Διανυσματικός Χώρος

[aggelosst9]

Δύο διανύσματα a και b αποτελούν πάντα το σύνολο γεννητόρων του διανυσματικού χώρου, εκτός αν είναι συγγραμικά. Τα λέω καλά ή εχω καταλάβει λάθος;

 

[Samael]

Δύο διανύσματα a και b αποτελούν πάντα το σύνολο γεννητόρων του διανυσματικού χώρου, εκτός αν είναι συγγραμικά. Τα λέω καλά ή εχω καταλάβει λάθος;

Δυο διανύσματα δεν "γεννάνε" απαραίτητα τον δ.χ. σου ακόμα και εαν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, καθώς παίζει ρόλο και η διάσταση του.

 

[bovid19]

Μαθηματικά για οικονομολόγους 2 ε; Όπως είπε και ο @Samael εξαρτάται από την διάσταση. Δύο μη συγγραμμικά διανύσματα αποτελούν βάση του R^2.

Για γραμμική άλγεβρα σου προτείνω να ψάξεις στο ΥΤ ένα κανάλι που λέγεται 3Blue1Brown, τσεκαρε την playlist "Essence of Linear Algebra" όπου δίνει κάτι φοβερές εξηγήσεις για πράγματα που αλλιώς θα μάθαινες μόνο μηχανικά.

 

[Samael]

Μαθηματικά για οικονομολόγους 2 ε; Όπως είπε και ο @Samael εξαρτάται από την διάσταση. Δύο μη συγγραμμικά διανύσματα αποτελούν βάση του R^2.

Για γραμμική άλγεβρα σου προτείνω να ψάξεις στο ΥΤ ένα κανάλι που λέγεται 3Blue1Brown, τσεκαρε την playlist "Essence of Linear Algebra" όπου δίνει κάτι φοβερές εξηγήσεις για πράγματα που αλλιώς θα μάθαινες μόνο μηχανικά.

Δεν είναι απαραίτητο να είναι του R^2 έτσι, αυτό εξαρτάται τόσο από την φύση του διανύσματος π.χ. άλλο να έχεις διάνυσμα
(2j , 5 , 6+8j) , και άλλο (2 , 5 , 6) . Άλλο να μιλάς για τον χώρο των πολυωνύμων μέχρι βαθμού n και άλλο για τον χώρο των πινάκων nxn. Όπως επίσης διαφορετικό είναι εάν οι πολλαπλασιαστικές σταθερές ανήκουν στο

ή το

,δηλαδή το πεδίο με το οποίο εφοδιάζεις τον δ.χ. .

Ο 3Blue1Brown είναι όντως πολύ καλή πρόταση πάντως Άγγελε για να αρχίσεις να μπαίνεις λίγο στα βασικά νοήματα. Γενικά πολύ προσοχή Άγγελε και πολύ εξάσκηση γιατί οι δ.χ. φαίνονται απλοί αλλά είναι αρκετά αφηρημένη έννοια(για καλό λόγο) και γίνονται εύκολα παρανοήσεις.

 

[aggelosst9]

Καλημέρα, ναι μαθηματικά ΙΙ, δεν έχουμε μιλήσει ακόμα για γραμμική ανεξαρτησία, σταματήσαμε στο σύνολο γεννητόρων. Ευχαριστώ πολύ για την πρόταση για το κανάλι, θα το τσεκάρω!

 

[nPb]

Δύο διανύσματα a και b αποτελούν πάντα το σύνολο γεννητόρων του διανυσματικού χώρου, εκτός αν είναι συγγραμικά. Τα λέω καλά ή εχω καταλάβει λάθος;

@aggelosst9

Ο γεννήτορας ή αλλιώς το span του χώρου είναι το σύνολο των διανυσμάτων που τον "γεννάει" (εξ' ου και ο όρος γεννήτορας). Τα διανύσματα αυτά αποτελούν τη βάση του χώρου και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, δηλαδή δεν έχουν γραμμική σχέση ή αλλιώς: το ένα να είναι πολλαπλάσιο του άλλου σαν ομοθεσία u ~ kv, k αριθμός. Άρα το ένα διάνυσμα με το άλλο είναι απλά ανεξάρτητα και δεν μπορούν να ορίσουν μια γραμμή (συν-ευθεία). Δηλαδή το κάθε διάνυσμα είναι σημειωμένο (pointing) με την έννοια της διεύθυνσης στο χώρο, σε τυχαία φορά. Η γραμμική ανεξαρτησία αποτελεί τη βάση για τον ορισμό του επιπέδου.

