Περί Διαφορικών Εξισώσεων (Μια Σύντομη Εισαγωγή)
1. Μαθηματικός Ορισμός
Έστω
μια πραγματική συνάρτηση n+2 μεταβλητών, όπου
και
με συναρτησιακό τύπο
}))
. Έστω,
μια πραγματική συνάρτηση μιας μεταβλητής ορισμένη σε ένα υποσύνολο
του 1-διάστατου χώρου
(ο οποίος γεωμετρικά παριστάνει τον χώρο των πραγματικών ευθειών). Η άγνωστη συνάρτηση
είναι διαφορίσιμη στο υποσύνολο
πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχουν όλες οι παράγωγοι της μέχρι
τάξη και ορίζονται στο ίδιο σύνολο, δηλαδή, τον υπόχωρο
(ή υποσύνολο
).
Mια
πραγματική συνήθης διαφορική εξίσωση ή
συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ.Δ.Ε.), ονομάζεται η συναρτησιακή εξίσωση της μορφής
})=0)
(η μορφή αυτή λέγεται γενική), όπου
}(x)=\frac{{d^k}y(x)}{dx^k})
οι
παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης
(όπου
) και
})
είναι η n-oστή τάξη παράγωγος της συνάρτησης
. Aπό άποψη συμβολισμού της άγνωστης συνάρτησης
, συνηθίζουμε να γράφουμε
)
ή
/ \Gamma)
αντί την κλασική αλγεβρική διατύπωσή της (όπως τέθηκε πιο πάνω).
2. Συνήθης ή Μερική Διαφορική Εξίσωση
Η διαφορά της συνήθους διαφορικής εξίσωσης με την μερική διαφορική εξίσωση είναι ότι η άγνωστη συνάρτηση δεν είναι πραγματική συνάρτηση μιας μεταβλητής αλλά πολλών μεταβλητών (δηλαδή είναι διανυσματική συνάρτηση, βλ. παρακάτω: γι' αυτό και οι Μ.Δ.Ε. έχουν άμεση εφαρμογή στην φυσική: π.χ. σφαιρικά ηλεκτρομαγνητικά κύματα). Θα μου πείτε και τι μ' αυτό; Η άγνωστη συνάρτηση (ανεξαρτήτως μεταβλητών) αποτελεί την ζητούμενη ποσότητα της εξίσωσης, αυτό που καλούμε λύση. Στην κατηγορία αυτών των εξισώσεων, πρέπει να έχουμε τα εξής: μια ανεξάρτητη μεταβλητή (εδώ είναι η
), την άγνωστη συνάρτηση και τουλάχιστον μια παράγωγό της. Διαφορετικά η εξίσωση δεν είναι διαφορική. Ο όρος μερική, οφείλεται στην χρήση της μερικής παραγώγου μιας και μιλάμε για άγνωστη συνάρτηση πολλών μεταβλητών που εμφανίζεται στην διαφορική εξίσωση (Μ.Δ.Ε.). Αντιθέτως, ο όρος συνήθης οφείλεται στην χρήση της συνήθους ή ολικής παραγώγου μιας και μιλάμε για άγνωστη συνάρτηση μιας μεταβλητής που εμφανίζεται στην διαφορική εξίσωση (Σ.Δ.Ε.).
Παραδείγματα:
- μια Σ.Δ.Ε.
-my''(x)=0)
(ο δεύτερος νόμος της κίνησης του Νεύτωνα), όπου
η επιτάχυνση (δεύτερη παράγωγος ή ρυθμός μεταβολής της πρώτης παραγώγου, δηλ., της ταχύτητας y') και m η σταθερή αναλογίας με τον όρο αδρανειακή μάζα του σώματος (αριθμός με διάσταση kg στο S.I.)
η ζητούμενη λύση πρέπει να είναι
=...)
Θυμίζουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής μιας ποσότητας είναι μεταβολή της ποσότητας ως προς την παράμετρο του χρόνου. Συνηθίζουμε να συμβολίζουμε τον ρυθμό μεταβολής μιας ποσότητας και με τελεία αντί τόνου:
 \equiv y'(t) = \frac{dy(t)}{dt})
.
- μια Μ.Δ.Ε.
η εξίσωση του κύματος στις 3-διαστάσεις (εφόσον η ζητούμενη λύση είναι ένα στιγμιότυπο του κύματος
)
στον 3-διάστατο Ευκλείδειο χώρο) και
η ταχύτητα διάδοσης του κύματος (σε διαστάσεις ταχύτητας στο S.I. m/s)
η ζητούμενη λύση πρέπει να είναι
=...)
