''(x) dx => προσθέτουμε f'(2π) - f'(0)
f'(2π) - f'(0) -Sf''(x) dx < f'(2π) - f'(0) + Sf''(x)συνx dx < f'(2π) - f'(0) + Sf''(x) dx =>
Sf(x)συνx dx > f'(2π) - f'(0) -Sf''(x) dx =f'(2π) - f'(0) - f'(x)| = f'(2π) - f'(0) - [f'(2π) - f(0)] = 0
Άρα : Sf(x)συνx dx > 0 .

Γενικά όπου υπάρχει συνάρτηση που μένει αναλλοίωτη μετά απο την παραγώγιση ή μετά απο πεπερασμένο πλήθος παραγωγήσεων καταλήγει να είναι η συνάρτηση ίδια με την αρχική(δηλαδή εκθετικές και ημιτονοειδείς συναρτήσεις) , σοφό είναι να σκέφτεσαι πάντα την ολοκλήρωση κατά μέλη. Ελπίζω τα βήματα να είναι κατανοητά.

 

[eukleidhs1821]

Μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και έχει συνεχή και θετική δεύτερη παράγωγο στο διάστημα [0, 2π] Να αποδείξετε ότι
Ολοκληρώμα 0 εως 2π f(x)*συνχ > 0

Μπορείτε να με βοηθήσετε σε αυτή την άσκηση έχω κολλήσει λίγο..

ωραια ασκηση.παραγοντικη ολοκληρωση πρεπει να κανεις.
ολοκληρωμα απο 0 εως 2π f(x)(ημχ)'dx=f(2π)ημ2π-f(0)ημ0-ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf'(x)ημχ=-ολοκληρωμα απο 0 εως 2π f'(x)ημχdχ (1)
ολοκληρωμα απο 0 εως 2π=-ολοκληρωμα απο 0 εως 2π f'(x)(συνχ)'dx=-f'(2π)συν2π+f'(0)συν0+ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf''(x)συνχdx
με βαση την (1) ολοκληρωμα απο 0 εως 2π f(x)dx=f'(2π)-f'(0)-ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf''(x)συνχdx Λοιπόν :

f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και f''(x) > 0 , συνεχής στο [0,2π].
(Τα ολοκληρώματα που ακολουθούν είναι απο 0 εως 2π και το S σημαίνει ολοκλήρωμα) :

Sf(x)συνx dx = f(x)ημx| - Sf'(x)ημxdx => f(2π)ημ(2π) = f(0)ημ(0) = 0
Sf(x)συνx dx = Sf'(x)[συνx]'dx =>
Sf(x)συνx dx = f'(x)συνx| - Sf''(x)συνx dx =>
Sf(x)συνx dx = f'(2π) - f'(0) - Sf''(x)συνx dx

edit : Έκανα λαθάκι εδώ περίμενε λίγο.

εχεις κανει λαθος.f'(2π)-f'(0)>0 λογω γν.αυξουσας της f' και θετεις I διαφορετικες ποσοστητες

 

[Samael]

ωραια ασκηση.παραγοντικη ολοκληρωση πρεπει να κανεις.
ολοκληρωμα απο 0 εως 2π f(x)(ημχ)'dx=f(2π)ημ2π-f(0)ημ0-ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf'(x)ημχ=-ολοκληρωμα απο 0 εως 2π f'(x)ημχdχ (1)
ολοκληρωμα απο 0 εως 2π=-ολοκληρωμα απο 0 εως 2π f'(x)(συνχ)'dx=-f'(2π)συν2π+f'(0)συν0+ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf''(x)συνχdx
με βαση την (1) ολοκληρωμα απο 0 εως 2π f(x)dx=f'(2π)-f'(0)-ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf''(x)συνχdx ολοκληρωμα απο 0 εως 2π (f(x)+f''(x))συνχdx>0

εχεις κανει λαθος.f'(2π)-f'(0)>0 λογω γν.αυξουσας της f' και θετεις I διαφορετικες ποσοστητες

Ναι το είδα.

 

[eukleidhs1821]

Ναι το είδα.