Σκέψου ότι τα διανύσματα βάσει της λογικής δεν πρέπει να είναι συγγραμμικά αλλά "σκεδασμένα" στο χώρο δηλαδή σε πλέγμα (μη συνευθειακά) ώστε να "στηρίζουν" τον χώρο που γεννάνε (π.χ. ένα πλαίσιο δυο διαστάσεων, ένα κουτί τριών διαστάσεων κτλ). Τρία μη συνευθειακά διανύσματα ορίζουν το επίπεδο (ως αξίωμα).

 

[eukleidhs1821]

εγω θα το γραψω ετσι οπως ξερω τον ορισμο.για να ειναι βαση του διανυσματικου χωρου θες 2 προυποθεσεις:
i)γραμμικη ανεξαρτησια.
ii)καθε διανυσμα να γραφεται ως γραμμικος συνδυασμος των γραμμικων ανεξαρτητων αυτων διανυσματων.αυτο ειναι το λεγομενο span.δηλαδη αυτα τα γραμμικα ανεξαρτητα διανυσματα ειναι γεννητορας των αλλων διανυσματων του χωρου.

 

[nPb]

Πέρα από την τυπολατρεία των ορισμών ας το κάνουμε με λίγη Αμερικανιά: στα Μαθηματικά ζωγραφίζουμε τις έννοιες για να μας μείνουν στον εγκέφαλο. Πάντα έβλεπα ορισμούς με i, ii, iii... και στο τέλος δεν θυμόμουν αν ήταν ii ή iii. Προσπάθησα να εξηγήσω στον φίλο να ξεκινήσει να βλέπει τα πράγματα λίγο διαισθητικά πίσω από τον sos ορισμό γιατί έτσι όπως λένε και οι Γερμανοί Μαθηματικοί θα αρχίσει να δίνει σωστά τον αυστηρό ορισμό.

 

[Samael]

Πέρα από την τυπολατρεία των ορισμών ας το κάνουμε με λίγη Αμερικανιά: στα Μαθηματικά ζωγραφίζουμε τις έννοιες για να μας μείνουν στον εγκέφαλο. Πάντα έβλεπα ορισμούς με i, ii, iii... και στο τέλος δεν θυμόμουν αν ήταν ii ή iii. Προσπάθησα να εξηγήσω στον φίλο να ξεκινήσει να βλέπει τα πράγματα λίγο διαισθητικά πίσω από τον sos ορισμό γιατί έτσι όπως λένε και οι Γερμανοί Μαθηματικοί θα αρχίσει να δίνει σωστά τον αυστηρό ορισμό.

Κανονικά αυτό είναι το σωστό. Οι ορισμοί ούτως η άλλως και κατά την δημιουργία τους είναι ευέλικτοι/εύπλαστοι πάντα ώστε να είναι χρήσιμοι στα μαθηματικά. Απο εκεί και πέρα είναι καλό μόλις κάποιος κατακτήσει την βασική ιδέα, να εξοικειωθεί και με έναν πιο αυστηρό ορισμό. Και αυτό όχι για κανέναν άλλο λόγο πέρα απο το να μπορεί κυρίως να πει εαν κάτι είναι για παράδειγμα διανυσματικός χώρος όπως ορίζεται αυστηρά, ή όχι και εαν ισχύουν επομένως όσα ξέρει για αυτούς ή όχι. Επίσης ένας ακόμα λόγος είναι να περιγράψει με όσο λιγότερα λόγια γίνεται και όσο πιο πληρέστερα και χωρίς ασάφειες, μπορεί κάποιος, μια έννοια, μια διαδικασία, ένα γεγονός ή μια αλήθεια.

