qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Έχοντας περάσει από μαθητές που διδασκόμασταν για 12 χρόνια μαθηματικά κάτι ξέρουμε και εμείς οι φοιτητές ιατρικήςυπαρχει βεβαια διαφορετικο thread για αποριες =) αλλα η απαντηση του querty ειναι σωστη
υ.γ. αν και ιατρικη, κατι σκαμπαζει απο μαθηματικα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
διότι η συνάρτηση f(t)=lnt είναι γνησίως αύξουσα.καλησπερα και παλι θελω να μου εξηγησετε οσο ποιο αναλυτικα γινεται αυτο lnx >= -1/2
Τι κανω να βρω το χ ? Βασικα ηταν μια ασκηση με πεδιο ορισμου και δεν καταλαβαινω τι πρεπει να κανω σε αυτο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Για το τελευταίο ερώτημα εφάρμοσα και εγώ ΘΜΤ για τη g που θεώρησες και εσύ. Αρκεί τώρα να δείξω ότι ξf'(ξ) - f(ξ)>0. Θέτω h(x)=xf'(x)-f(x). Με την μονοτονία αποδεικνύω ότι h(x)>0 για κάθε χ>0, άρα και για το ξ>α>0.Για τα 3 τελευταια,το τελευταιο βγαινει και με αλλο τροπο.Παραγωγιζοντας την αρχικη σχεση και δικαιολογωντας παραγωγισιμοτητα εχουμε
(1)
Η f' ειναι παρ/μη αφου ειναι η f αρα λογω της (1)
Αρα g(x)=0
Eπισης .Απο γνωστη εφαρμογη εχουμε
.Επειδη f(0)=0 και f'(0)=1 προκυπτει c=1 αρα
Αρα ομως f(0)=0 αρα
Tελικα
Θεωρω συναρτηση g(x)=
Με θμτ στο [α,β] προκυπτει οτι υπαρχει ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε
Τωρα με δευτερο θμτ στην f στο [0,ξ],προκυπτει οτι υπαρχει χο που ανηκει στο (0,ξ) τετοιο ωστε
Η f' ειναι γν αυξουσα αρα εχουμε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Εγώ έχανα πρινTο όριο στο άπειρο του αχ²+βχ+γ είναι το όριο του αχ², οπότε δε μας νοιάζει το πρόσημο του R(ξ). Εκτός αν κάπου χάνω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Το πρόσημο του R(ξ) δεν το ξέρουμε για να βρούμε το τελευταίο όριο που γράφεις. (στην πρώτη γραμμή υποθέτω ότι εννοείς R'(ξ))Παραθέτω τη λύση, σε βασικές γραμμές, γιατί δεν ξέρω πότε θα μπορέσω να διαθέσω πάλι χρόνο:
Έστω ξ ένα σημείο της R στο οποίο δεν ισχυει R(ξ)=0(επιτρέπεται, αλλιώς δε θα ήταν γνησίως αυξουσα) , η εφαπτομένη της σε αυτό το σημείο θα είναι η y=R'(ξ)(χ-ξ)+R(ξ)
και αφού είναι κυρτή προκύπτει άμεσα ότι R(x)>=R'(ξ)(χ-ξ)+R(ξ).
Oλοκληρώνοντας και τα δύο μέλη (με απόδειξη), φ(χ)>=(ολοκλήρωμα της από 0 έως χ της (R'(ξ)(τ-ξ)+R(ξ)dt))=(ολοκλήρωμα της από 0 έως χ της (R'(ξ)τ²/2-R'(ξ)ξτ+R(ξ)τ)' dt)
Με απλή εφαρμογή του γνωστού θεμελιώδους θεωρήματος Ο.Λ. προκύπτει μια συνάρτηση της μορφής R'(ξ)χ²/2-R'(ξ)ξχ+R(ξ)χ=π(χ)
η οποία στο +οο έχει όριο το +οο, αφού R'(ξ)>0
Με κριτήριο παρεμβολης στη σχέση φ(x)>=π(χ) προκύπτει το ζητούμενο όριο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν όμως R(0)<0 δεν εφαρμόζεται το κριτήριο παρεμβολής. Εδώ έχω κολλήσει.Μπορει να μην ειναι σωστο.
