Ασκήσεις μαθηματικών για ΑΕΙ

[ultraviolence]

Ενώ μου φαίνεται εύκολη, έχω σκαλώσει, καμιά ιδέα; Aν είχα κάποιο διάστημα θα πήγαινα με θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αλλά τώρα έχω χαθεί λίγο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Έρεβος]

Ενώ μου φαίνεται εύκολη, έχω σκαλώσει, καμιά ιδέα; Aν είχα κάποιο διάστημα θα πήγαινα με θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αλλά τώρα έχω χαθεί λίγο.

Μπορείς να τη λύσεις με το θεώρημα Bolzano.
Θεώρησε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-s, όπου s η σταθερά του ερωτήματος α, β ή γ.
Εφόσον η g είναι πολυωνυμική περιττού βαθμού και ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός θα ισχύει ότι:
(1) και
(2).
Από το (1) συμπεραίνεις ότι υπάρχει κάποιο "αρκετά μεγάλο" τέτοιο ώστε .
Από το (2) συμπεραίνεις ότι υπάρχει κάποιο "αρκετά μικρό" τέτοιο ώστε .
Επομένως από θεώρημα Bolzano θα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε .
Για τα ερωτήματα α, β, μπορείς (με λίγη προσπάθεια) να βρεις και συγκεκριμένες τιμές για τα και , αλλά για το γ πρέπει να ακολουθήσεις την παραπάνω μέθοδο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[PeterTheGreat]

Προσπάθησα με ότι μαθηματικά θυμάμαι από το Λύκειο, και νομίζω ότι ήταν αρκετά εύκολη. Απλά έπρεπε να βρεις εσύ τιμές για τα διαστήματα. Εκτός αν έκανα καμία χοντρή πατάτα.

f'(x) = 3x^2 - 8, με ρίζες τις +/- -2 ριζα (2/3).

Για χ < -2 ριζα (2/3), η f' > 0, άρα η f γνησίως αύξουσα.
Για -2 ριζα (2/3) < χ < 2 ριζα (2/3), η f' < 0, άρα η f γνησίως φθίνουσα.
Για χ > 2 ριζα (2/3), η f' > 0, άρα η f γνησίως αύξουσα.

Από τα παραπάνω, στο

α) f(0) = 10, f(1) = 3 και στο διάστημα (0, 1) η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή 10 > π > 3, από το ΘΕΤ προκύπτει ότι στο διάστημα (0, 1) υπάρχει μία ακριβώς τιμή που είναι ίση με π.
β) lim f(x) με χ -> -οο είναι -οο και f(-3) = 7. Στο διάστημα (-οο, -3) η f είναι γνησίως φθίνουσα, και αφού τείνει στο άπειρο, υπάρχει ακριβώς μία τιμή σε αυτό το διάστημα στην οποία ισούται με -ρίζα(3).
γ) Το lim f(x) με χ -> +οο είναι +οο και f(2) = 2. Στο διάστημα (2, +οο) η f είναι γνησίως αύξουσα, και αφού τείνει στο άπειρο, υπάρχει ακριβώς μία τιμή στο (2, +oo) στην οποία ισούται με 5000000.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manolis_98]

Για οποιοδήποτε σύνολο S και c ∈R, ορίζουμε cS={cx : x ∈ S}. Δείξτε ότι αν c > 0, τότε infcS = cinfS, supcS = csupS.
παίδες το deadline είναι κοντά ,ιδέες επειγόντως

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rbullet1]

https://postimage.org/
Μπορεί κάποιος να μου πει τι κάνω στα 4 τελευταία;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Έρεβος]

Για οποιοδήποτε σύνολο S και c ∈R, ορίζουμε cS={cx : x ∈ S}. Δείξτε ότι αν c > 0, τότε infcS = cinfS, supcS = csupS.
παίδες το deadline είναι κοντά ,ιδέες επειγόντως

Η απόδειξη γίνεται χρησιμοποιώντας τους ορισμούς των sup και inf.

Έστω και .
Τότε από ορισμό του sup θα ισχύει ότι . (c>0)
Επομένως το είναι ένα άνω φράγμα του .
(Αρκεί να δείξεις τώρα ότι δεν υπάρχει άλλο άνω φράγμα, μικρότερο του ca.)
Έστω ότι υπάρχει τέτοιο ώστε και άνω φράγμα του .
Τότε .
Δηλαδή το b είναι ένα άνω φράγμα του S, μικρότερο του ελαχίστου άνω φράγματος του S. Άτοπο.
Άρα είναι .

Εντελώς παρόμοια απόδειξη γίνεται και για το inf.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ultraviolence]

Καμιά ιδέα; Μήπως θέλει κανα rolle?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vassilis498]

παίρνεις την περίπτωση f(Xo) = 0 και κάνεις 3 Rolle και καταλήγεις σε άτοπο.