Το μειονέκτημα φυσικά είναι οτι-κατά την γνώμη μου- οι αυστηροί ορισμοί σε αντίθεση με τα παραδείγματα, είναι χρήσιμοι μόνο σε επικοινωνία μεταξύ ειδικών ή όσων κατέχουν την βασική ιδέα. Δυστυχώς ένας ορισμός περιέχει πολύ συμπιεσμένη πληροφορία εαν διαβαστεί προσεκτικά και γίνουν συλλογισμοί επί αυτού,και είναι δύσκολο για κάποιον άπειρο να την ξεκλειδώσει ή να δει πίσω απο αυτήν τι σημαίνουν όλα αυτά. Ευτυχώς όταν ξέρεις να τον διαβάσεις σωστά, σε διευκολύνει στο να εξάγεις όλη αυτή την πληροφορία χωρίς να χρειάζεται πάλι να κάνεις τόσο λεπτομερώς όλους τους συλλογισμούς.

 

[eukleidhs1821]

Πέρα από την τυπολατρεία των ορισμών ας το κάνουμε με λίγη Αμερικανιά: στα Μαθηματικά ζωγραφίζουμε τις έννοιες για να μας μείνουν στον εγκέφαλο. Πάντα έβλεπα ορισμούς με i, ii, iii... και στο τέλος δεν θυμόμουν αν ήταν ii ή iii. Προσπάθησα να εξηγήσω στον φίλο να ξεκινήσει να βλέπει τα πράγματα λίγο διαισθητικά πίσω από τον sos ορισμό γιατί έτσι όπως λένε και οι Γερμανοί Μαθηματικοί θα αρχίσει να δίνει σωστά τον αυστηρό ορισμό.

ναι καλα εκανες απλα το ειπα για να εχει καποιος συνοπτικα στο κεφαλι του τι ισχυει.

 

[Μάρκος Βασίλης]

Το αρχικό ερώτημα έχει καλυφθεί παραπάνω αρκετές φορές, οπότε να εστιάσουμε σε κάτι άλλο: Όλοι οι πραγματικοί διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης είναι ισόμορφοι με τους αντίστοιχους ευκλείδειους χώρους - τους R^n, που λέμε. Γενικότερα, ένας F-διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης n, όπου F κάποιο (αλγεβρικό) σώμα, είναι ισόμορφος με το F^n. Η απόδειξη είναι απλή - απλά θεωρείς την απεικόνιση f που παίρνει ένα στοιχείο του διανυσματικού χώρου και το απεικονίζει στο διάνυσμα των συντελεστών του:

Επομένως, μπορείς να σκέφτεσαι κάθε πεπερασμένο διανυσματικό χώρο πιο απλά - συνήθως οι συντελεστές σου είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί (εκτός αν κάνεις κρυπτογραφία :Ρ) οπότε μπορείς με ασφάλεια να το ανάγεις στους συνήθεις χώρους που κοιτάει η γραμμική άλγεβρα. Με άλλα λόγια, κοίτα να μάθεις καλά να χειρίζεσαι αυτές τις έννοιες στον R^n και τον C^n και μετά όλα θα είναι πιο απλά.

Το παραπάνω δεν ισχύει προφανώς σε άπειρες διαστάσεις, αλλά μάλλον αυτό δε σε νοιάζει. :Ρ

Υ.Γ.: Ίσως αυτό που ισχύει και είναι και εντυπωσιακό σε άπειρες διαστάσεις είναι ότι όλοι οι διαχωρίσιμοι χώροι Hilbert είναι ισομορφικοί με τον

- τον χώρο των τετραγωνικά αθροίσιμων ακολουθιών.

 

[eukleidhs1821]

μαρκο καλον ειναι ολη αυτη τη γνωση να τη συστηματοποιησεις με ποσταρισματα που θα γραφεις καποια θεωρια και μεις απο κατω θα σχολιαζουμε.θα ηταν ιδιαιτερα χρησιμο αν φυσικα σε ενδιαφερει

 

[Samael]

μαρκο καλον ειναι ολη αυτη τη γνωση να τη συστηματοποιησεις με ποσταρισματα που θα γραφεις καποια θεωρια και μεις απο κατω θα σχολιαζουμε.θα ηταν ιδιαιτερα χρησιμο αν φυσικα σε ενδιαφερει

Κάτι ψήνεται Ευκλείδη μην ανησυχείς .

 

[eukleidhs1821]

Κάτι ψήνεται Ευκλείδη μην ανησυχείς .

μακαρι!!!