απλα καπου κολλαω στο τελος δεν μπορω να βγαλω την θετικοτητα.μηπως τα ακρα δεν ειναι 0 εως 2π και ειναι 0 εως π/2 ξερω γω που το συνημιτονο εχει σταθερο προσημο

 

[Samael]

απλα καπου κολλαω στο τελος δεν μπορω να βγαλω την θετικοτητα.μηπως τα ακρα δεν ειναι 0 εως 2π και ειναι 0 εως π/2 ξερω γω που το συνημιτονο εχει σταθερο προσημο

Δες το αρχικό μου μήνυμα το τροποποίησα με την σωστή λύση.

 

[Cade]

Όμως :
-1<συνx<1 => f''(x) >0 , για κάθε χ Ε [0,2π]
-f''(x) < f''(x)συνx < f''(x)

Εδώ πως πολλαπλασίασες κατά μέλη ;
Άκυρο μόλις το είδα

 

[eukleidhs1821]

ελεος που κολλησα.!!
-1<=συνχ<=1 πολλαπλασιαζω με f'' χωρις να αλλαξει φορα λογω θετικοτητας
-f''(x)<=f''(x)συνχ<=f''(x)
πεφτω στα ολοκληρωματα (απλα θελει επεξηγησεις γτ δεν παιρνεις το ισον που βαριεμαι αυτη τη στιγμη να τις γραψω οι γνωριζοντες ξερουν)
ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf''(x)συνχdx<ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf''(x)dx=f'(2π)-f'(0)
το πας σε ενα μελος και η ποσοτητα ειναι καθαρα θετικη.
γυρναω στην αρχικη και αποδειχτηκε

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

Εδώ πως πολλαπλασίασες κατά μέλη ;
Άκυρο μόλις το είδα

δεν πολλαπλασιασε κατα μελη.πολλαπλασιασε απο ολες τις μπαντες με f'' που απο υποθεση ειναι θετικη και δεν αλλαζει τιποτα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

παντως σας βαζουν ωραιες ασκησεις οι καθηγητες.τετοιου στυλ βαζουνε στο τεταρτο θεμα.αυτο θα ηταν ενα ωραιο δ3

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

Λοιπόν :

f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και f''(x) > 0 , συνεχής στο [0,2π].
(Τα ολοκληρώματα που ακολουθούν είναι απο 0 εως 2π και το S σημαίνει ολοκλήρωμα) :

Sf(x)συνx dx = f(x)ημx| - Sf'(x)ημxdx => f(2π)ημ(2π) = f(0)ημ(0) = 0
Sf(x)συνx dx = Sf'(x)[συνx]'dx =>
Sf(x)συνx dx = f'(x)συνx| - Sf''(x)συνx dx =>
Sf(x)συνx dx = f'(2π) - f'(0) - Sf''(x)συνx dx

Όμως :
-1<συνx<1 => f''(x) >0 , για κάθε χ Ε [0,2π]
-f''(x) < f''(x)συνx < f''(x)

Ολοκληρώνουμε απο 0 εως 2π(επιτρέπεται εφόσον η f'' είναι συνεχής) :
-Sf''(x) dx < Sf''(x)συνx dx < Sf''(x) dx => προσθέτουμε f'(2π) - f'(0)
f'(2π) - f'(0) -Sf''(x) dx < f'(2π) - f'(0) + Sf''(x)συνx dx < f'(2π) - f'(0) + Sf''(x) dx =>
Sf(x)συνx dx > f'(2π) - f'(0) -Sf''(x) dx =f'(2π) - f'(0) - f'(x)| = f'(2π) - f'(0) - [f'(2π) - f(0)] = 0
Άρα : Sf(x)συνx dx > 0 .

Γενικά όπου υπάρχει συνάρτηση που μένει αναλλοίωτη μετά απο την παραγώγιση ή μετά απο πεπερασμένο πλήθος παραγωγήσεων καταλήγει να είναι η συνάρτηση ίδια με την αρχική(δηλαδή εκθετικές και ημιτονοειδείς συναρτήσεις) , σοφό είναι να σκέφτεσαι πάντα την ολοκλήρωση κατά μέλη. Ελπίζω τα βήματα να είναι κατανοητά.