Επειδη η R ειναι κυρτη για ενα τυχαιο ξ θα ισχυει
Με γνωστη εφαρμογη(με κουραζει ο λατεχ) προκυπτει οτι
Μετα κριτηριο παρεμβολης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
ΘέτωΤην είχα κοιτάξει όταν είχα χρόνο. Με προβλημάτισε που δεν έλεγε πουθενά οτι είναι παραγωγίσιμη η f, και ζητούσε σχέση με f'(0). Και τότε σκέφτηκα ''θα βγει με ορισμό της παραγωγου'' και τότε σκέφτηκα ''πολύ τραβηγμένο για να είναι αληθινό''.
Περιμένω τη λύση να μου λυθεί η απορία.
Τώρα βέβαια, μετά από μια βδομάδα, έχω πιο ώριμη σκέψη :ρ και νομίζω είναι προφανές ότι θα δουλέψουμε με αντίστροφη. Κολλάω πάλι όμως στην παραγωγισιμότητα
Η g είναι γνησίως αύξουσα και μηδενίζεται μόνο για χ=0. Από την αρχική σχέση, g(f(o))=0, άρα f(0)=0. Για τον υπολογισμό του f'(0) χρησιμοποιώ τον ορισμό και θέτω f(x)=u. Με DLH f'(0)=1
Για το δεύτερο ερώτημα, έστω χ1<χ2
Από την αρχική σχέση, g(f(x1))<g(f(x2)) και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, f(x1)<f(x2)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Μήπως εννοείς χ=2π - u;Με ιδιο τροπο εφτασα στη σχεση του qwerty111 και μετα εθεσα χ=2π+υ,εκμεταλλευομενος το γεγονος οτι η συναρτηση μεσα στο ολοκληρωμα ειναι περιοδικη με περιοδο 2π.
Αν εχετε χρονο κοιταξτε την ασκηση που δημοσιευσα.Τα 2 πρωτα και το τελευταιο αξιζουν σαν ερωτηματα αν και ειναι δυσκολα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω μια συνάρτηση f γνωσίως μονότονη στο R και όχι απαραίτητα συνεχής. Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχουν τα όρια στο + άπειρο και - άπειρο;Το ωραίο σε αυτή την άσκηση είναι ότι εκμεταλλεύεσαι το πεδίο τιμών και την μονοτονία για να βρεις τα συγκεκριμένα όρια ενώ συνήθως στις ασκήσεις γίνεται το αντίστροφο. Δηλαδή ζητείται το σύνολο τιμών το οποίο στην συνέχεια βρίσκεται μέσω των ορίων.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Το χω αποδειξει στην αρχη με βαση το συνολο τιμων που δινει οτι ειναι 0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Δεν πρέπει πρώτα να αποδείξουμε ότι υπάρχει το όριο της f στο -άπειρο για να σπάσουμε το όριο; Αν και η λογική βέβαια λέει ότι θα υπάρχει αφού η f είναι γνησίως μονότονη...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
1)1(1τρόπος) για χ=0 στην δοσμένη σχέση παίρνω
και αφού τότε f(0)=0
(2 τρόπος) έστω ότι υπάρχει χο τέτοιο ώστε f(xo)=0 ,η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε χ e R αρα θα ισχύει για χ=χο,αντικαθιστοντας χο=0 αρα f(0)=0
(3 τρόπος) Μπορούμε με Horner να λύσουμε την εξίσωση
2)
(by cilvara) θετω y=f(x) θετω το χ εδώ εκλαμβάνετε ως σταθερά η g(y) είναι προφανώς γνησίως αυξουσα(αφού g'(y)=3y^2+3>0) και έχει σύνολο τιμών το R άρα υπάρχει μοναδικό yο τέτοιο ώστε g(yo)=0 αρα yo^3+3yo=3x αρα για κάθε yo ανηκει στο R έχουμε σαν λύση μοναδικό χο,αρα το Συνολο τιμών είναι το R
3)θέτω y=f(x) τότε
4)1 τρόπος .Για τον 1 τρόπο θα χρησιμοπιήσω το παρακάτω λήμμα
Αν μια συνάρτησηείναι γνησίως μονότονη τότε η αντίστροφή της
(η οποία προφανώς υπάρχει λόγω του «1-1» της(που οφείλεται στη γνήσια μονοτονίας της) θα έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την