παίρνεις την περίπτωση f(Xo) < 0 κάνεις 3 ΘΜΤ και παίρνεις πάλι άτοπο

ή παίρνεις απ' την αρχή το ΘΜΤ που ναι πιο γενικευμένο και παίρνεις περιπτώσεις εσωτερικά ό,τι θες

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[madjack]

Ή παίρνεις τα βουνά για να μην καταλήξεις στον τόπο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Κούκου-Βάγια]

Λοιπον μπορει να ειναι απορια δημοτικου αλλα αυτη τη στιγμη εχω σκαλωσει lim[1+(1/n)]^n με n να τεινει +απειρο ποσο κανει?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manolis_98]

-

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Κούκου-Βάγια]

1

και γω τοσο το βγαζω αλλα το βιβλιο λεει e η κατι κανουμε λαθος η ειναι τυποφραγικο λαθος

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[manolis_98]

μπα ,εγώ πρέπει να είμαι λάθος.με θέτω πάει αλλά τα έχω ψιλοξεχάσει

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 190013]

Παιδιά, είναι ο ορισμός του e. Δε μπορεί να σας έβαλε κανείς να το υπολογίσετε, το μόνο που μπορεί κανείς να κάνει είναι να αποδείξει ότι η σχετική ακολουθία είναι αύξουσα και φραγμένη με το 3, άρα θα συγκλίνει σε μια τιμή εκεί κοντά που υπολογίστηκε αριθμητικά (όχι λύνοντας το όριο) σε 2,71.... και ονομάστηκε e προς τιμήν βέβαια του Euler . Το χρησιμοποιούμε σαν ταυτότητα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Κούκου-Βάγια]

Παιδιά, είναι ο ορισμός του e. Δε μπορεί να σας έβαλε κανείς να το υπολογίσετε, το μόνο που μπορεί κανείς να κάνει είναι να αποδείξει ότι η σχετική ακολουθία είναι αύξουσα και φραγμένη με το 3, άρα θα συγκλίνει σε μια τιμή εκεί κοντά που υπολογίστηκε αριθμητικά (όχι λύνοντας το όριο) σε 2,71.... και ονομάστηκε e προς τιμήν βέβαια του Euler . Το χρησιμοποιούμε σαν ταυτότητα.

οχι δε μας εβαλε κανεις να το αποδειξουμε στο βιβλιο το χρησημοποιει για να αποδειξει κατι αλλο κ απλα εγω το εβγαζα 1 δεν ηξερα οτι ειναι ταυτοτητα και το χρησημοποει αμεσως απο θεωρια
θενξ να σαι καλα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[unπαικτable]

οχι δε μας εβαλε κανεις να το αποδειξουμε στο βιβλιο το χρησημοποιει για να αποδειξει κατι αλλο κ απλα εγω το εβγαζα 1 δεν ηξερα οτι ειναι ταυτοτητα και το χρησημοποει αμεσως απο θεωρια
θενξ να σαι καλα

Ειναι ο ορισμος το e αυτος. Δεν μπορεις να δειξεις αναλυτικα οτι αυτο ειναι το οριο. Αλλα μπορεις να δειξεις οτι η ακουλουθια αυτη, ειναι κατω φραγμενη απο το 2 και ανω φραγμενη απο το 3. (Σχεδον ολα τα βιβλια αναλυσης εχουν αυτες τις αποδειξεις.)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Αγγελος Κοκ]

Μια ερωτηση στα ανωτερα μαθηματικα βολευει ο κανονας αλυσιδας;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[unπαικτable]

Μια ερωτηση στα ανωτερα μαθηματικα βολευει ο κανονας αλυσιδας;

Τι εννοεις; Αλλες φορες βολευει αλλες οχι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Αγγελος Κοκ]

οχι δε μας εβαλε κανεις να το αποδειξουμε στο βιβλιο το χρησημοποιει για να αποδειξει κατι αλλο κ απλα εγω το εβγαζα 1 δεν ηξερα οτι ειναι ταυτοτητα και το χρησημοποει αμεσως απο θεωρια
θενξ να σαι καλα

Ουσιαστικα σε ορια της μορφης limx->00 (a^x) με αεR καλονικα γραφεις το α^χ σαν e^lna^x η e^xlna
Οποτε ουσιαστικα θα γινεται το οριο limx->00 e^(xlna)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[unπαικτable]

αυτο δεν ειναι κανονας της αλυσιδας. αυτος ειναι
εσυ απλα αλλαζεις τη μορφη της εξισωσης(οπως πχ οταν εχεις το (x)^2 +2x+1 και το γραφεις (x+1)^2).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.