νομιζω ο αριστος θα κολλαγε στο τελος σε αυτη την ερωτηση οπως κολλησα εγω προς στιγμην.δηλαδη θα το φτανε εκει που πηγες.δηλαδη η γνωση δημοτικου που φρασσεται το συνημιτονο πως σου λυνει τα χερια εδω!!ειναι να τρελαινεσαι καμια φορα

 

[asdfqwerty]

ελεος που κολλησα.!!
-1<=συνχ<=1 πολλαπλασιαζω με f'' χωρις να αλλαξει φορα λογω θετικοτητας
-f''(x)<=f''(x)συνχ<=f''(x)
πεφτω στα ολοκληρωματα (απλα θελει επεξηγησεις γτ δεν παιρνεις το ισον που βαριεμαι αυτη τη στιγμη να τις γραψω οι γνωριζοντες ξερουν)
ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf''(x)συνχdx<ολοκληρωμα απο 0 εως 2πf''(x)dx=f'(2π)-f'(0)
το πας σε ενα μελος και η ποσοτητα ειναι καθαρα θετικη.
γυρναω στην αρχικη και αποδειχτηκε

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

δεν πολλαπλασιασε κατα μελη.πολλαπλασιασε απο ολες τις μπαντες με f'' που απο υποθεση ειναι θετικη και δεν αλλαζει τιποτα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

παντως σας βαζουν ωραιες ασκησεις οι καθηγητες.τετοιου στυλ βαζουνε στο τεταρτο θεμα.αυτο θα ηταν ενα ωραιο δ3

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

νομιζω ο αριστος θα κολλαγε στο τελος σε αυτη την ερωτηση οπως κολλησα εγω προς στιγμην.δηλαδη θα το φτανε εκει που πηγες.δηλαδη η γνωση δημοτικου που φρασσεται το συνημιτονο πως σου λυνει τα χερια εδω!!ειναι να τρελαινεσαι καμια φορα

και πως το συμπεραινεις αυτο ? οτι ο αριστος θα κολλησει εκει που κολλησες εσυ . Kατατασεις δηλαδη τον εαυτο σου στους αριστους

 

[Samael]

Εάν και πολύ λεπτομέρεια, το γιατί απορρίψαμε την ισότητα, το έκανα στα γρήγορα και ασυνείδητα, ωστόσο είναι σημαντικό να διευκρινιστεί(μαθηματικά κάνουμε...άλλωστε)...και η εξήγηση απλή. Η ισότητα θα ισχύει μόνο για διακεκριμένες τιμές(0,π,2π) και όχι παντού στο διάστημα 0 εως 2π. Άρα η ανισο-ισότητα μετατρέπεται σε καθαρή ανισότητα.

 

[eukleidhs1821]

Εάν και πολύ λεπτομέρεια, το γιατί απορρίψαμε την ισότητα, το έκανα στα γρήγορα και ασυνείδητα, ωστόσο είναι σημαντικό να διευκρινιστεί(μαθηματικά κάνουμε...άλλωστε)...και η εξήγηση απλή. Η ισότητα θα ισχύει μόνο για διακεκριμένες τιμές(0,π,2π) και όχι παντού στο διάστημα 0 εως 2π. Άρα η ανισο-ισότητα μετατρέπεται σε καθαρή ανισότητα.

η εξηγηση ειναι οτι δεν ισχυει παντου η ισοτητα.εχω την αισθηση οτι φ(χ)<=g(x) κατα το σχολικο δεν μπορεις να το παρεις απευθειας αλλα να το πας στο πρωτο μελος και να το κανεις οπως το σχολικο.δεν ξερω αν εχουν αλλαξει οι καταστασεις και δινεται απευθειας αλλα στα χρονια τα δικα μου επρεπε να το κανεις με την τυπικη αποδειξη

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

και πως το συμπεραινεις αυτο ? οτι ο αριστος θα κολλησει εκει που κολλησες εσυ . Kατατασεις δηλαδη τον εαυτο σου στους αριστους

απο σενα μπορω να το πω με μεγαλυτερη βεβαιοτητα παντως

 

[asdfqwerty]