Απόδειξη
Έστω ότι ηείναι γνησίως αύξουσα τότε για κάθεμε
Αρκεί να δείξω ότι για κάθεμεΜε άτοπο: Έστω ότι υπάρχουνμεγια τα οποία να ισχύει:
πράγμα άτοπο από την
Εύκολα βλέπω ότι η αντίστροφη ειναι γνησίως αύξουσα αρα και η f σύμφωνα με το λημμα θα είναι γνησιως αυξουσα
Στο 2 τρόπο αναφέρθηκε η Guest 278211 πιο πάνω
Σε λιγο ερχοντε και η συνεχεια της ασκησης
5) Λημμα
Αν μια συνάρτησηείναι περιττή τότε και η τότε η αντίστροφή τηςειναι περιττή
f(f^-1(x))=x (1)
Θετω οπου χ το -χ f(f^-1(-x))=-x
λογω της 1 f(f^-1(-x))=-f(f^-1(x)(αφου η f περριτη)
f(f^-1(x))=f(-f^-1(x))
η f ειναι ''1-1''
f^-1(x)=-f^-1(x)
Αρα η f^-1 περριτη
και αντιστρόφως
Εύκολα βλέπω οτι η αντίστροφη είναι περριτή,άρα σήμφωνα με το λήμμα και η f θα είναι περριτή
2 τροπος
'Εστω ότι υπάρχει χο τέτοιο ώστε
τότε και
Προσθετοντας την 1 και 2 καταληγω σε άτοπο
Η αποδειξη της μονοτονιας οφειλετε στο ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ,ηταν πολυ καλογραμμενη και θελησα να την δανειστω
4ος τρόπος:
Θέτω g(x)=x³+3x, xεR
H αρχική σχέση γίνεται g(f(x))=3x
Εύκολα βρίσκουμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1
Ισοδύναμα έχουμε
g(f(0))=0
g(f(0)=g(0)
f(0)=0 (g: 1-1)
4)
3ος τρόπος:
Έστω χ1,χ2εR τέτοιοι ώστε χ1<χ2
Ισοδύναμα έχουμε
χ1<χ2
3χ1χ2
f³(x1)+3f(x1)<f³(x2)+3f(x2) (από την αρχική σχέση)
g(f(x1))<g(f(x2))
f(x1)<f(x2) (αφού η g είναι γνησίως αύξουσα)
7)
Εγώ βρήκα ότι
Είναι σωστό;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
https://imageshack.us/photo/my-images/200/part1cf.jpg/
https://imageshack.us/photo/my-images/221/part2pgh.jpg/
Πιστεύω ότι η επαλήθευση σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητη. Εσείς τι λέτε;
p.s. Αχ αυτές οι ισοδυναμίες και οι συνεπαγωγές. Πόσο με έχουν παιδέψει και πόσο θα με παιδέψουν ακόμη...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
Μια ασκηση για τους μαθητες,επαναληπτικη στις συναρτησεις
Εστω η συνάρτηση f : R-->R για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει
fof(x)=x για καθε χ Ε R
Να αποδειχθεί ότι
1)η f είναι συνάρτηση 1-1
2)η f έχει σύνολο τιμών το R
3)Η εξισωση f(x)=2011 έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία να βρεθεί
4)f^-1(x)=f(x) για καθε x e R
5)Αν η f περριτη τοτε και η f^-1 είναι περριτή
6)αν η συνάρτηση g(x)=e^f(x)+e^x για καθε χ ε R ειναι συνάρτηση 1-1 τότε είναι f(x)=x για καθε x ε R
Νομιζω πως ειναι μια καλή άσκηση για επανάληψη στις συναρτήσεις
(Απο τα γραφομενα του Κωστα Γκατζουλη)
Φιλικα Χαρης
Τώρα που ξαναβλέπω την άσκηση, στο 6 χρειάζεται να εξετάσουμε αν για f(x)=x
i) ισχύει fof(x)=x
ii) η g(x) είναι 1-1 ;
Ρωτάω διότι ο Στεργίου αναφέρει ότι είναι απαραίτητη η επαλήθευση όταν βρίσκουμε συνάρτηση μέσα από συναρτησιακή σχέση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
qwerty111
Πολύ δραστήριο μέλος
g(x)=e^f(x)+e^x, xεR
Θέτω όπου χ το f(x) και παίρνω: g(f(x))=e^f(f(x))+e^f(x)=e^x+e^f(x)=g(x),xεR
Δηλαδή g(f(x))=g(x) και επειδή η g είναι 1-1, f(x)=x, xεR
Ωραίο ερώτημα. Δεν θυμάμαι να έχω δει παρόμοιο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.