3. Γενικές Παρατηρήσεις - Επισκόπηση Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών
Παρατηρούμε ότι, η συνάρτηση
είναι ορισμένη στον χώρο
που σημαίνει ότι στέλνει διατεταγμένα ζεύγη σημείων της μορφής
})))
στην μονοσήμαντα ορισμένη τιμή
. Στο πεδίο ορισμού της
, που είναι ένα σύνολο, ορίζονται n+2 μεταβλητές λόγω Καρτεσιανού γινομένου των δυο συνόλων
και
:
n+1 εξαρτημένες μεταβλητές είναι το πλήθος
})
(αφού η οι παράγωγοι είναι πλήθους n)
n-οστή ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η
αποτέλεσμα Καρτεσιανού γινομένου:
.
Σημειώνουμε ότι η η συνάρτηση
είναι πραγματική συνάρτηση πολλών μεταβλητών (n+2 συγκεκριμένα) αφού το πεδίο τιμών της είναι ο χώρος των πραγματικών ευθειών (και όχι κάποιο διανυσματικό πεδίο, δηλαδή χώρος πολλών διαστάσεων,
). Θυμίζουμε ότι μια διανυσματική συνάρτηση είναι μια αμφιμονότιμη απεικόνιση μεταξύ δυο πολυμετάβλητων χώρων (Ευκλείδειοι χώροι, κάλλιστα ονομαζόμενοι διανυσματικά πεδία) της μορφής:
, όπου
,
και
. Γεωμετρικά, μια διανυσματική συνάρτηση είναι ένα σύνολο διανυσμάτων στον χώρο
. Τα σύνολα
και
έχουν ιδιαίτερη μαθηματική σημασία στην Γενική Τοπολογία και αναφέρονται ως ανοικτά υποσύνολα με κάποιες δεδομένες ιδιότητες. Οπότε αντί να ορίζουμε την συνάρτηση σε όλο το σύνολο (Ευκλείδειο χώρο) την ορίζουμε σε κάποιο τμήμα του (υποσύνολο). Η απεικόνιση
στέλνει διατεταγμένες n-άδες σημείων (διανυσμάτων) σε μοναδικές m-άδες (διανύσματα) αμφιμονότιμα
 \rightarrow (f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,f_{m}(x_{1},x_{2},...,x_{n})))
, και το αποτέλεσμα είναι:
)
)
...
)
ονομάζονται βαθμωτά πεδία,
. Μια διανυσματική συνάρτηση είναι ένα διατεταγμένο σύνολο βαθμωτών πεδίων, δηλαδή σε κάθε σημείο του χώρου (διανυσματικού πεδίου) προσαρτά ένα διάνυσμα. Συνηθίζεται ο συμβολισμός των βαθμωτών πεδίων απευθείας:
=f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,f_{m}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))
ή
=(f_{1}(\vec{x}),f_{2}(\vec{x}),...,f_{m}(\vec{x})))
, όπου
^{\tau} \in U \subset IR^{n})
(είναι ο συμβολισμός του διανύσματος).
Παράδειγμα ενός διανυσματικού πεδίου είναι το πεδίο ηλεκτροστατικών δυνάμεων και ενός βαθμωτού πεδίου είναι η θερμοκρασία στην Φυσική. Μια διανυσματική συνάρτηση από φυσική πλευρά, σύμφωνα με το παράδειγμα που αναφέραμε, παριστάνει την ασκούμενη ηλεκτροστατική δύναμη σε σημειακό φορτίο (αντιπαραβολή ως σημείο του χώρου στα μαθηματικά) μέσα στο πεδίο (χώρος). Yπάρχει μια ταύτιση του όρου διάνυσμα και διανυσματική συνάρτηση, αφού ο Ι.Νεύτωνας, την δύναμη την όρισε μαθηματικά ως διανυσματική συνάρτηση.
Αναπαράσταση ενός διανυσματικού πεδίου μέσω γραφικών σε Η/Υ:
______________________
Υ.Γ. Θα χαρώ πολύ να μου εντοπίσετε πιθανά λάθη λόγω βιασύνης. Αφιέρωσα αρκετό χρόνο στην διατύπωση των συγκεκριμένων εννοιών με αρκετά "ευέλικτο" τρόπο, όπως τα έχω κατανοήσει, χωρίς να αφαιρώ την μαθηματική αυστηρότητα εκεί που πρέπει προσπαθώντας να σας βάλω στον συλλογισμό μου. Θεώρησα χρήσιμο να αναφερθώ και σε συναφή θέματα του Διανυσματικού Λογισμού. Σας ευχαριστώ.