η εξηγηση ειναι οτι δεν ισχυει παντου η ισοτητα.εχω την αισθηση οτι φ(χ)<=g(x) κατα το σχολικο δεν μπορεις να το παρεις απευθειας αλλα να το πας στο πρωτο μελος και να το κανεις οπως το σχολικο.δεν ξερω αν εχουν αλλαξει οι καταστασεις και δινεται απευθειας αλλα στα χρονια τα δικα μου επρεπε να το κανεις με την τυπικη αποδειξη

εχει αλλαξει.. δεν χρειαζεται πια η αποδειξη μιας γραμμης και το γραφεις κατευθειαν

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

η εξηγηση ειναι οτι δεν ισχυει παντου η ισοτητα.εχω την αισθηση οτι φ(χ)<=g(x) κατα το σχολικο δεν μπορεις να το παρεις απευθειας αλλα να το πας στο πρωτο μελος και να το κανεις οπως το σχολικο.δεν ξερω αν εχουν αλλαξει οι καταστασεις και δινεται απευθειας αλλα στα χρονια τα δικα μου επρεπε να το κανεις με την τυπικη αποδειξη

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

απο σενα μπορω να το πω με μεγαλυτερη βεβαιοτητα παντως

μαλιστα κυριε μαθηματικε, εγω πιστευω οτι οι αριστοι θα το βλεπανε asap και θα σε αφηνανε με το αγγουρι στο χερι να κανεις χωριατικη

 

[eukleidhs1821]

εχει αλλαξει.. δεν χρειαζεται πια η αποδειξη μιας γραμμης και το γραφεις κατευθειαν

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

μαλιστα κυριε μαθηματικε

σιγουρο??τι ειστε εσεις ρε??ολα στο πιατο.μεχρι και ετοιμες ανισωσεις.μεχρι και το xημ1/χ ετοιμο.

 

[Samael]

η εξηγηση ειναι οτι δεν ισχυει παντου η ισοτητα.εχω την αισθηση οτι φ(χ)<=g(x) κατα το σχολικο δεν μπορεις να το παρεις απευθειας αλλα να το πας στο πρωτο μελος και να το κανεις οπως το σχολικο.δεν ξερω αν εχουν αλλαξει οι καταστασεις και δινεται απευθειας αλλα στα χρονια τα δικα μου επρεπε να το κανεις με την τυπικη αποδειξη

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

Αυτό με το να το πας στο άλλο μέλος θυμίζει λίγο φάση να καταλήξεις σε 1 = 1 και να σου λένε, όχι κάντο έτσι :
1 = 1 =>
1 - 1 = 0 =>
0 = 0
Γραφειοκρατία ακόμα και στα μαθηματικά ,τι να πει κανείς .

 

[asdfqwerty]

σιγουρο??τι ειστε εσεις ρε??ολα στο πιατο.μεχρι και ετοιμες ανισωσεις.μεχρι και το xημ1/χ ετοιμο.

ασχετοι τι να πεις.. μονο οσοι βιωσαν τα τερατα του 2008 ξερουν μαθηματικα

 

[eukleidhs1821]

Αυτό με το να το πας στο άλλο μέλος θυμίζει λίγο φάση να καταλήξεις σε 1 = 1 και να σου λένε, όχι κάντο έτσι :
1 = 1 =>
1 - 1 = 0 =>
0 = 0
Γραφειοκρατία ακόμα και στα μαθηματικά ,τι να πει κανείς .

τι να σου πω τωρα ρε φιλε.θυμαμαι οτι μας λεγανε αν το πατε απευθειας θα σας κοψουνε τον ....ετσι επι λεξει.μαλιστα αν ψαξεις στις πανελλαδιεκς 2002 υπηρχε υποερωτημα το δ1 για 2 μορια που τους λεγανε απεδειξε το...δεν ξερω τι σκοπιμοτητα ειχε....εδω οταν δινοντουσαν μαθηματικα γενικης παιδειας υπηρχε καθε χρονο το κλασσικο ερωτημα.μπορω να κανω de l hospital στο οριο ή να παρω τον τυπο της εφαπτομενης της κατευθυνσης??καθε χρονο αυτες οι ερωτησεις.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

ασχετοι τι να πεις.. μονο οσοι βιωσαν τα τερατα του 2008 ξερουν μαθηματικα

θα σου λεγα τι ξεραν....απλα ειχαν περισσοτερο φαρδος να εχουν λυσει παρομοια στην προετοιμασια...οι πανελληνιες ειναι μια διαδικασια ποιος ειναι πιο τυχερος οχι ποιος ξερει περισσοτερα μαθηματικα

 

[asdfqwerty]

τι να σου πω τωρα ρε φιλε.θυμαμαι οτι μας λεγανε αν το πατε απευθειας θα σας κοψουνε τον ....ετσι επι λεξει.μαλιστα αν ψαξεις στις πανελλαδιεκς 2002 υπηρχε υποερωτημα το δ1 για 2 μορια που τους λεγανε απεδειξε το...δεν ξερω τι σκοπιμοτητα ειχε....εδω οταν δινοντουσαν μαθηματικα γενικης παιδειας υπηρχε καθε χρονο το κλασσικο ερωτημα.μπορω να κανω de l hospital στο οριο ή να παρω τον τυπο της εφαπτομενης της κατευθυνσης??καθε χρονο αυτες οι ερωτησεις.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

θα σου λεγα τι ξεραν....απλα ειχαν περισσοτερο φαρδος να εχουν λυσει παρομοια στην προετοιμασια...οι πανελληνιες ειναι μια διαδικασια ποιος ειναι πιο τυχερος οχι ποιος ξερει περισσοτερα μαθηματικα

οχι ποιος ξερει περισσοτερα μαθηματικα.... δηλαδη για εξηγησε το λιγο αυτο..

 

[eukleidhs1821]

οχι ποιος ξερει περισσοτερα μαθηματικα... ??????????????

ναι γτ αν παρω την κυρα σουλα την κομμωτρια και τη βαλω 1.5 χρονο να μαθαινει μεθοδολογιες και ειναι τυχερη και πεσουν παρομοια και τα λυσει αυτο τι σημαινει??οτι απλα την εκπαιδευσα σωστα και της εδωσα σαν παπαγαλακι πνευματικη τροφη να τα λυσει.το εχει αναλυσει με πιο ωραιο λογια o npb το ζητημα αυτο κατα το παρελθον

 

[asdfqwerty]

ναι γτ αν παρω την κυρα σουλα την κομμωτρια και τη βαλω 1.5 χρονο να μαθαινει μεθοδολογιες και ειναι τυχερη και πεσουν παρομοια και τα λυσει αυτο τι σημαινει??οτι απλα την εκπαιδευσα σωστα και της εδωσα σαν παπαγαλακι πνευματικη τροφη να τα λυσει.το εχει αναλυσει με πιο ωραιο λογια o npb το ζητημα αυτο κατα το παρελθον

αυτα τα θαυματα δεν τα εκανε ουτε ο Χριστος στα νιατα του

 

[Samael]

τι να σου πω τωρα ρε φιλε.θυμαμαι οτι μας λεγανε αν το πατε απευθειας θα σας κοψουνε τον ....ετσι επι λεξει.μαλιστα αν ψαξεις στις πανελλαδιεκς 2002 υπηρχε υποερωτημα το δ1 για 2 μορια που τους λεγανε απεδειξε το...δεν ξερω τι σκοπιμοτητα ειχε....εδω οταν δινοντουσαν μαθηματικα γενικης παιδειας υπηρχε καθε χρονο το κλασσικο ερωτημα.μπορω να κανω de l hospital στο οριο ή να παρω τον τυπο της εφαπτομενης της κατευθυνσης??καθε χρονο αυτες οι ερωτησεις.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 26 Μαρτίου 2022

Βάρβαρα χρόνια...Τώρα οι καιροί άλλαξαν και δίνουν έτοιμα αρκετά πράγματα.

θα σου λεγα τι ξεραν....απλα ειχαν περισσοτερο φαρδος να εχουν λυσει παρομοια στην προετοιμασια...οι πανελληνιες ειναι μια διαδικασια ποιος ειναι πιο τυχερος οχι ποιος ξερει περισσοτερα μαθηματικα

Πως ορίζεις όμως το "ξέρω μαθηματικά";